初中数学湘教版八年级上册5.1 二次根式获奖教学设计

这是一份初中数学湘教版八年级上册5.1 二次根式获奖教学设计，共6页。教案主要包含了二次根式的概念，二次根式有，二次根式的重要性质等内容，欢迎下载使用。

第5章 二次根式
5.1　二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
教学目标
1.了解二次根式的概念，理解被开方数必须是非负数.
2.利用二次根式（a≥0）有意义的条件，会求被开方数中字母的取值
范围.
3.掌握二次根式的两条重要性质，并应用性质化简二次根式.
教学重难点
重点：二次根式的概念和相关性质.
难点：运用二次根式的性质进行计算.
教学过程
导入新课
问题：（1）已知x2 ＝a，那么a是x的　　 　　；x是a的　 　　　，记为
　　　　，a一定是　　　　数.
（2） 4的算术平方根为2，用式子表示为＝　　　　；正数a的算术平方根为　　　　，0的算术平方根为　　　　；式子≥0（a≥0）的意义是　　　　.
师生活动：学生代表独立回答，教师提示总结.
教师总结：根据我们学习的平方根和算术平方根的知识，上述问题的答案是：（1）平方，平方根，x＝±，非负；（2）2，，0，表示a的算术平方根，它有双重非负性.今天我们在此基础上继续探究二次根式的知识.
探究新知
教师：请思考下列问题：
（1）5的平方根是　　　　，算术平方根是　　　　.
（2）正实数a的平方根是　　　　，算术平方根是　　　　.
（3）如果一个正方形的的面积是 S，那么它的边长是　　　　.
图1
（4）如图1，运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2＝gR，其中重力加速度g≈9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？
师生活动：学生思考，并完成上面问题.
师生共同归纳：
上面问题的结果分别表示一些正数的算术平方根.
回顾：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
一、二次根式的概念
总结：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
师生活动：学生联系所学知识，独立思考解决问题；教师总结二次根式的概念，并强调怎样的式子是二次根式.
注意：a可以是数，也可以是式子.具有两个特征：
①外貌特征：含有“”.
②内在特征：被开方数a ≥0.
新知应用
例1　下列各式是不是二次根式？
（1）；　（2）；　（3）；　（4）；
（5）.
师生活动：（1）小题教师与学生一起分析解决.（2）小题学生尝试解决.（3）小题请学生认真思考后解答.(4)(5)两小题需要分情况讨论，教师引导，学生分组讨论，然后请学生代表回答.
解：（1）∵ m2≥0，∴ m2+1>0，
∴ 是二次根式.
（2）∵ a2≥0，∴是二次根式.
（3）∵ n2≥0，∴ -n2≤0，
∴ 当n＝0时，才是二次根式.
（4）当a-2≥0，即a≥2时，是二次根式.
当a-2<0，即a<2时，不是二次根式.
（5）当x-y≥0，即x≥y时，是二次根式.
当x-y<0，即x 二、二次根式有、无意义的条件
教师提出让学生小组合作讨论：二次根式表示什么意义？
此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件时二次根式才有意义？其中字母a需要满足什么条件？为什么？
师生活动：学生先独立思考，讨论后，由小组代表回答，并让其他的学生点评.
教师总结强调：
二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数，（a≥0）.
二次根式无意义的条件：被开方数（式）为负数， （a<0）.
例2　当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
师生活动：学生联系二次根式的定义，尝试解决问题.
教师板演：
解：由x-1≥0，得x≥1.当x≥1时，在实数范围内有意义.
练一练
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；　　　　　（2）.
师生活动：学生独立思考，解决问题；教师讲评统一答案.
解：（1）由题意，得x-2＞0，解得x＞2.
所以当x＞2时，在实数范围内有意义.
（2）由题意，得3+x≥0，解得x≥-3.
　　　　　　　x-1≠0，解得x≠1.
所以当x≥-3 且x≠1时，在实数范围内有意义.
归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需被开方数≥0，列不等式求解即可.当二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
三、二次根式的重要性质
1.的性质
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.
对于任意一个二次根式，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知a≥0.
归纳：

2.（）2（a ≥0）的性质
探究：根据算术平方根的意义填空：
（）2＝ 　　　　；（）2＝　　　　；
＝　　　　；＝　　　　.
追问1：根据以上规律，猜想：（）2＝ 　　　　.
追问2：（）2中a的取值范围是　　　　.
归纳：
（）2 ＝a（a ≥0）. 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
3.的性质
探究：填空：
＝　　　　；＝　　　　；
＝　　　　；＝　　　　.
追问1：以上几个题，它们在结构上有什么规律？
追问2：根据你的观察，请猜想＝　　　　.
思考：表示什么意义？结果等于-3还是3？为什么？
师生活动：学生独立思考；师生总结.
探究：表示（-3）2的算术平方根，等于3.
归纳：

任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
应用：
例3 计算：（1）；　　（2）.
解：（1）；
（2）.
课堂练习
1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.式子有意义的条件是（ ）
A.x＞2 　 B.x≥2 　 　　C.x＜2 　 D.x≤2
3.下列运算中不正确的是（ ）
A. B. 　　C.6＝ 　 D.
4.当x＝ 时，二次根式取得最小值，其最小值为 .
5.计算：（1）（）2　（2）（）2；
（3）（）2；（4）；
（5）；（6）.
6.（1）若二次根式有意义，求m的取值范围.
（2）无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围.
7.（1）已知a为实数，求代数式的值.
（2）已知a为实数，求代数式的值.
参考答案
1.C　2.A　3.D　4.-1 0　
5.解：（1）1.7；（2）a2+1；（3）20；（4）5；（5）2；（6）0.
6.解：（1）由题意，得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴ m＞2.
（2）由题意，得x2+6x+m≥0，即（x+3）2+m-9≥0.
∵ （x+3）2≥0，∴ m-9≥0，即m≥9.
7.解：（1）由题意，得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴ a＝-2，
∴ .
（2）由题意，得-a2≥0.
又∵a2≥0，∴a2＝0，∴a＝0，
∴ .
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？说说看.
1.什么是二次根式？
2.二次根式有意义的条件是什么？
布置作业
教材第157页练习.
板书设计
5.1　二次根式（第1课时）


教学反思

























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