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    专题22.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)
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    人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精品课堂检测

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    这是一份人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精品课堂检测,文件包含专题224二次函数与一元二次方程八大题型举一反三人教版解析版docx、专题224二次函数与一元二次方程八大题型举一反三人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。


    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc14301" 【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值(或取值范围)】 PAGEREF _Tc14301 \h 1
    \l "_Tc19844" 【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】 PAGEREF _Tc19844 \h 2
    \l "_Tc5415" 【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】 PAGEREF _Tc5415 \h 3
    \l "_Tc5803" 【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】 PAGEREF _Tc5803 \h 3
    \l "_Tc29260" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Tc29260 \h 4
    \l "_Tc17040" 【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】 PAGEREF _Tc17040 \h 6
    \l "_Tc23866" 【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】 PAGEREF _Tc23866 \h 8
    【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
    【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值(或取值范围)】
    【例1】(2023春·广东广州·九年级期末)已知抛物线y=kx2+2x−1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围( )
    A.k≥−1B.k>−1C.k≥−1且k≠0D.k>−1且k≠0
    【变式1-1】(2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末)若关于x的函数y=(a+2)x2﹣(2a﹣1)x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点,则a的值为 .
    【变式1-2】(2023春·浙江绍兴·九年级统考期中)已知抛物线y=x2﹣(4m+1)x+2m﹣1与x轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y轴的交点在点(0,−12)的下方,那么m的取值范围是( )
    A.1614D.全体实数
    【变式1-3】(2023春·广东惠州·九年级校考期末)已知二次函数y=mx2−6mx+6的图象与x交于点A和点B(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,△ABC是以BC为底的等腰三角形,那么m的值为 .
    【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】
    【例2】(2023春·山西临汾·九年级统考期末)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,图象过点3,0,对称轴为直线x=1,下列结论:①abc>0;②a−b+c=0;③y的最大值为3;④方程ax2+bx+c+1=0有实数根;⑤4a+c<0.其中正确的结论为 (填序号).
    【变式2-1】(2023春·辽宁大连·九年级统考期中)抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,点A的坐标如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 .
    【变式2-2】(2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末)若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2,则二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为( )
    A.−3,0、1,0B.−2,0、2,0
    C.−1,0、1,0D.−1,0、3,0
    【变式2-3】(2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末)关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根,则抛物线y=x2+x−n的顶点在第 象限.
    【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】
    【例3】(2023春·福建厦门·九年级大同中学校考期中)已知抛物线y=(x−x1)(x−x2)+1(x1A.x1C.m【变式3-1】(2023春·浙江台州·九年级统考期末)抛物线y=ax2+bx+ca>0与x轴交于x1,0,x2,0两点,将此抛物线向上平移,所得抛物线与x轴交于x3,0,x4,0两点,下列说法正确的是( )
    A.x1+x2>x3+x4B.x1+x2C.x1+x2=x3+x4D.x1−x2=x3−x4
    【变式3-2】(2023春·山东临沂·九年级统考期末)已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、β(α<β),而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(MA.α<βC.α【变式3-3】(2023春·吉林长春·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=−12x2−x+n与x轴交于A、B两点,抛物线y=−12x2+x+n与x轴交于C、D两点,其中n>0.若AD=2BC,则n的值为______.
    【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】
    【例4】(2023春·广西玉林·九年级统考期中)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2−2mx+m−3(m≠0)与x轴交于点A,B.若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数,则m的取值范围是( )
    A.m>0B.316C.m>316D.316【变式4-1】(2023春·江苏淮安·九年级校考期中)小明在画一个二次函数的图像时,列出了下面几组x与y的对应值.
    (1)求该二次函数的表达式;
    (2)当y=0时,x的值为 ;
    (3)该二次函数图像与直线y=n有两个交点A、B,若AB>6时,n的取值范围为 .
    【变式4-2】(2023春·福建福州·九年级统考期末)对于每个非零的自然数n,抛物线y=n(n+1)x2−(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点,以AnBn表示这两点间的距离,则A1B1+A2B2+⋅⋅⋅+A2018B2018的值是( )
    A.20182017B.20172018C.20192018D.20182019
    【变式4-3】(2023春·湖南长沙·八年级校联考期末)定义:如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0,Bx2,0,那么我们把线段AB叫做雅礼弦,AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长.
    (1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长;
    (2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围;
    (3)设m,n为正整数,且m≠1,抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1,抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2,s=l12−l22,试求出s与t之间的函数关系式,若不论t为何值,s≥0恒成立,求m,n的值.
    【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法(图象法)】
    (1)作出函数的图象,并由图象确定方程的解的个数;
    (2)由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围;
    (3)观察图象求得方程的根(由于作图或观察存在误差,由图象求得的根一般是近似的).
