初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆精品教学设计及反思

第二十四章 圆

24.2.1点和圆的位置关系

教学设计

一、教学目标

1.使学生理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系，探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法.

2.通过生活中的实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想.

3.通过本节知识的教学，让学生体验店和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣.

二、教学重难点

1. 教学重点

点和圆的三种位置关系及数量关系；

过不在同一直线上的三点的圆的画法

2. 教学难点

点和圆的三种位置关系及数量关系

三、教学过程

（一）新课导入

我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.

（二）探索新知

点和圆的位置关系：

1.观察图中点A，B，C与圆的位置关系.

2.设的半径为r，请说出点A，B，C与圆心O的距离与半径的关系.

3.反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？

学生观察讨论后得出结果

（1）点和圆的三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在圆内.

（2）OA<r，OB＝r，OC>r，由位置关系得出数量关系.

（3）点P在圆内；点P在圆上；点P在圆外，由数量关系得出位置关系.

问题：你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.

探究（确定圆的条件）：

我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？

学生通过动手，观察课件，得出结论：

经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个，如下图（1）.

经过两点A，B作圆，由于所作圆的圆心到A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线，这样的圆也可以作出无数个，如下图（2）.

思考：

经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？

如图，三点A，B，C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上.

（1）分别连接AB，BC，AC；

（2）分别作线段AB，BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O，则OA＝OB＝OC；

（3）以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径作圆，便可以作经过A，B，C三点的圆.

因为过ABC三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只能有一个，即：不在同一条直线上的三点确定一个圆.

三角形的外接圆：

1.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

【注意】一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.

2.三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.

三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.

三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部如图（1）；直角三角形的外心是斜边的中点如图（2）；钝角三角形的外心在三角形的外部如图（3）.

3.三角形外接圆的作法

（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；

（2）以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.

【注意】

根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形都有外接圆.

思考：

经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？

学生通过作图能从直观上感知不能画，但理由说不出

教师通过反证法解释说明：

如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.

设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P与l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.

所以，经过同一条直线上的三点不能作圆.

教师提问：什么是反证法？

1.反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法.

例 如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.

解：假设∠1≠∠2，过点O作直线，使

根据“同位角相等，两条直线平行”，可得

这样，过点O就有两条直线都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.

这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1＝∠2.

2.用反证法证明命题的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从假设出发，经过推理论证，得出与定义、公理、定理或已知条件相矛盾的结论；

③由矛盾断定所作假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.

【注意】

（1）当原命题结论的反面不止一种情况时，需要考虑原结论的反面的所有情况，并一一否定，才能得出原命题成立.

（2）在推理论证时，要把假设作为新增条件参与论证.

【注意】

用反证法主要解决不易直接证明或不能证明的命题，主要有：①结论是否定性的命题；

②结论包含的可能结果有很多或无限种可能情况的命题；

③结论含有“至少”“至多”等词语的命题.求证的关键是准确写出与原命题的结论相反的假设.

及时练（判断题）

1.过三点一定可以作圆

2.三角形有且只有一个外接圆

3.任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形

4.三角形的外心就是这个三角形任意两条垂直平分线的交点

5.三角形的外心到三边的距离相等

答案：1.×     2.√     3.×     4.√     5.×

练习

1.如图，在中，，，，以点C为圆心，以r为半径作圆，请回答下列问题.

（1）当r取何值时，点A在上，且点B在内部？

（2）当r在什么范围内取值时，点A在外部，且点B在内部？

（3）是否存在这样的实数r，使得点B在上，且点A在内部？

【答案】（1）在中，，，，

.

当时，点A在上，且点B在内部.

（2）当时，点A在外部，且点B在内部.

（3）不存在这样的实数r，使得点B在上，且点A在内部.

2.如图，圆O是的外接圆，AO平分.

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若，，求边BC的长.

【解析】（1）如图，连接OB，OC.

，AO平分，

.

在和中，

，，

是等腰三角形.

（2）如图，延长AO交BC于点H.

平分，，，.

设，.，，，，

解得

.

3.用反证法证明“等腰三角形的底角都是锐角”.

【答案】已知：在中，.

求证：都是锐角.

证明：假设都是直角或钝角，

，

，

，

这与三角形内角和为180°矛盾.

假设不成立，原命题的结论正确，

即都是锐角.

（三）小结作业

小结： 

1.本节课我们主要学习了哪些内容？

2.点与圆的位置关系

3.确定圆的条件

4.三角形的外接圆

5.反证法

作业：

四、板书设计

24.2.1点和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

点P在圆内；点P在圆上；点P在圆外，

2.确定圆的条件：过一点、两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三个点可作一个圆

3.三角形的外接圆：外心的性质；外心的位置

4.反证法