初中数学湘教版八年级上册1.1 分式精品习题

1.5　可化为一元一次方程的分式方程

基础过关全练

知识点1　分式方程的概念

1.(2022湖南永州宁远期中)下列方程不是分式方程的是(　　)

A.

C.=2

知识点2　分式方程的解法及分式方程的增根

2.(2022山东青岛期中)解分式方程=1时,去分母后变形为(　　)

A.x2-2=1

B.x2-2(x-1)=1

C.x2-2(x-1)=x(x-1)

D.x2-2x-1=x(x-1)

3.(2021广西百色中考)方程的解是(　　)

A.x=-2　B.x=-1

C.x=1　D.x=3

4.下列关于方程的说法不正确的是(　　)

A.方程的最简公分母是(x+1)(x-1)

B.去分母,得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解这个分式方程转化成的整式方程,得x=1

D.原方程的解是x=1

5.(2021海南中考)分式方程=0的解是　　　　. 

6.解下列分式方程:

(1)(2021陕西中考)=1;

(2)(2021黑龙江大庆中考)=4.

7.当m为何值时,解关于x的分式方程会出现增根?

知识点3　分式方程的应用

8.某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件,若每天比原计划多生产30个零件,则在规定时间内可以多生产300个零件.设原计划每天生产x个零件,由题意得到的方程是(　　)

A.

B.

C.+300

D.

9.(教材P36变式题)为了弘扬我国书法艺术,培养学生良好的书写能力,某校举办了书法比赛,学校准备为获奖同学颁奖,在购买奖品时发现,A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元,用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同.设B种奖品的单价是x元,则可列分式方程为　　　　　　　　. 

10.某班在植树节时需完成一批植树任务,若由全班学生一起完成,则每人需植树8棵;若由女生单独完成,每人需植树12棵,则由男生单独完成每人需植树　　　　棵. 

11.(2021江苏徐州中考)某网店开展促销活动,其商品一律按8折销售,促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.问:该商品打折前每件多少元?

12.(2021内蒙古包头中考)小刚家到学校的距离是1 800米.某天早上,小刚到学校后发现作业本忘在家中,此时离上课还有20分钟,于是他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车的时间比跑步的时间少用了4.5分钟,且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.

(1)求小刚跑步的平均速度;

(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟,他能否在上课前赶回学校?请说明理由.

能力提升全练

13.(2021湖南怀化中考,6,)定义a⊗b=2a+,则方程3⊗x=4⊗2的解为(　　)

A.x=

14.(2022湖南常德澧县期中,6,)方程的解为(　　)

A.x=1　B.x=2　C.x=3　D.x=4

15.(2021广西贺州中考,8,)若关于x的分式方程+2有增根,则m的值为(　　)

A.2　B.3　C.4　D.5

16.(2022湖南张家界永定期中,14,)我国古代著作《四元玉鉴》中记载了一道“买椽多少”问题,题目是:六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.其大意是:请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文,每株椽的运费是3文,如果少买一株椽,那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,问6 210文能买多少株椽?设6 210文能买x株椽,根据题意可列方程为　　　　　　　　　. 

17.(2021山东潍坊中考,14,)若x<2,且+|x-2|+x-1=0,则x=　　　　. 

18.解方程:

(1)(2021江苏泰州中考,17(2),);

(2)(2021四川攀枝花中考,17,).

19.(2021湖南岳阳中考,21,)星期天,小明与妈妈到离家16 km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走,1 h后妈妈开车从家出发,沿相同路线前往博物馆,结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车的平均速度的4倍,求妈妈开车的平均速度.

素养探究全练

20.[数学建模](2021江西中考)甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件.

(1)求这种商品的单价;

(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时,单价比上次少了20元,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的平均单价是　　　　元,乙两次购买这种商品的平均单价是　　　　元; 

(3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议按相同　　　　加油更合算(填“金额”或“油量”). 

答案全解全析

基础过关全练

1.B　+=不是分式方程.

2.C　方程两边都乘x(x-1),得x2-2(x-1)=x(x-1),故选C.

3.D　方程两边同乘3x(x-1),得3(x-1)=2x,

解得x=3.

检验:当x=3时,3x(x-1)≠0.

∴原分式方程的解为x=3.

4.D　方程两边同时乘最简公分母(x+1)(x-1),得2(x-1)+3(x+1)=6,解得x=1,但x=1为增根,不是原分式方程的解,故选D.

