小学人教版8 数学广角——数与形优秀教案

第八单元　数学广角——数与形

,　　数与形的内容包括等差数列1、3、5…之和与正方形的关系，求等比数列、、…之和。数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得直观。“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决。教师教学时，通过学生的自主探究、合作交流，既要让学生充分利用图形的直观、形象特点，用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简捷性；同时，又要让学生寻找图形中所包含的数的规律，用数(或代数式)来表示图形，建立模式，感受用数或者代数式表示的概括性。总之，要让学生在解决问题的过程中体会到数与形的完美结合，并逐步培养学生的抽象概括能力。)

第1课时　连续奇数数列之和与正方形的关系

)(这是边文，请据需要手工删加)

教材第107页的内容。

1．体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。

2．体会数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。

重点：积累数形结合数学活动经验，体会数学思想方法的价值，激发兴趣。

难点：探索规律并验证规律。

课件、不同颜色的小正方形、吸铁板、作业纸。

师：最近老师掌握了一项非常神奇的本领。什么本领呢？我发现只要从1开始的连续奇数相加，比如1＋3，1＋3＋5，…像这样的算式，我都算得特别快。你们信吗？

师：不信也没关系，我们现场来比一比。(师生比赛，看谁算得快。)

师：你们想不想也像老师一样算得快呢？

师：老师给你们一点点提示，我是借助图形发现这个方法的，今天这节课我们就来研究——数与形。

师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如1＋3，我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形(贴在黑板上)，我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。

师：接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？

师：先来两个加数的，再来三个加数的。请同学们在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。

先讨论1＋3，再讨论1＋3＋5。

师：根据同学们的汇报，大家认为1＋3＝22，1＋3＋5＝32。除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？

生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。

师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子来说一说？

生1：1＋3＋5＋7＋9＝52。

生2：1＋3＋5＋7＋9＋11＝62。

师：那我们从头来看一看。请看屏幕：1＋3＋5＋7＋9＝52。

师：一个小正方形可以看成12，想要拼成一个更大的正方形，再增加1个是不够的，增加的个数要比前一个加数再多2(也就是3)；想拼成更大的正方形，再增加3个是不够的，还要比3个再多2个(也就是5个)，此时是1＋3＋5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此类推，加到了9，就能排成每行、每列的个数是5的大正方形。

师(板书)：那看来只要是1开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形，和也就是几的平方。

师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？(图形。)看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。

)(这是边文，请据需要手工删加)

)(这是边文，请据需要手工删加)

课件出示教材第109页“练习二十二”第2题。

师：上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？小组交流一下。

生1：第2个图形中小圆的个数为1＋2，第3个图形中小圆的个数为1＋2＋3，第4个图形中小圆的个数为1＋2＋3＋4。

)(这是边文，请据需要手工删加)

生2：是第几个图形，其中就有几行小圆。

师：照这个规律往下画，你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？

教师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。

师：图形中的最后一行是第几行？含有几个小圆？

师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少，能算出来吗？动笔试一试。

(展示学生作品，请学生介绍方法。)

今天这节课，我们一起学习了“数与形”，说说你有什么收获。

从谈话导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成章地引出课题。充分让学生动手实践，感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使“数”的问题变得更加容易解决。通过两个练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用“形”来解决“数”的有关问题的直观性与简捷性。

)(这是边文，请据需要手工删加)

)(这是边文，请据需要手工删加)

第2课时　利用图形求等比数列之和

教材第107～108页的内容。

1．在学习过程中引导学生探索数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

重点：探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。

难点：探索规律并验证规律。

课件。

师：同学们，上节课我们探究了什么？

生：探究了图形中隐藏的数的规律。

师：今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。(板书课题：利用图形求等比数列之和。)

1．教师与学生比赛算题。

师：你知道＋等于多少吗？(。)

师：那＋＋等于多少呢？(学生计算需要时间。)

教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。

师：只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？那咱们就试试。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？

预设：＋＋＋，＋＋＋＋，

＋＋＋＋＋，

…

师：知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？

2．借助正方形探究计算方法。

师：这件法宝就是它(师边说边课件出示一个正方形)，让我们来把它变一变。

教师进行演示讲解。

(1)演示＋：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的(涂红)，再剩下部分的一半就是正方形的(涂黄)。

师：正方形中表示＋的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？(涂色部分等于“1”减去空白部分。)空白部分占正方形的几分之几？(。)那么涂色部分还可以怎么算呢？(1－。)也就是说＋＝1－。

(2)继续演示＋＋。

师：谁知道除了通分，还可以怎么算？

根据学生回答，板书＋＋＝1－。

(3)演示＋＋＋。

师：那么计算＋＋＋就可以得到？(1－)

师：看到这儿，你发现什么规律了吗？

小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。

学生尝试练习：

＋＋＋＋＋＋＋＝

＋＋＋＋＋＋…＋＋＝

3．知识提升，探索发现。

(1)感受极限。

师：刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？(。)再接着加，一直加到，得数等于？(。)随着不断继续加，你发现得数越来越？(大。)无数个这样的数相加，和会是多少呢？

师：这时候你心中有没有一个大胆的猜想？(学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。)

(2)利用线段图直观感受相加之和等于“1”。

师：书本上有两幅图，我们一起来看看。(课件出示。)一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。

结论：这些分数不断加下去，总和就是1。

基础练习：

＋＋＋＋…＝

学生独立计算，全班交流反馈。

请你来说说这节课有什么收获。

一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过幽默的语言，吸引他们的注意力，激发他们的学习兴趣和求知欲，并为接下来学习例题做好铺垫。在讲解例题中，教师将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，化繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让他们体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让他们经历猜想得数等于“1”到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发他们的学习兴趣，培养他们探索新知的精神。