高中数学3.1 椭圆优秀学案设计

这是一份高中数学3.1 椭圆优秀学案设计，共10页。学案主要包含了学习目标，学习过程等内容，欢迎下载使用。
3.1.2　椭圆的简单几何性质【学习目标】1．掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质．2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程．3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题．【学习过程】一、课前预习预习课本P109～112，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？ 2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？二、课前小测1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a(　　)(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c(　　)(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆(　　)2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5,3，　　　　　　 B．10,6，C．5,3， D．10,6，3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A.＋＝1 B．＋＝1C.＋＝1 D.＋＝14．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．三、新知探究椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝，短轴长＝焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝(0<e<1) 四、题型突破题型一　由标准方程研究几何性质[例1]　 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．    反思感悟用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质．[注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 跟踪训练1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．  题型二　利用几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.    反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　 跟踪训练2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；(2)过点(3,0)，离心率e＝；(3)过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．    题型三　求椭圆的离心率[例3] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)A.　　　 B.　　　　C.　　　 D.多维探究1．将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．   2．将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．    反思感悟求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 五、达标检测1．(辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)A.   B.C.   D.2．(河南六市一模)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)A．           B．          C．            D．3．(四川德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)A．24            B．12             C．8             D．64．(湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)A．(，1)                     B．(，)C．(，1)                         D．(0，)六、本课小结(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置．在a>b>0时，方程＋＝1的焦点在x轴上，方程＋＝1的焦点在y轴上．(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小，即椭圆＋＝1位于四条直线x＝±a，y＝±b围成的矩形内．(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，具体影响如下．(4)椭圆是轴对称与中心对称图形，具体如下．(5)椭圆的长轴和短轴都是线段，并不是直线，所以它们有长度，长轴长是2a，短轴长是2b.(6)在椭圆中，a，b，c都具有实际的具体意义，其中，a——长半轴长，b——短半轴长，c——半焦距．它们之间的关系是a2－b2＝c2.     
参考答案课前小测1．答案：(1)×　(2)√　(3)√2．答案：B3．答案：D4．答案：题型突破[例1]　[解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)． 跟踪训练1．解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝；(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.[例2]　[解]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1. 跟踪训练2．解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知解得a＝5，b＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得a＝3，因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3，因为e＝，所以＝，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(3)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.[例3]  [解析]　法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．[答案]　D 多维探究1．解：在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，有＝＝，∴＝，∴e＝＝＝＝.2．解：由题意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，∴e>.故C的离心率的取值范围为. 达标检测1. 答案：C解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.2. 答案：A解析：A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2，所以椭圆C的离心率的最大值为＝．故选A．3. 答案：C解析：∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C．4. 答案：B解析：由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cos∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF1F2<120°，∴－<cos∠PF1F2<，所以2c<a<(＋1)c，则<<，即<e<．故选B．