初中数学湘教版九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质精品同步练习题

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《3.4 相似三角形的判定与性质》课时同步练习2020-2021年数学湘教版九（上）
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
2．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　）

A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
3．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）

A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED
4．如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：
①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P是BC的中点；④BP：BC＝2：3．其中能推出△ABP∽△ECP的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则与△AEF相似的三角形有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在平行四边形ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形（全等除外）有（　　）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42
8．如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为（　　）

A．3：5 B．2：3 C．3：4 D．3：2
9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　）

A．18 B． C． D．
10．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．54
二．填空题（共6小题）
11．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝　 　时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
12．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是　 　．

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为　 　．

14．如图，已知AD：DB＝2：1，CE：EA＝2：3，则CF：DF＝　 　．

15．两三角形的相似比为1：4，它们的周长之差为27 cm，则较小三角形的周长为　 　．
16．若△ABC∽△DEF，且对应高线的比为2：3，则它们的面积比为　 　．
三．解答题（共8小题）
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．求证：△ADB∽△EAC．

18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．

19．如图，已知正方形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，连接DE、DF、EF交AB于点G，若AG＝CF，求证：CD2＝CE•CF．

20．如图，已知正方形ABCD的边长为4，F为BC上一点，且BF＝3，E为DC上的点．
（1）若∠AEF＝90°，求证：△ADE∽△ECF；
（2）若△ADE与△ECF相似，求CE的长．

21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB＝5，AD＝8，BE＝2，求FD的长．

22．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．

23．如图，BE为△ABC的高，请用尺规作图法在BC边上求作一点F，使得△ACF∽△BCE．（保留作图痕迹，不写作法）

24．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．


参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，
∴∠PCF＝90°，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEP＝90°，
∴∠ABE＝∠DEP，
∵AD∥BC，
∴∠DEP＝∠F，
∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选：A．
3．解：（B）∵∠A＝∠A，
∠B＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，故B可以判断，
（C）∵
∠A＝∠A
∴△ABC∽△ADE，故C可以判断，
（D）∵∠A＝∠A，
∠C＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，故D可以判断，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵E为CD中点，
∴CD＝2CE，即AB＝BC＝2CE，
①当∠APB＝∠EPC时，结合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②当∠APE＝∠APB≠60°时，则有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③当P是BC中点时，则有BC＝2PC，可知PC＝CE，则△PCE为等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；
④当BP：BC＝2：3时，则有BP：PC＝2：1，且AB：CE＝2：1，结合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP相似；
故选：C．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，
由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，
故选：C．
6．解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AE＝6，AB＝8，
∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．
故选：C．
8．解：∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，
∴△ADP∽△RBP，
∴，
∴．
∵CR：AD＝2：3，
∴CR＝AD，
∴＝．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12﹣5＝7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠CMG＝90°．
∵∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴＝，即＝，解得CG＝，
∴DG＝12﹣＝．
∵AE∥BC，
∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴＝，即＝，解得DE＝．
故选：B．

10．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，
∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，
∵△ABC的周长为18厘米，
∴，
∴△DEF的周长为6厘米．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．解：当＝时，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE＝＝＝；
当＝时，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE＝＝＝；
故答案为：或．
12．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
当∠D＝∠B或∠E＝∠C或时，△ADE∽△ACB．
故答案为：∠D＝∠B或∠E＝∠C或
13．解：设DE＝x．
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
∴，
∴DF＝，AF＝4﹣＝，
∵△ABF与△CEF的面积相等，
∴•AF•AB＝•EC•DF，
∴×2＝×（x+2），
∴x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），
故答案为：﹣1．
14．解：过D作DM∥AC，交BE于M，
∵DM∥AC，
∴△BMD∽△BEA，
∴＝，
∵AD：DB＝2：1，
∴＝＝＝，
即AE＝3DM，
∵CE：EA＝2：3，
∴CE＝2DM，
∵DM∥AC，
∴△DMF∽△CEF，
∴＝＝＝，
故答案为：2：1．
15．解：令较大的三角形的周长为xcm．
小三角形的周长为（x﹣27）cm，
由两个相似三角形对应中线的比为1：4得，
1：4＝（x﹣27）：x，
解之得x＝36cm，
x﹣27＝36﹣27＝9cm．
故答案为9cm．
16．解：∵△ABC∽△DEF，对应高线的比为2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的面积比为（）2＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB2＝DB•CE，
，
∴，
∴，
∴△ADB∽△EAC．
18．证明：如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．

19．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ECD＝∠DCF＝90°．
在△ADG和△CDF中，，
∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴∠ADG＝∠CDF．
∵AD∥BE，
∴∠ADG＝∠E，
∴∠E＝∠CDF．
又∵∠ECD＝∠DCF＝90°，
∴△ECD∽△DCF，
∴＝，
即CD2＝CE•CF．

20．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠CEF＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF．
（2）∵正方形ABCD的边长为4，F为BC上一点，BF＝3，E为DC上的点，
∴CF＝1，DE＝4﹣CE，
分两种情况：
①∵△ADE∽△ECF，
∴＝．
∴＝．
解得CE＝2．
②∵△ADE∽△FCE，
∴＝．
∴＝．
解得CE＝．
∴CE的长是2或．

21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．CD＝AB＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6．
∴＝．
∴CF＝，
∴FD＝CD+CF＝
22．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EDA，
∵∠EAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设DE＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB＝CE：AC，
即x：3＝（4﹣x）：4，
解得：x＝，
∴DE的长是．
23．解：如图，△ACF即为所求．

24．解：∵OA＝2，AD＝9，
∴OD＝9﹣2＝7，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝＝，
∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，
∴＝＝，
解得OC＝，AB＝，
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D＝∠A＝58°．