5.x=1

解析　方程两边都乘(x+2),得x-1=0,解得x=1,

检验:当x=1时,x+2≠0,∴原分式方程的解为x=1.

6.解析　(1)方程两边都乘(x+1)(x-1),

得(x-1)2-3=(x+1)(x-1),解得x=-,

检验:当x=-时,(x+1)(x-1)≠0,

所以x=-是原分式方程的解.

(2)方程两边同乘(2x-3),得x-5=4(2x-3),

解得x=1,

检验:当x=1时,2x-3≠0,

所以x=1是原分式方程的解.

7.解析　∵关于x的分式方程-1=有增根,

∴x-1=0或x+2=0,

∴x=1或x=-2.

方程两边同乘(x-1)(x+2),

得x(x+2)-(x-1)(x+2)=m,

整理得m=x+2,

当x=1时,m=1+2=3,

当x=-2时,m=-2+2=0,

当m=0时,方程为-1=0,此时方程无解,

∴当m=3时,分式方程有增根.

8.A　根据题意,列方程得=.

9.=

解析　因为B种奖品的单价是x元,所以A种奖品的单价是(x+10)元,根据题意可列方程为=.

10.24

解析　设由男生单独完成每人需植树x棵.

根据题意可得+=,解得x=24.

经检验,x=24是原方程的解,且符合题意.

∴由男生单独完成每人需植树24棵.

11.解析　设该商品打折前每件x元,则打折后每件0.8x元,

根据题意得+2=,解得x=50,

经检验,x=50是原方程的解,且符合题意.

答:该商品打折前每件50元.

12.解析　(1)设小刚跑步的平均速度为x米/分,则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分,

根据题意,得+4.5=,解得x=150,

经检验,x=150是所列方程的根,且符合题意.

答:小刚跑步的平均速度为150米/分.

(2)小刚不能在上课前赶回学校.理由如下:

由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分,

则小刚跑步所用的时间为1 800÷150=12(分),

骑自行车所用的时间为12-4.5=7.5(分),

∵在家取作业本和取自行车共用了3分,

∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3=22.5(分).

∵22.5>20,∴小刚不能在上课前赶回学校.

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13.B　根据题意得,3⊗x=2×3+,4⊗2=2×4+,

∵3⊗x=4⊗2,

∴2×3+=2×4+,

解得x=,经检验,x=是分式方程的根.

∴方程3⊗x=4⊗2的解为x=.

14.A　方程两边同乘(x+2)(x-2),得x-2+x+2=2,

解得x=1,经检验,x=1是分式方程的解.故选A.

15.D　方程两边同时乘(x-3),得m+4=3x+2(x-3),

解得x=m+2,

∵分式方程有增根,∴x-3=0,∴x=3,

∴m+2=3,∴m=5.

16.3(x-1)=

解析　根据题意可列方程为3(x-1)=.

17.1

解析　∵x<2,∴方程为+2-x+x-1=0,

即=-1,

方程两边都乘(x-2),得1=-(x-2),

解得x=1,经检验,x=1是原方程的解.

18.解析　(1)方程整理,得+1=-,

两边同乘(x-2),得2x+x-2=-5,解得x=-1,

检验:当x=-1时,x-2≠0,

∴分式方程的解为x=-1.

(2)方程两边同乘(x-1)(x+1),

得x(x+1)-(x2-1)=2(x-1),解得x=3,

检验:当x=3时,(x-1)(x+1)≠0,

∴分式方程的解为x=3.

19.解析　设小明骑自行车的平均速度为x km/h,则妈妈开车的平均速度为4x km/h,

依题意得-=1,解得x=12,

经检验,x=12是原方程的解,且符合题意,∴4x=48.

答:妈妈开车的平均速度为48 km/h.

素养探究全练

20.解析　(1)设这种商品的单价为x元.

由题意得-=10,解得x=60,

经检验,x=60是原方程的根,且符合题意.

答:这种商品的单价为60元.

(2)由题意得第二次购买该商品时的单价为60-20=40(元),

则甲购买的数量为2 400÷40=60,

乙购买的总价为(3 000÷60)×40=2 000(元),

∴甲两次购买这种商品的平均单价是2 400×2÷=48(元),

乙两次购买这种商品的平均单价是(3 000+2 000)÷=50(元).

故答案为48;50.

(3)金额.