【同步练习】湘教版数学九年级上册--4.1正弦和余弦 同步达标测评（Word版含答案）

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2021-2022学年湘教版九年级数学上册《4.1正弦和余弦》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．9
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
3．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，BC＝6，则AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．4
5．在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，那么BC边的长是（　　）
A．2 B．8 C．4 D．12
7．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，BC＝13，那么tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则下列等式中不正确的是（　　）
A．a＝csinA B．a＝ C．b＝csinB D．c＝
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　 　．

12．已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为　 　．
13．如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 　 　．

14．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则cosA的值是　 　．
15．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　 　．

三．解答题（共8小题，满分60分）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA•cosA的值．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长．

19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．

20．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24cm，cosA＝，求这个三角形的周长．
21．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝　 　；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．

22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．

23．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinα　 　cosα；若0°＜α＜45°，则sinα　 　cosα；若45°＜α＜90°，sinα　 　 cosα．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，
∵AC＝6，cosA＝，
∴＝，
解得：AB＝10，
由勾股定理得：BC＝＝＝8，
故选：B．
2．解：
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
3．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA＝．
故选：A．
4．解：在△ABC中，∠A＝90°，
∵sinB＝＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝2，
故选：A．
5．解：如图．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝＝．
∴sinA＝．
故选：A．
6．解：由sinA＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
即（4）2+（2k）2＝（3k）2，
解得k＝4（取正值），
所以BC＝2k＝8，
故选：B．
7．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，BC＝13，
∴AB＝＝＝5，
∴tanB＝＝，
故选：B．
8．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，
所以sinA＝，即a＝c•sinA，因此选项A不符合题意，
tanA＝，即a＝b•tanA，因此选项B符合题意，
sinB＝，即b＝c•sinB，因此选项C不符合题意，
cosA＝，即c＝，因此选项D不符合题意，
故选：B．
9．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，
又∵cosA＝＝，
∴AB＝，
故选：B．
10．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．解：tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
12．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴cotA＝＝，
故答案为．

13．解：如图所示，连接BC，

则AB＝BC＝＝，AC＝＝2，
∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
14．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB，
∵CD＝4，
∴AB＝8，
∵AC＝6，
∴cosA＝＝＝，
故答案为：

15．解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a＝＝5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分60分）
16．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
17．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA•cosA＝×＝．
答：sinA•cosA的值为．
18．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝．
∵BC＝2，
∴＝，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB＝．
19．解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM＝＝．
20．解：可设AC＝5xcm，AB＝13xcm，
则BC＝12xcm，
由12x＝24得x＝2，
∴AB＝26，AC＝10，
∴△ABC的周长为：10+24+26＝60cm．
21．解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝AB，
∴ctan30°＝＝．
故答案为：；
（2）∵tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝＝＝．

22．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵AB＝10，AC＝8，
∴cos∠BCD＝cosA＝＝＝．
23．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞，
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
（2）由（1）可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．
（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．
故答案为：＝，＜，＞．