【同步教案】湘教版数学八年级上册--2.4.1线段垂直平分线的性质和判定 教案

这是一份【同步教案】湘教版数学八年级上册--2.4.1线段垂直平分线的性质和判定 教案，共6页。教案主要包含了线段垂直平分线的概念，线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定等内容，欢迎下载使用。
第2章　三角形
2.4　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质和判定
教学目标
1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.能运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
教学重难点
重点：线段的垂直平分线的性质定理及其应用.
难点：对线段的垂直平分线的性质定理的探索及证明.
教学过程
导入新课
图1
如图1，在马路某段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人就医，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处.
图2
探究新知
一、线段垂直平分线的概念
问题1：如图2，已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，直线l与线段AA′有什么关系？
师生活动
教师提出问题，学生观察探究结论，如图2，已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD＝A′D，∠1＝∠2＝ 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直于线段AA′.
归纳：我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
二、线段垂直平分线的性质定理
问题2：如图3，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3是l上的点，请猜想点P1，P2，P3到点A与点B的距离之间的数量关系.
P1A＝P1B
P2A＝P2B
P3A＝P3B

图3
师生活动：生可以动手测量，讨论猜测，然后利用轴反射来论证这一猜想，可以借助多媒体展示这一变换过程.
归纳：线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
三、线段垂直平分线的判定
问题3：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？如何证明？怎么使用你发现的规律？
师生活动
教师提出问题，学生独立思考，记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论，写出推论证明过程.
（1）当点P在线段AB上时，
因为PA＝PB，
所以点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
（2）当点P在线段AB外时，如图4所示.
因为PA＝PB，
所以△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
图4
从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即PC⊥AB，且AC＝BC.
因此直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
归纳：线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
应用格式：
如图5，∵ PA＝PB，
图5
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上.
应用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
新知应用
例 已知：如图6，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在线段AC的垂直平分线上.
图6
证明：∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA＝OB.
同理OB＝OC.
∴ OA＝OC.
∴ 点O在线段AC的垂直平分线上.
师生活动：学生独立思考，小组讨论，自己完成证明过程.教师强调步骤的关键点和易错点.
课堂练习
1.如图7所示，AC＝AD,BC＝BD,则下列说法正确的是（　　）
A.AB垂直平分CD；
B.CD垂直平分AB；
图7
C.AB与CD互相垂直平分；
D.CD平分∠ACB.
2.在锐角三角形ABC内有一点P，满足 PA＝PB＝PC,则点P是△ABC（ ）

A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
3.下列说法：
① 若点P，E是线段AB的垂直平分线上的两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB.
其中正确的有 （填序号）.
4.如图8，△ABC中，AB＝AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC＝16 cm,则△BCE的周长是 cm.
5.已知：如图9，点C，D是线段AB外的两点，且AC＝BC，AD＝BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO＝BO.
　　　　
图8　　　　 　　图9　　　 　　　图10
6.如图10所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF 的关系.
参考答案
1.A 2.D 3.①②③ 4.16
5.证明：∵ AC＝BC，AD＝BD，
∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ 直线CD为线段AB的垂直平分线.
又∵ AB与CD相交于点O，∴ AO＝BO.
6.解：AD垂直平分EF.
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵ AD＝AD，∴ △ADE≌△ADF，
∴ AE＝AF，DE＝DF.
∴ A，D均在线段EF的垂直平分线上，
即直线AD垂直平分线段EF.
课堂小结

布置作业
教材第70页练习.
板书设计
2.4　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质和判定
1.线段的垂直平分线的性质
2.线段的垂直平分线的判定
例

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