高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀学案设计

3.2.1　双曲线及其标准方程

【学习目标】

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．

2．掌握双曲线的标准方程．

3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P118～121，思考并完成以下问题

1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？

2．什么是双曲线的标准方程？

二、课前小测

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线(　　)

(2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b(　　)

(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b(　　)

2．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)

A．(－，0)，(，0)　　　 B．(－5,0)，(5,0)

C．(0，－5)，(0,5) D．(0，－)，(0，)

3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)

A.－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3)

C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3)

4．双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．

三、新知探究

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

[说明]　平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”．

当2a<|F1F2|时，轨迹是双曲线；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；

当2a>|F1F2|时，轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程

[说明] (1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．

(2)a，b，c三个量的关系：

标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定．

四、题型突破

题型一　双曲线标准方程的认识

[例1] 已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)

A．k>5　　　　　　 B．k>5或－2<k<2

C．k>2或k<－2 D．－2<k<2

反思感悟

双曲线方程的辨识方法

将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　　　　　

跟踪训练

1．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)

A.　　　　　　　　　 B．5

C．7 D.

2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　)

A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆

题型二　求双曲线的标准方程

[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；

(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；

(3)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)．

反思感悟

1．求双曲线标准方程的步骤

(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．

(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．

2．双曲线标准方程的两种求法

(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．

(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．

[注意]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　

跟踪训练

3. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；

(2)双曲线过两点P，Q.

题型三 双曲线定义的应用

[例3] 已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．

[多维探究]

1．若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．

2．若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其它条件不变，求△F1PF2的面积．

反思感悟

在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　

五、达标检测

1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝ 60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)

A．2　　　　　B．4　　　　　C．6　　　　　D．8

3．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)

A.   B. 

C.   D.

4．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k的值是________．

六、本课小结

1．对双曲线定义的两点说明

(1)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1，F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．

(2)在双曲线定义中，规定2a<|F1F1|，若把|F1F2|用2c表示，则当2a<2c时，P的轨迹为双曲线；当2a＝2c时，P的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>2c时，动点P的轨迹不存在．

2．对双曲线标准方程的四点认识

(1)只有当双曲线的两焦点F1，F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程．

(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件、这里b2＝c2－a2与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a，b大小则不确定．

(3)焦点F1，F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”．若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．

(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式，即Ax2＋By2＝1(AB<0)．

参考答案

课前小测

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×

2．答案：B

3．答案：D

4．答案：－＝1

题型突破

[例1] [解析]∵方程对应的图形是双曲线，

∴(k－5)(|k|－2)>0.

即或

解得k>5或－2<k<2.

[答案]　B

跟踪训练

1．解析：选D　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.

2．解析：选C　方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.

[例2] [解]　(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，

得b2＝c2－a2＝42－32＝7.

因为双曲线的焦点在x轴上，

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．

因为点A(－5,6)在双曲线上，所以

2a＝|－|＝|13－5|＝8，

则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.

所以所求双曲线的标准方程是－＝1.

(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.

设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

跟踪训练

3. 解：(1)设双曲线的标准方程为

－＝1(－4<k<16)．

将点(3，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，

∴双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．

∵点，在双曲线上，

∴解得

∴双曲线的标准方程为－＝1.

[例3] [解]　因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理，

得cos∠F1PF2＝

＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.

[多维探究]

1．解：由双曲线的标准方程－＝1，

得a＝3，b＝4，c＝5.

由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，

∴|10－|PF2||＝6，

解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.

2．解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，

|PF2|－|PF1|＝6，

可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，

∴S△F1PF2＝×4×4＝8.

达标检测

1．答案：C

2．答案：B

解析：在△PF1F2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1 |·|PF2|·cos 60°

＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，

即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，

解得|PF1|·|PF2|＝4.

3．答案：C

解析：由条件知c＝，∴|F1F2|＝2，

∵·＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝，

设M(x0，y0)，则解得

则点M到x轴的距离为，故选C.

4．答案：－1

解析：由已知，得－＝1.

∵焦点为(0,3)，∴k<0.

∴－＝1.

∵a2＝－，b2＝－，c＝3，

∴－＋＝9，

∴k＝－1.