人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程公开课教学设计及反思

第二十一章　一元二次方程

21.1　一元二次方程

◇教学目标◇

【知识与技能】

1.理解一元二次方程的定义、一般形式,能把一个一元二次方程化为一元二次方程的一般形式,并能写出它的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项.

2.了解一元二次方程根的定义,并能利用一元二次方程的根求方程中字母系数的值.

【过程与方法】

通过观察、分析、提炼实际问题中的数学关系,把实际问题转化为数学模型(一元二次方程),使学生感受到一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具.

【情感、态度与价值观】

通过一元二次方程概念的建立过程,激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学的意识.

◇教学重难点◇

【教学重点】

一元二次方程的定义及其一般形式.

【教学难点】

一元二次方程的判断及化成一般形式.

◇教学过程◇

一、情境导入

如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去面积多大的正方形?

二、合作探究

探究点1　一元二次方程的定义

典例1　下列方程中是关于x的一元二次方程有　　　　.(填序号) 

①x2-4x+2=0;②x2+x-=0;③2x2-5xy=0(x,y都是未知数);④x3-x2+x=0;⑤k2+2x+3=0(k≠0);⑥(x-3)2=(x-1)·(x+1);⑦x(x2+x-1)=x3+2.

[解析]　方程①符合一元二次方程的定义;方程②左边含有分式,不是整式方程,所以不是一元二次方程;方程③中含有两个未知数,不是一元二次方程;方程④中未知数的最高次数为3,所以不是一元二次方程;方程⑤中未知数x的最高次数是1,所以不是一元二次方程;方程⑥经整理后为-6x+10=0,是一元一次方程;方程⑦经过整理后为x2-x-2=0,符合一元二次方程的三个条件,是一元二次方程.

[答案]　①⑦

判断一个方程是一元二次方程,首先要确认已知方程中仅有一个未知数,其次要确认已知方程为整式方程,最后经过去括号、移项、合并同类项等变形,把原方程化为ax2+bx+c=0的形式,确认a≠0.

变式训练　若方程(m-1)x|m|+1-2x=3是一元二次方程,则m=　　　　. 

[答案]　-1

探究点2　一元二次方程的一般形式

典例2　把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.

(1)(1-2x)(x+2)=3x2+1;

(2)=1.

[解析]　(1)化简得方程的一般形式为5x2+3x-1=0,所以二次项系数为5,一次项系数为3,常数项为-1.

(2)化简得一般形式为2x2-3x-9=0,所以二次项系数为2,一次项系数为-3,常数项为-9.

探究点3　一元二次方程的根

典例3　关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根为0,则实数a的值为　　　　. 

[解析]　根据一元二次方程根的定义,把x=0代入原方程得,|a|-1=0,所以a=±1,又因为此方程是一元二次方程,所以a-1≠0,即a≠1.所以a=-1.

[答案]　-1

三、板书设计

一元二次方程

1.根据具体问题中的数量关系列出方程.

2.一元二次方程的概念,其基本特征:(1)等式两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.

3.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0),a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.

4.一元二次方程根的判断:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.

◇教学反思◇

　　本节课的学习让学生经历实践、探索的过程,在经历中体会总结出一元二次方程的定义.对于一元二次方程的定义可让学生类比一元一次方程的定义,以加深对定义的理解.对于一元二次方程的一般形式,要注意二次项系数a≠0这一隐含条件,可通过举例加深理解.