专题22.8 二次函数中的三大类型新定义问题-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题22.8 二次函数中的三大类型新定义问题
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题的理解！
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2−2x+c（c为常数）在−1 A．−5 2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ）
A．12 B．14 C．1 D．﹣1
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（    ）
A．−2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．−2≤n′≤3
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点1,2、−2.5,−5……都是“青竹点”．显然，函数y=x2的图象上有两个“青竹点”：0,0和2,4．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
    ①y=2x−1________；   ②y=−x2+1________；   ③y=x2+2________．
(2)若抛物线y=−12x2−m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
(3)若函数y=14x2+b−c+2x+a+c−3的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当−1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x−5的友好同轴二次函数为y=−x2−2x−5．
(1)函数y=14x2−2x+3的友好同轴二次函数为 ．
(2)当−1≤x≤4时，函数y=(1−a)x2−2(1−a)x+3 (a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值为5，求a的值．
(3)已知点(m,p),(m,q)分别在二次函数y1=ax2+4ax+c(a>12且a≠1）及其友好同轴二次函数y2的图像上，比较p,q的大小，并说明理由．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线y1=a1x+ℎ2+k1与抛物线y2=a2x+ℎ2+k2．同时满足a2=−4a1且k2=−14k1，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线y1=−14x2+bx+c与y2=x2−2x−3是一对共轭抛物线，求y1的解析式；
(2)如图1，将一副边长为42的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y1，经过A、B、C的抛物线为y2，请立接写出y1、y2的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．

8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
(2)若函数y=−x2+43mx−2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
(3)已知函数y=12(x−1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=12(x−1)(x+4)互为“旋转函数”
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2−bx+c（a≠0，b≠0）称为一对“亲密函数”，如y=5x2−3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2．
任务：
（1）写出二次函数y=x2+3x−4的“亲密函数”：______；
（2）二次函数y=x2+3x−4的图像与x轴交点的横坐标为1和−4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标为______，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2−4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数y=x2+bx−2021的图像与x轴交点的横坐标为1和−2021，请利用（2）中的结论直接写出二次函数y=4x2−2bx−2021的图像与x轴交点的横坐标．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+a+bx+b叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+a+bx+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2−3x+a+1，那么二次函数y=ax2−3x+a+1的“本源函数”是 ．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点1,1是函数y=−2x+3的不动点．已知二次函数y=x2+2b+2x+b2（b是实数）．
(1)若点−1,−1是该二次函数的一个不动点，求b的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数y1=2kx+k与函数y2=x2−2x+3，定义“和函数”y=y1+y2．
(1)若k=2，则“和函数”y= ；
(2)若“和函数”y为y=x2+bx−2，则k= ，b= ；
(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=−x上，求k．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=x1−x2+y1−y2．

(1)①已知点A−2,1，则dO,A=______．
②函数y=−2x+40≤x≤2的图象如图①所示，B是图象上一点，dO,B=3，求点B的坐标．
(2)函数y=x2−5x+7x≥0的图象如图②所示，D是图象上一点，求dO,D的最小值及对应的点D的坐标．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2−3x+5的“特征数”是【2，−3，5】，函数y=x+2的“特征数”是【0，1，2】

(1)若一个函数的“特征数”是【1，−4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
(2)将“特征数”是【0，−33，−1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=−3分别交于D、C两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，−2b，b2+12】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取值范围．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x−1，它的相关函数为y=−x+1(x<0)x−1(x≥0)
(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上时，求a的值．
(2)已知二次函数y=−x2+4x−12．当点B（m，52）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．

(1)若直线y=−x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=−x+b不是双曲线y=1x的“双联图形”，求实数b的取值范围；
(2)如图2，已知A−2,0，B4,0，C1,3三点．若二次函数y=ax+12+3的图象与△ABC互为“双联图形”，直接写出a的取值范围．
8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 　 　；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 　 　；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝　 　；（用含c的式子表示）
②求b的值．
9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．


(1)直接写出有界函数y=2x+1−4 (2)已知函数y=2x2+bx+cm≤x≤n,m (3)将函数y=2x2−1≤x≤k,k≥0的图象向下平移k个单位，得到的函数的边界值是t，直接写出k的取值范围，使得32≤t≤2．
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y=x+1，其“明德点”为（1，2）．
(1)①判断：函数y=2x+3 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y=x2的图像上的明德点是 ___________；
(2)若抛物线y=m−1x2+mx+14m上有两个“明德点”，求m的取值范围；
(3)若函数y=x2+(m−k+2)x+n4−k2的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当−1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A0,2，点C2,0，则互异二次函数y=x−m2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（    ）

A．4，-1 B．5−172，-1 C．4，0 D．5+172，-1
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′．
①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．

3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点Pa,b和抛物线y=x2+ax+b，我们称Pa,b是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点Pa,b的相伴抛物线．如图，已知点A−2,−2，B4,−2，C1,4．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为______；过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为______；
（2）设点 Pa,b在直线AC上运动：
①点Pa,b的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式．
②当点Pa,b的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．

4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边22倍，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的“好”点．
（1）命题：P(0，3)是抛物线y=−x2+2x+3的“好”点．该命题是_____（ 真或假）命题．
（2）如图2，已知抛物线C:y=ax2+bx(a<0)与x轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．

5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-233x2−433x+23与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．

6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝38时点A'的坐标．

7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．

8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=12x2–32x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线y=13x2−23x+73的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 23，请直接写出点B的坐标．
10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝ax2+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝BDAC．

（1）图①是抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标　 　，点B坐标　 　，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形　 　，|D|为　 　．
（2）如果抛物线y＝m(x−1)2﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．
（3）如果抛物线y＝(x−1)2﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．