初中数学湘教版七年级上册4.3.1角与角的大小比较优秀学案

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  4．3　角4．3.1　角与角的大小比较【旧知再现】角的特点：(1)__一__个顶点，__两__条边．(2)它的两条边是__射线__不是__线段__，不能测量出长度．(3)角的大小与两条边的长短__无关__，只和两条边张开的__大小__有关．【新知初探】 阅读教材P123【观察】，你的发现是：1．角的概念(1)角：由具有__公共__端点的__两__条射线组成的图形．(2)角：一条射线绕着它的__端点__从一个位置__旋转__到另一个位置时所成的图形．2．角的表示方　法图　形表　示适用范围用三个大写字母__∠AOB__所有角用一个大写字母__∠O__顶点处只有一个角用数字或希腊字母__∠1____∠α__所有角 阅读教材P124【探究】，你的发现是：角的比较：(1)用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．(2)把两个角叠合在一起比较大小． 阅读教材P125表格后的内容，你的发现是：角的平分线：以一个角的__顶点__为端点且把这个角分成两个__相等__的角的射线．【质疑判断】1．一条直线就是一个平角．(　×　)2．两条射线组成的图形叫做角．(　×　)3．一个周角等于两个平角．(　√　)4．如图，∠β也可以用∠D表示．(　×　)5．若BD是∠ABC的角平分线，则∠ABC＝2∠ABD.(　√　)【妙招巧记】角的四种表示法，用时是有要求的：大写字母用三个，顶点字母放中间；大写字母用一个，顶点只有一个角；希腊字母或数字，配上弧线才能表．　角的概念、表示法和角的比较【P123观察拓展】——角的表示方法根据给出图回答下列问题：(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．【思路点拨】(1)(2)在一个点处只有一个角，这个角可用一个字母表示；(3)角的两边不同，(4)角的顶点不同，则两个角不同．【自主解答】(1)不正确，以A为顶点的角有3个，故不能用∠A表示，可表示为∠DAC.(2)图中∠B可以用一个字母表示．(3)以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC，∠BAD，∠DAC.(4)不是同一个角，因为这两个角的顶点不同．【归纳提升】角的表示方法的几点注意1．用三个大写的英文字母表示角时，必须把表示角的顶点的字母写在中间．2．当角的顶点处只有一个角时，也可以用一个大写的英文字母表示角．3．用阿拉伯数字或小写的希腊字母表示角时，一定要在图中该角的位置画出小弧线并标出数字或小写的希腊字母，方可使用．4．在实际表示中，同一个角可能有多种表示方法， 一般选取较简易的表示方法．变式一：巩固 如图，下列说法正确的是(C)A.∠1与∠BOC表示同一个角B．∠β表示的是∠AOCC．∠1＋∠β＝∠AOCD．∠β＞∠1变式二：提升 (1)请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：第一种表示∠ABE ∠ACB 第二种表示 ∠1 ∠3(2)用量角器度量∠A，∠2，∠ABE的度数，它们的度数之间有什么关系？解：(1)∠ABE可表示为∠4，∠1可表示为∠ABC，∠ACB可表示为∠2，∠3可表示为∠ACF；答案：∠4　∠ABC　∠2　∠ACF(2)∠A＝25°，∠2＝55°，∠ABE＝80°，所以它们的度数之间的关系为：∠A＋∠2＝∠ABE.　角的平分线及应用【P125角的平分线定义拓展】——用角平分线计算角的大小如图，已知点O是直线AB上任意一点，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数．【完善解答】因为已知点O是直线AB上任意一点，所以∠AOC＋∠BOC＝__180°__，平角的定义因为∠AOC＝5∠BOC，所以5∠BOC＋∠BOC＝__180°__，等量代换所以∠BOC＝__30°__，解一元一次方程所以∠AOC＝5×__30°__＝__150°__，代入求值因为OD平分∠AOC，所以∠COD＝__∠AOC__＝×__150°__＝__75°__．角平分线的定义所以∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝30°＋75°＝105°.角的和差【归纳提升】由BD是∠ABC的平分线可得到的三种关系式(1)∠ABD＝∠CBD；(2)∠ABD＝∠ABC, ∠CBD＝∠ABC；(3)∠ABC＝2∠ABD，∠ABC＝2∠CBD.变式一：巩固 如图，∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，OE是∠AOC的平分线，则∠COE的度数为(A)A．50°    B．40°    C．30°    D．20°变式二：提升 如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成3∶4两部分，∠DBE＝8°，求∠ABC的度数．解：设∠ABE＝3x，则∠CBE＝4x，∠ABD＝3.5x，因为∠DBE＝∠ABD－∠ABE，所以3.5x－3x＝8°，x＝16°，7x＝7×16°＝112°.所以∠ABC＝112°.【火眼金睛】　若∠AOB＝2∠BOC且∠AOB＝80°，求∠AOC.正解：①当OC在∠AOB的内部时，如图①因为∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝40°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝80°－40°＝40°.②当OC在∠AOB的外部时，如图②因为∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝40°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝80°＋40°＝120°.所以∠AOC＝40°或∠AOC＝120°.【一题多变】如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，求∠DOE的度数．解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠AOD＝∠BOD＝∠BOA，∠BOE＝∠COE＝∠BOC，因为∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，所以∠BOE＝25°，∠BOD＝40°，所以∠DOE＝25°＋40°＝65°.【母题变式】【变式一】(变换条件、问法)如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠DOE＝65°，求∠BOA的度数．解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠AOD＝∠BOD＝∠AOB，∠BOE＝∠COE＝∠BOC，因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝25°，因为∠DOE＝∠BOE＋∠BOD，∠DOE＝65°.所以∠BOD＝65°－25°＝40°.所以∠BOA＝2∠BOD＝80°.【变式二】(变换条件、问法)如图，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，∠DOE＝65°.试说明OD是∠AOB的平分线．解：因为OE是∠BOC的平分线，所以∠BOE＝∠COE＝∠BOC，因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝25°，因为∠DOE＝∠BOE＋∠BOD，∠DOE＝65°.所以∠BOD＝65°－25°＝40°.因为∠BOA＝80°，所以∠AOD＝∠BOA－∠BOD＝80°－40°＝40°.所以∠AOB＝2∠AOD＝2∠BOD，所以OD平分∠AOB，即OD是∠AOB的平分线．