【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册--1.1.1空间向量及其线性运算 导学案（有答案）

1.1.1空间向量及其线性运算

【本节目标】

1.利用类比的方法理解空间向量的相关概念.

2.掌握空间向量的线性运算.

3.掌握共线向量定理和共面向量定理，并能熟练应用.

【本节重点】

空间向量的线性运算.

【本节难点】

共线向量定理和共面向量定理的应用.

【课前预习】

1.空间向量的概念及几类特殊向量

2.空间向量的表示

空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的_______表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为__________.

3.空间向量的加、减法运算、数乘运算

(1) a＋b=＋＝________；

(2) a- b＝－＝________.

(3)数乘λa(a≠0)

大小：|λa|=_________.

方向：当λ>0时，λa的方向与a的方向_________；

当λ<0时，λa的方向与a的方向__________；

当λ=0时，λa=0

运算律：

交换律 a＋b＝_________；结合律(a＋b)＋c＝________________.

分配律λ(a＋b)＝_______________，(λ＋μ)a＝____________________.

4.共线向量

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.

(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.

5.方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的____________成为直线l的方向向量.也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定.

6.共面向量

定义：平行于________________的向量叫做共面向量.

①证明空间三个向量共面，常用如下方法：

(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；

(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.

②对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：

(1)＝x＋y；

(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；

(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

(4)∥(或∥，或∥).

【小试牛刀】

1.判断正错

(1)零向量没有方向．(      )

(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．(     )

(3)平面内所有的单位向量是相等的．(     )

(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(     )

(5)任何两个向量均不可以比较大小(      )

2.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有(　　)

A.1个           B.2个           C.3个              D.4个

3.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A. a＋b－c                   B.－a－b＋c

C.－a＋b＋c                  D.－a＋b－c

【典例剖析】

题型一 空间向量概念

注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．

例1　给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝；

③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；

④在四边形ABCD中，必有＋＝.

其中正确命题的序号是________.

[跟踪训练]

1.下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)

A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量，满足||＞||，则＞

D．相等向量其方向必相同

2.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有___________；与向量相反的向量有_________________.(要求写出所有适合条件的向量)

题型二 空间向量的线性运算

注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；

2.要注意数形结合思想的运用.

例2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.

[跟踪训练]

如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.

(1)＝x＋y＋z；

(2)＝x＋y＋z.

题型三 向量的共线及判定

例3 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线.

注意：要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：

(1)＝m；(2)＝＋λ；(3)＝n＋(1－n).

[跟踪训练]

在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与＋是否共线．

题型四  向量共面

例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.

[跟踪训练]

如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面.

【随堂检测】

1.下列说法：

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；

③若两个非零向量与满足＋＝0，则，为相反向量；

④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合.

其中错误的个数为(　　)

A.1      B.2　　　　C.3　　　　D.4

2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)

A．a＝b                    B．a＋b为实数0 

C．a与b方向相同           D．|a|＝3

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)

A．x＝1，y＝                B．x＝，y＝1

C．x＝1，y＝                D．x＝1，y＝

4．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于(　　)

A．a－b＋c                 B．－a＋b＋c

C．a＋b－c                 D．－a＋b－c

5.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量．

③试写出与向量相等的所有向量．④试写出向量的所有相反向量．

6.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.

7.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.

8.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

参考答案

【课前预习】

1.大小　方向　长度或模　1　长度为0　相同　相等　方向　模

2.长度   |a|或||

3.       |λ||a|  相同   相反   b＋a    a＋（b＋c）  λa＋λb  λa＋μa

4. (1)互相平行或重合　共线向量　  (2)a＝λb

5. 非零向量

6. 同一个平面

【小试牛刀】

1. 答案： ×  ×  ×   ×  √

2. 答案：C

解析：与向量相等的向量有，，共3个.

3. 答案：C

解析：＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.

【经典例题】

例1. 答案：①②

解析：(1)①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝.综上可知，正确命题为①②.

[跟踪训练]

1. 答案：D

解析：A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；

B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；

C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.

2. 答案：，，   ，，，

解析：根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.

与向量相反的向量有，，，.

例2. 证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

∴＝＋，＝＋，＝＋，

∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．

又∵＝，＝，

∴＋＋＝＋＋＝＋＝.

∴＋＋＝2.

[跟踪训练]

解：(1)因为＝＋＝＋＋＝－＋＋，

又＝x＋y＋z，

所以x＝1，y＝－1，z＝1.

(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，

所以x＝，y＝，z＝1.

例3.证明：设＝a，＝b，＝c.

∵＝2，＝，

∴＝，＝.

∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.

∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．

又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，

∴＝，所以E，F，B三点共线．

[跟踪训练]

解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，

∵E、F分别为AB、CD的中点．

∴＝，＝.

又∵E、F、G三点共面，

∴＝＋＝(＋)，即与＋共线．

例4. 证明：分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，

连接MN，NQ，QR，RM，

因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.

由题意知四边形MNQR是平行四边形，

所以＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋(－)＝(＋).

又＝－＝－＝.

所以＝＋，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.

[跟踪训练]

解析： 因为M在BD上，且BM＝BD，

所以＝＝＋.同理＝＋.

所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.

【随堂检测】

1.答案：C

解析：①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.

②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

③正确.＋＝0，得＝－，且，为非零向量，所以，为相反向量.

④错误.由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.

2. 答案：D

解析：向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.

3．答案：D

解析：＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝．

4. 答案：B

解析：＝－＝  (＋)－ ＝－a＋b＋c．

5.解：①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.

③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.

④向量的相反向量有，，，.

6. 解：＝＋＝＋＝＋(＋＋)

＝＋＝＋

＝＋＋＝a＋b＋c.

7. 解：∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴＝，＝，

则＝－＝－＝＝(－)＝＝(－)＝，

∴∥且||＝||≠||.

又F不在直线EH上，

∴四边形EFGH是梯形.

8.解：如图：

(1)由已知，得＋＋＝3，

∴－＝(－)＋(－)，

∴＝＋＝－－.

∴向量，，共面.

(2)由(1)知，向量，，共面，表示三个向量的有向线段又过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面，∴点M在平面ABC内.