【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）导学案（有答案）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)

【学习目标】

1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.

2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P31～32，思考并完成以下问题

1．在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？

2．设直线l的方向向量u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α，的充要条件是什么？

二、课前小测

1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)

A．10                              B．－10　

C.                                 D．－

2．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　)

A．平行                                         B．异面

C．垂直                                         D．以上都不对

3．若直线l的方向向量为a＝(－1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，4)，则(　　)

A．l∥α                                    B．l⊥α

C．l⊂α                                     D．l与α斜交

4．若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是________．

5．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________．

三、新知探究

知识点　空间垂直关系的向量表示

四、题型突破

题型一　证明线线垂直问题

例1　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.

方法总结

证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

跟踪训练　

1、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证AE⊥CD.

题型二　证明线面垂直问题

例2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.

归纳总结

本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．

跟踪训练

2、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.

题型三　证明面面垂直问题

例3　如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.

方法总结

利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

跟踪训练

3、在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

五、达标检测

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　)

A．5         B．4           C．－4          D．－5

2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)

A．－2        B．2           C．6             D．10

3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(　　)

A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)

B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)

D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)

4．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为(　　)

A．l与α斜交                     B．l⊂α

C．l∥α                           D．l⊥α

5．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.

六、本课小结

1.利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；

(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．

2．证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．

参考答案

课前小测

1．解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.

2．答案：C

3．解析：因为a＝(－1，0，2)，n＝(－2，0，4)，

n＝2a，所以n∥a，所以l⊥α.

答案：B

4．解析：因为＝(1，－1，1)，又u1·＝(1，3，2)·(1，－1，1)＝0，故两直线的位置关系为垂直．

答案：垂直

5．解析：因为u1·u2＝(1，0，1)·(0，2，0)＝0，所以两平面的法向量垂直，即两平面垂直．

答案：垂直

题型突破

例1　证明：由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，

因而E(0，，)，F(，，0)，

所以＝(，0，－)，＝(0,2,0)，

因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC.

跟踪训练　

1、证明　以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)．

∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．

∴C(，，0)，E(，，)．

设D(0，y,0)，由AC⊥CD得·＝0，

即y＝，则D(0，，0)，

∴＝(－，，0)．

又＝(，，)，

∴·＝－×＋×＝0，

∴⊥，即AE⊥CD.

例2　证明：

方法一　设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，

E(2,2,1)，F(1,1,2)．

∴＝(1,1,2)－(2,2,1)

＝(－1，－1，1)．

＝(2,2,2)－(2,0,0)

＝(0,2,2)，

＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．

而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)

＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.

·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，

∴EF⊥AB1，EF⊥AC.

又AB1∩AC＝A，AB1⊂平面B1AC，AC⊂平面B1AC，

∴EF⊥平面B1AC.

方法二　设＝a，＝c，＝b，

则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，

∵ ＝＋＝a＋b.

∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)

＝(b2－a2＋c·a＋c·b)

＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.

∴⊥，即EF⊥AB1，

同理，EF⊥B1C.

又AB1∩B1C＝B1，AB1⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，

∴EF⊥平面B1AC.

跟踪训练

2、证明：

方法一　如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为2，

则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，

G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，

∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，

而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0.

∴⊥，⊥，

即OA1⊥OB，OA1⊥BG，

而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.

方法二　同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则，∴，

令x＝1得z＝2，y＝－1，

∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，

显然＝(－1,1，－2)＝－n，

∴∥n，∴A1O⊥平面GBD.

例3　证明：设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)，连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为(，，0)．

因为＝(0,0,1)，＝(0,0，)，

所以＝，所以∥.

又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，

又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.

跟踪训练

3、解：由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，

故＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(－2,0，)．

设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，得y＝1，故n＝(1,1,0)．

设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，

则即

令c＝4，得a＝1，b＝－1.

故n2＝(1，－1,4)．

因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，

所以n1⊥n2.

所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.

达标检测

1．答案：D

解析　∵α⊥β，∴a⊥b，

∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.

2．答案：D

解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0，

∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10.

3．答案：A

解析：∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，

∴n1·n2＝0，故选A.

4．答案：D

解析：∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，

∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.

5．答案：－4

解析：∵α⊥β，∴a·b＝0，

∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.