2023年江苏省南通市海安市中考数学模拟试卷（5月份）+

这是一份2023年江苏省南通市海安市中考数学模拟试卷（5月份）+，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省南通市海安市中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算（﹣x）2•x3所得的结果是（　　）
A．x5 B．﹣x5 C．x6 D．﹣x6
2．至2021年5月，全国人口共为141178万人，将141178万用科学记数法表示为（　　）
A．1.41178×108 B．0.141178×109
C．14.1178×108 D．1.41178×109
3．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5（　　）

A．10π B．12π C．15π D．7.5π
5．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　）

A．45 B．60 C．72 D．144
6．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠1
7．已知A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣ D．m＜﹣
8．如图，两个反比例函数y＝和y＝1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1•k2 D．
9．如图1，在矩形ABCD中，AB＜AD，BD相交于点E，动点P从点A出发，设点P的运动路程为x，△AEP的面积为y，①四边形ABCD的面积为12；②AD边的长为4，△AEP是等边三角形；④△AEP的面积为3时，则以上结论正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+8与坐标轴分别交于A，点C在x轴正半轴上，且OC＝OB．点P为线段AB（不含端点），将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，连接CQ（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，第11、12题每小题3分，第13-18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知一组数据5，10，15，x，那么这组数据的中位数是　 　．
12．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，则∠BOD等于　 　．

13．（4分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝　 　．
14．（4分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　 　．
15．（4分）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或婉约，或思民生疾苦，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意　 　．
16．（4分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶100海里到达B处，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为 　 　海里．

17．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，D为边BC上一点，∠CAD＝∠B＝45°　 　．

18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，I为Rt△ABC的内心，连接IM、MN，则IM+MN的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共8大题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|；
（2）先化简，再求值：（m+）÷，其中m＝
20．（10分）为了调查学生对冬奥知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制）（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲校20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如图：
甲校学生样本成绩频数分布表
成绩m（分）
频数（人数）
频率
50≤m＜60
1
0.05
60≤m＜70
c
0.10
70≤m＜80
3
0.15
80≤m＜90
a
b
90≤m＜100
6
0.30
合计
20
1.0
b．甲校成绩在80≤m＜90的这一组的具体成绩是：
81   81   89   83   89   82   83   89
c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如图：
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
84
n
89
129.7
乙
84.2
85
85
138.6
根据以如图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　 　；表中的中位数n＝　 　；
（2）补全甲校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是84分，在他所属学校排在前10名　 　校的学生（填“甲”或“乙”），并说明理由；
（4）假设甲校1000名学生都参加此次测试，若成绩80分及以上为优秀，请估计甲校成绩优秀的学生人数．

21．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

22．（10分）完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，﹣1，2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），第二次摸到的球上标有的数字分别记作m，n，以m，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用树状图或列表法求解）
23．（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若tan∠ACD＝，⊙O的直径为10，求AB的长度．

24．（12分）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1），则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？

25．（13分）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，D，G在同一直线上，且AD＝5，连接AC，CG，并延长AE交CG于点H．
（1）求证：AH⊥CG．
（2）求线段AH的长．
（3）若将正方形DEFG绕点D旋转一周，则当B、F、G三点在同一直线上时，求CG的长．

26．（13分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，和为关于y＝x的对称函数．
（1）判断：①y1＝3x和y2＝﹣x；②y1＝x+1和y2＝x﹣1；③和，其中为关于y＝x的对称函数的是 　 　（填序号）；
（2）若y1＝3x+2和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数．求k、b的值．
（3）若和为关于y＝x的对称函数，令w＝y2﹣y1，当函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点时，求n的取值范围．

2023年江苏省南通市海安市中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算（﹣x）2•x3所得的结果是（　　）
A．x5 B．﹣x5 C．x6 D．﹣x6
【分析】积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后直接选取答案．
【解答】解：（﹣x）2x3＝x6•x3＝x5．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数的幂的乘法、积的乘方的运算性质，需同学们熟练掌握．
2．至2021年5月，全国人口共为141178万人，将141178万用科学记数法表示为（　　）
A．1.41178×108 B．0.141178×109
C．14.1178×108 D．1.41178×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：141178万＝1411780000＝1.41178×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图，即可解答．
【解答】解：根据图形可得主视图为：

故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
4．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5（　　）

