数学人教A版 (2019)7.1 复数的概念优秀学案

第七章  复数

7.1  复数的概念

一、复数的有关概念

1.复数

(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做        ，满足i2＝    .

(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即              ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.

2.复数集

(1)定义：        所构成的集合叫做复数集.

(2)表示：通常用大写字母C表示.

【答案】1.（1）虚数单位 －1 （2）z＝a＋bi(a，b∈R)

2.（1）全体复数

二、复数的分类

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)

2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

【答案】1.实数 虚数

三、复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔            ，a＋bi＝0⇔        .

【答案】a＝c且b＝d  a＝b＝0

四、复平面

五、复数的几何意义

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).

2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.

六、复数的模

1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.

2.记法：复数z＝a＋bi的模记为          .

3.公式：|z|＝|a＋bi|＝        .

【答案】2.|z|或|a＋bi|

3.

七、共轭复数

1.定义：当两个复数的实部      ，虚部          时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫        .

2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝        .

【答案】1.相等 互为相反数 共轭虚数

2.a－bi

一、单选题

1．已知 是虚数单位，复数 的虚部为（　　） 

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】C

【解析】由 ，虚部为1，C符合题意.

故答案为：C.

2．已知复数 ，i为虚数单位，则 （　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】 ．

故答案为：C

3．已知 ( ， 为虚数单位)，则实数a+b的值为（　　）  

A．3 B．5 C．6 D．8

【答案】D

【解析】 ，故 则

故答案为：D

4．复数 在复平面内对应的点的坐标为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】复数 在复平面内对应的点的坐标为 .

故答案为：A.

5．若 ，则 （　　） 

A．1 B．-1 C． D．

【答案】C

【解析】因为 ,故 .

故答案为：C.

6．已知 为虚数单位，则 （　　）  

A． B． C．3 D．5

【答案】B

【解析】 ，

故答案为：B.

二、填空题

7．已知 ，则 　     　

【答案】2-i

【解析】解：∵z=2+i,
∴
故答案为：2-i
8．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=　     　．

【答案】

【解析】复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==。

故答案为：。

三、解答题

9．分别求实数x的值，使得复数

（1）是实数；     

（2）是虚数；    

（3）是纯虚数.

【答案】（1）当 时，即 或 时， 是实数；

（2）当 时，即 且 时， 是虚数；

（3）当 且 时，即 时， 是纯虚数. 

【解析】 (1) z是实数，则虚部等于0，求解即可得答案;
(2) z是虚数,则虚部不等于0，求解即可得答案;
(3) z是纯虚数，则实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案。

10．已知复数 ．

（1）若 ，求 ； 

（2）求 的最小值． 

【答案】（1）解：因为 ， 

所以 ，

所以 或 ．

（2）

所以 时， 的最小值为

【解析】(1)由复数的运算性质整理即可求出a的值。
(2)结合复数模的定义代入数值计算出结果即可。