初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形优秀综合训练题

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形优秀综合训练题，共19页。试卷主要包含了1m，参考数据，7m，2m，1m，0m，5米，则铁塔的高BC为，6C等内容，欢迎下载使用。


4.4 解直角三角形的应用同步测试卷 2021-2022学年湘教版九年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共16小题，共48分）
1. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上).为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30∘，则B，C两地之间的距离为(    )
A. 1003m B. 502m C. 503m D. 10033m
2. 如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为48∘，则拉线AB的长度约为(    )(结果精确到0.1m，参考数据：sin48∘≈0.74，cos48∘≈0.67，tan48∘≈1.11)
A. 6.7m
B. 7.2m
C. 8.1m
D. 9.0m
3. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4米，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是(   )米．
A. 4+4cos40° B. 4+4sin40∘ C. 4+4sin40° D. 4+4cot40°
4. 如图，电线杆CD的高度为ℎ，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为(A,D,B在同一条直线上)(   )
A. ℎsinα B. ℎcosα C. ℎtanα D. ℎ⋅cosα
5. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(    )
A. (1.5+150tanα)米 B. (1.5+150tanα)米
C. (1.5+150sinα)米 D. (1.5+150sinα)米
6. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(      )
A. 20米 B. 103米 C. 153米 D. 56米
7. 某堤的横断面如图，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是(    )
A. 1:3 B. 1:2.6 C. 1:2.4 D. 1:2
8. 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了(    )
A. 300sinα米 B. 300cosα米
C. 300tanα米 D. 300tan α米
9. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan∠BAC=25，则此斜坡的水平距离AC为(    )
A. 75m B. 50m C. 30m D. 12m
10. 如图，某单位门前有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，现计划把台阶右侧改成斜坡，台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度为i=1:5，则AC的长度是(    )
A. 270cm B. 268cm C. 265cm D. 260cm
11. 如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距离北偏东60∘方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(    )
A. 250米 B. 2503米 C. 50033米 D. 5002米
12. 直线y=x的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为(    )
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘
13. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70∘方向，则河宽(PT的长)可以表示为(    )
A. 200tan70°米 B. 200tan70°米 C. 200sin70°米 D. 200sin70°米
14. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60∘方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45∘方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(    )
A. 303nmile
B. 60 n mile
C. 120 n mile
D. (30+303)n mile

15. 如图，一艘船由A港沿北偏东65∘方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40∘方向航行至C港，C港在A港北偏东20∘方向，则A，C两港之间的距离为(    )
A. (30+303)km
B. (30+103)km
C. (10+303)km
D. 303km
16. 已知一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63∘方向航行，另一艘轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东57∘方向航行，离开港口1小时后，两船相距(    )
A. 83海里 B. 85海里 C. 16海里 D. 24海里
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
17. 如图，某住宅小区有甲、乙两楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m.为了了解甲楼对乙楼的采光影响情况，当太阳光与水平面夹角为30∘时，则甲楼的影子在乙楼上的高度为              (3≈1.732，结果精确到0.1m)．

18. 如图，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别为60∘，45∘，如果无人机距地面高度CD为1003米，点A，D，B在同一水平直线上，那么A，B两点间的距离是          米.(结果保留根号)


19. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30∘，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60∘，A，C之间的距离为4m，则自动扶梯的垂直高度BD=          m.(结果保留根号)

20. 已知斜坡AB的坡度i=1:3，则斜坡AB的坡角是          °.
21. 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31∘，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为          米.(结果保留一位小数，参考数据：sin31∘≈0.515，cos31∘≈0.857，tan31∘≈0.601)

22. 如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是          m.


23. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山，坡上面是一块平地.BC//AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12:5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过50∘时，可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移          m时，才能确保山体不滑坡.(取tan50∘≈1.2)
24. 如图，某人从O点沿北偏东30∘的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是          米.(结果保留根号)
25. 如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30∘方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60∘方向.若该轮船继续向南航行至离灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为          海里(结果保留根号)．


26. 如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60∘方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在轮船的北偏东30∘方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方时，轮船与灯塔P的距离是          n mile.(结果保留一位小数，3≈1.73)
三、解答题（本大题共8小题，共42分）
27. 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD.测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150∘，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30∘，试求电线杆的高度(结果保留根号)．


28. 图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图.已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM=60∘．

(1)求点M到地面的距离;
(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过⋅若能，请通过计算说明;若不能，请说明理由.(参考数据：3≈1.73，结果精确到0.01米)





29. 水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:0.6，背水坡坡比为1:2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．




30. 某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30∘，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15∘，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1m，参考数据：sin15∘≈0.26，cos15∘≈0.97，tan15∘≈0.27)




31. “五一”期间，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示.斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30∘.已知A点海拔121米，C点海拔721米．
(1)求B点的海拔;
(2)求斜坡AB的坡度．






32. 如图，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43∘.求A，B两岛之间的距离.(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43∘≈0.68，cos43∘≈0.73，tan43∘≈0.93)









33. 共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45∘方向上，在B地北偏西68∘向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度.(结果精确到0.1km，sin22∘≈0.37，cos22∘≈0.93，tan22∘≈0.40，2≈1.41)








34. 如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距202nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距205nmile．


