【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 2.2.3直线的一般式方程 导学案（有答案）

2.2.3　直线的一般式方程

【学习目标】

1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．

2.能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化．

3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P64～66，思考并完成以下问题

1．怎样求一般式表示的直线的斜率与截距？

2．直线与二元一次方程之间的关系是怎样的？

二、课前小测

1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　)

A．y＝－x＋4

B．y＝－(x－3)

C．4x＋3y－12＝0

D．4x＋3y＋12＝0

2．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

3．与直线x＋y－1＝0垂直的直线的倾斜角为(　　)

A．30°   B．60°

C．120°  D．150°

三、新知探究

一、直线与二元一次方程的关系

在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：

二、直线的一般式方程

式子：关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0；

条件：A、B不同时为零．

三、直线的一般式方程与其他四种形式的转化

四、题型突破

题型一  求直线方程的一般式

[例1]　根据下列条件求解直线的一般式方程．

(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；

(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；

(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；

(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.

反思感悟

(1)求直线方程的一般式，表面上需求A、B、C三个数，由于A、B不同时为零．当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；当B≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．

(2)直线的点斜式、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示两点的横坐标相等、纵坐标相等的直线，截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线，而一般式可以表示任何类型的直线而不受条件限制．

(3)直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以在适当条件下化成其他形式．在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程．

跟踪训练

1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．

(1)斜率是－，经过点A(8，－6)的直线方程为____________；

(2)经过点B(4,2)，平行于x轴的直线方程为_____________________________；

(3)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为____________；

(4)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________．

题型二　一般式直线方程的综合应用

[例2]　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：

(1)过点(－1,3)，且与l平行；

(2)过点(－1,3)，且与l垂直．

反思感悟

与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件列方程求出C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列方程求出C2.

跟踪训练

2．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；

(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

题型三　由一般式直线方程判断位置关系

[例3]　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；

(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？

反思感悟

1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法：

(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．

(2)可直接采用如下方法：

一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.

这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．

2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：

(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.

(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

第二种方法可避免讨论，减小失误．

跟踪训练

3．已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是________．

五、达标检测

1．已知直线x＋y＋1＝0，则直线的倾斜角为(　　)

A．60°　　B．－60°　　　C．150°　　　D．120°

2．直线y＝x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．

3．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是____________．

六、本课小结

1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式．

2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.

参考答案

课前小测

1．答案：C

2．答案：D

3．答案：B

题型突破

[例1] 解析：

(1)因为k＝2，且经过点A(1,3)，由直线的点斜式可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.

(2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，故直线的斜截式为y＝x＋4.

整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0.

(3)由直线的两点式可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.

(4)由直线的截距式可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.

跟踪训练

1．答案：(1)x＋2y＋4＝0　(2)y－2＝0  (3)2x－y－3＝0　(4)x＋y－1＝0

[例2]　解析：

解法一：l的方程可化为y＝－x＋3，

∴l的斜率为－.

(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.

又∵l′过点(－1,3)，

由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，

即3x＋4y－9＝0.

(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，

由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，

即4x－3y＋13＝0.

解法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.

∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.

将(－1,3)代入上式得n＝13.

∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.

跟踪训练

2．解析：(1)设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.

∵l经过点(1,2)，

∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.

∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.

(2)设直线l的斜率为k.

∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，

∴k·(－2)＝－1，∴k＝.

又∵l经过点A(2,1)，

∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.

[例3]　解析：

解法一　

(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，

l2：mx＋3y－2＝0知：

①当m＝0时，显然l1与l2不平行．

②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.

解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.

(2)由题意知，直线l1⊥l2.

①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．

②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．

③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.

当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，

即·＝－1，

∴a＝－1.

综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

解法二　

(1)令2×3＝m(m＋1)，

解得m＝－3或m＝2.

当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

∴m的值为2或－3.

(2)由题意知直线l1⊥l2，

∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，

解得a＝±1，

将a＝±1代入方程，均满足题意．

故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

跟踪训练

3．解析：因为l1∥l2，

所以2×1－(λ＋1)λ＝0，

即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.

当λ＝1时，l1与l2重合，不符合题意．

所以λ＝－2.

答案：－2

达标检测

1．解析：直线的斜率k＝－，∴直线的倾斜角为120°.

答案：D

2．解析：令x＝0，得yA＝－2；

令y＝0，得xB＝3，

∴S△AOB＝×2×3＝3.

答案：3

3．解析：设所求直线方程为3x＋4y＝a(a≠0)，

则直线与两坐标轴的交点分别为，，

∴××＝24，解得a＝±24，

∴直线l的方程为3x＋4y＝±24.

答案：3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0