    【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
    【例5】(2023春·广东潮州·九年级统考期末)在估算一元二次方程x2+12x−15=0的根时,小彬列表如右:由此可估算方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是( ).
    A.11.3
    【变式5-1】(2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中)二次函数y=2x2+4x−1的图象如图所示,若方程2x2+4x−1=0的一个近似根是x=−2.2,则方程的另一个近似根为 .(结果精确到0.1)
    【变式5-2】(2023春·全国·九年级期中)小朋在学习过程中遇到一个函数y=12xx−32.
    下面是小朋对其探究的过程,请补充完整:
    (1)观察这个函数的解析式可知,x的取值范围是全体实数,并且y有______值(填“最大”或“最小”),这个值是______;
    (2)进一步研究,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表:
    结合上表,画出当x≥0时,函数y=12xx−32的图像;
    (3)结合(1)(2)的分析,解决问题:
    若关于x的方程12xx−32=kx−1有一个实数根为2,则该方程其它的实数根约为______(结果保留小数点后一位).
    【变式5-3】(2023春·湖南长沙·九年级校联考期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c是常数)中,自变量x与函数y的对应值如下表:
    一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的两个根x1,x2的取值范围是下列选项中的哪一个 (填序号)
    ①−12③−12【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】
    【例6】(2023春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试)如图,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点,下列是关于x的不等式或方程,结论正确的是( )
    A.ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是2B.ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x>4
    C.ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x<2
    D.ax2+(b−k)x+c=ℎ的解是x=2或x=4
    【变式6-1】(2023春·辽宁大连·九年级统考期末)已知:二次函数y=−x2+2x+3.
    (1)将函数关系式化为y=ax−ℎ2+k的形式,并指出函数图像的对称轴和顶点坐标;
    (2)利用描点法画出所给函数的图像.
    (3)当−1【变式6-2】(2023春·山西运城·九年级校考期末)定义mina,b,c为a,b,c中的最小值,例如:min5,3,1=1,min8,5,5=5.如果min4,−x2+4x,3=3,那么x的取值范围是( )
    A.1≤x≤3B.x≤1或x≥3C.13
    【变式6-3】(2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末)我们规定:形如y=ax2+bx+ca<0的函数叫作“M型”函数.如图是“M型”函数y=−x2+4x−3的图象,根据图象,以下结论:
    ①图象关于y轴对称;
    ②不等式x2−4x+3<0的解集是−3③方程−x2+4x−3=k有两个实数解时k<−3.正确的是( )
    A.①②.B.②③.C.①③.D.①②③.
    【题型7 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
    【例7】(2023春·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期中)在平面直角坐标系中,已知点P,Q的坐标分别为−2,0,2,2,抛物线y=ax2−x+2a>0也在该平面直角坐标系中.若抛物线与线段PQ有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
    【变式7-1】(2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中)已知二次函数y=x2−2mx+2m−1(m为常数).
    (1)求证:不论m为何值,该二次函数的图象与x轴总有公共点.
    (2)求证:不论m为何值,该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上.
    (3)已知点Aa,−1,Ba+2,−1,线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点,则a的取值范围是 .
    【变式7-2】(2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣4,﹣2),将点A向右平移6个单位长度,得到点B.
    (1)直接写出点B的坐标;
    (2)若抛物线y=−x2+bx+c经过点A,B,求抛物线的表达式;
    (3)若抛物线y=−x2+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动,当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时,求抛物线顶点横坐标t取值范围.
    【变式7-3】(2023春·福建泉州·九年级校考期末)已知:在平面直角坐标系中,A−1,0,B4,0,抛物线y=x2−2x+n与线段AB有唯一公共点,则n可以取 (写出所有正确结论的序号).①n=1;②n=2;③n≤−8;④−8≤n<−3;⑤−8≤n≤−3,
    【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】
    【例8】(2023春·广东广州·九年级统考期中)抛物线y=x2−2x−3的图象为G1,G1关于x轴对称的图象为G2,G1和G2组成的图象与直线y=x+m有3个公共点时,m的范围(或值)是 .
    【变式8-1】(2023春·浙江·九年级期末)如图,将二次函数y=x2−m(其中m>0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+2的图象记为y2,若y1与y2恰有两个交点时,则m的范围是 .
    【变式8-2】(2023春·浙江杭州·九年级校考期末)如图,抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A,B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1向右平移得C2,C2与x轴交于点B,D,若直线y=x+m与C1,C2共有3个不同的交点,则m的取值范围是 .
    【变式8-3】(2023春·浙江·九年级期末)对于某一函数给出如下定义:对于任意实数m,当自变量x≥m时,函数y关于x的函数图象为G1,将G1沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G2,函数G的图象由G1和G2两部分共同组成,则函数G为原函数的“对折函数”,如函数y=x(x≥2)的对折函数为y=x(x≥2)−x+4(x<2).
    (1)求函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数;
    (2)若点P(m,5)在函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数的图象上,求m的值;
    (3)当函数y=(x−1)2−4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时,直接写出n的取值范围.
    根的判别式
    二次函数的图象
    二次函数与x轴的交点坐标
    一元二次方程根的情况
    △>0
    抛物线与x轴交于,两点,且,
    此时称抛物线与x轴相交
    一元二次方程
    有两个不相等的实数根
    △=0
    抛物线与x轴交切于这一点,此时称抛物线与x轴相切
    一元二次方程
    有两个相等的实数根
    △<0
    抛物线与x轴无交点,此时称抛物线与x轴相离
    一元二次方程
    在实数范围内无解(或称无实数根)
    x
    ……
    −2
    −1
    0
    1
    2
    ……
    y
    ……
    3
    4
    3
    0
    −5
    ……
    x
    1
    1.1
    1.2
    1.3
    x2+12x−15
    −2
    −0.59
    0.84
    2.29
    x
    0
    12
    1
    32
    2
    52
    3
    72
    4

    y
    0
    2516
    2
    2716
    1
    516
    0
    716
    2

    x
    -1
    -12
    0
    12
    1
    32
    2
    52
    3
    y
    -2
    −14
    1
    74
    2
    74
    1
    −14
    -2
    x
    ···
    −1
    0
    1
    2
    3
    ···
    y
    ···
    ···
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