(1)求sin∠ABD的值;
(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．



答案和解析

1.【答案】A

【解析】略

2.【答案】C

【解析】略

3.【答案】B

【解析】
【分析】
此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．
原来树的长度是(PB+PA)的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA的度数，通过解直角三角形求出PB的长即可．
【解答】
解：Rt△PAB中，∠PBA=40°，PA=4米；
∴PB= 米；
∴PA+PB=4+ 米)．
故选B．  
4.【答案】B

【解析】略

5.【答案】A

【解析】略

6.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．
【解答】
解：∵点G是BC中点，EG//AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB=2EG=30米，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
则BC=ABtan∠BAC=30×33=103米，
如图，过点D作DF⊥AF于点F，

在Rt△AFD中，AF=BC=103米，
则FD=AF⋅tanβ=103×33=10米，
综上可得：CD=AB−FD=30−10=20米．
故选：A．  
7.【答案】C

【解析】略

8.【答案】A

【解析】略

9.【答案】A

【解析】略

10.【答案】A

【解析】略

11.【答案】A

【解析】略

12.【答案】B

【解析】略

13.【答案】B

【解析】略

14.【答案】D

【解析】略

15.【答案】B

【解析】略

16.【答案】A

【解析】解：设以16海里/时的速度行驶的轮船从港口A出发向北偏东 63∘方向航行，1小时后到达B处，AD表示从港口A出发向南偏东 57∘方向航行的航向，
过点B作BC⊥AD于点C，
由题意得，AB=16海里，∠BAC=180∘−63∘−57∘=60∘，
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，
∴AC=AB⋅cos∠BAC=8(海里)，
∴以8海里/时的速度行驶的轮船同时从港口A出发向南偏东 57∘方向航行，离开港口1小时后，到达C处，
∴BC=AB⋅sin∠BAC=83(海里)，
故选 A．



17.【答案】16.1m

【解析】
【分析】
本题主要考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键；
先延长光线BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，在Rt△BEF中求出BE的长，再求出CF的长，即为甲楼的影子在乙楼上的高度．
【解答】
解：如图，延长光线BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，

∵太阳光与水平线的夹角为30°，
∴∠BFE=30°，
∵AC=EF=24m，
在Rt△BEF中，tan∠BFE=BEEF，
∴BE=EF·tan30°=24×33=8 3m,
∴CF=AE=AB−BE=(30−8 3)≈16.1m．
故甲楼的影子在乙楼上的高度约为16.1m．
故答案为16.1m．  
18.【答案】100(1+3)

【解析】略

19.【答案】23

【解析】略

20.【答案】30

【解析】略

21.【答案】6.2

【解析】略

22.【答案】35

【解析】略

23.【答案】10

【解析】略

24.【答案】103

【解析】略

25.【答案】153

【解析】略

26.【答案】20.8

【解析】略

27.【答案】解：延长AD交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥CE于点F．
在Rt△DCF中，CD=4米，∠DCF=180∘−150∘=30∘，
则DF=CD⋅sin∠DCF=4sin30∘=2(米)，
CF=CD⋅cos∠DCF=4cos30∘=23(米)．
在Rt△DEF中，∠E=30∘，
∴tanE=DFEF=2EF=33，
解得EF=23米.
在Rt△ABE中，BE=BC+CF+FE=6+23+23=(6+43)(米)，
∴tanE=ABBE=AB6+43=33，解得AB=(4+23)米，
即电线杆的高度是(4+23)米．


【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．

28.【答案】解：(1)点M到地面的距离是3.9米．
(2)取CE=0.65米，EH= 2.55米，
∴HB=3.9−2.55−0.65=0.7(米)．
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P．
∵∠GOP=30∘，
∴tan30∘=GPOP =33．
∴GP=33OP≈1.73×0.73=0.404．
∴GH=3.3+0.404= 3.704≈3.70>3.5，
∴货车能安全通过．

【解析】略

29.【答案】解：大坝的截面的周长是(634+305+98)米，面积是1470平方米．

【解析】见答案

30.【答案】解：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．

【解析】略

31.【答案】解：(1)过C点作CF⊥AM于点F，过点B作BE⊥AM于点E，BD⊥CF于点D．
∵在C点测得B点的俯角为30∘，∴∠CBD=30∘，又BC=400米，
∴CD=400×sin30∘=400×0.5=200(米)．
∴B点的海拔为721−200=521(米).(2)∵BE=DF=521−121=400 (米)，
又AB=1040米，∴AE=AB2−BE2=960米．
∴斜坡AB的坡度为400:960=1:2.4．

【解析】见答案

32.【答案】解：由题意，
得AC=18×2=36(海里)，∠ACB=43∘．
在Rt△ABC中，
∵∠A=90∘，
∴AB=AC⋅tan∠ACB≈36×0.93≈33.5(海里)，
故A，B两岛之间的距离约为33.5海里．


【解析】见答案．

33.【答案】解：新建管道的总长度约为8.2km．

【解析】略.

34.【答案】解：(1)过点D作DE⊥AB，垂足为E，
在Rt△AED中，
AD=202，
且由题意知∠DAE=45∘，
∴DE=202×sin45∘=20．
又∵在Rt△BED中，
BD=205，
∴sin∠ABD=EDBD=20205=55．
(2)小岛C，D相距50 n mile．

【解析】见答案．