A．10π B．12π C．15π D．7.5π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×8÷2＝15π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
5．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　）

A．45 B．60 C．72 D．144
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，
故n的最小值为72．
故选：C．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
6．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠1
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，列出不等式组，即可求x的范围．
【解答】解：2x﹣1≥8且x﹣1≠0，
解得x≥且x≠1，
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0，二次根式的被开方数大于等于0，当函数表达式是二次根式时，要注意考虑二次根式的被开方数大于等于．
7．已知A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣ D．m＜﹣
【分析】将点A，点B坐标代入解析式，可求y1，y2，由y1＞y2，可求m的取值范围．
【解答】解：∵A（﹣1，y1），B（4，y2）两点在双曲线y＝上，
∴y1＝﹣3﹣4m，y2＝，
∵y1＞y2，
∴﹣3﹣2m＞，
∴m＜﹣，
故选：D．
方法二：
解：由题意可知双曲线位于第二，四象限，
所以3+2m＜0，解得m＜﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
8．如图，两个反比例函数y＝和y＝1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1•k2 D．
【分析】四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．
【解答】解：根据题意可得四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD﹣S△OBD﹣S△OAC，
由反比例函数中k的几何意义1﹣k2．
故选：B．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
9．如图1，在矩形ABCD中，AB＜AD，BD相交于点E，动点P从点A出发，设点P的运动路程为x，△AEP的面积为y，①四边形ABCD的面积为12；②AD边的长为4，△AEP是等边三角形；④△AEP的面积为3时，则以上结论正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】注意图2中的y表示的是△AEP的面积，而图1的△AEP的底边AE是一个不变的量，则△AEP的面积与点P到AE的距离有关，寻找点P的特殊位置，对应y的函数图象，以此即可求解．
【解答】解：由图2可知，当点P运动点B时△ABE＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴S矩形ABCD＝8S△ABE＝4×3＝12，故①正确；
由图4可知，当y＝0，即点P运动到点C，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB•BC＝12，
由，
解得：或，
∵AB＜AD＝BC，
∴AB＝3，BC＝AD＝4；
当x＝8.5时，即x＜3，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝≠，
∴∠BAC≠60°，
∴△AEP不可能是等边三角形，故③错误；
由结论①可得，当点P运动点B时，y＝S△ABE＝8，
结合图②，当点P运动到点D时△AED＝3，
此时x＝AB+BC+CD＝10，
∴△AEP的面积为3时，x的值为4或10．
故正确的结论有①②④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质，理解题意，正确理解函数图象，利用特殊点的表示的实际意义解决问题是解题关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+8与坐标轴分别交于A，点C在x轴正半轴上，且OC＝OB．点P为线段AB（不含端点），将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，连接CQ（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点P作PE⊥x轴，过点Q作QF⊥y轴，证明△EOP≌△FOQ，可得OE＝OF，PE＝FQ，设P（a，2a+8），则Q（2a+8，﹣a），即可求得Q所在的直线，根据垂线段最短可知当CQ⊥MN时，CQ的长最短，根据三角形相似的性质即可求得线段CQ的最小值．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥x轴，即∠PEO＝∠QFO＝90°
∵直线l：y＝2x+8与坐标轴交于A、B两点，
∴A（7，8），0），
由旋转可知：OP＝OQ，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∴∠FOQ+∠POM＝∠EOP+∠POM，
∴∠EOP＝∠FOQ，
在△EOP和△FOQ中，
，
∴△EOP≌△FOQ（AAS），
∴OE＝OF，PE＝FQ，
设P（a，7a+8），﹣a）．
设Q（x，y），y＝﹣a．
∴x＝﹣2y+2，
即y＝﹣x+5，
∴Q点是直线y＝﹣x+6上的点，
设直线y＝﹣x+8与x、N，
则M（0，4），7），
∴MN＝＝4，
根据垂线段最短可知当CQ⊥MN时，CQ的长最短，
∵CQ⊥MN，
∴∠CQN＝∠MON＝90°，
∵∠CNQ＝∠MNO，
∴△CNQ∽△MNO，
∴＝，
∵OC＝OB＝4，ON＝8，
∴，
∴CQ＝．
故选：A．

【点评】本题考查一次函数上点的坐标、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
二、填空题（本大题共8小题，第11、12题每小题3分，第13-18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知一组数据5，10，15，x，那么这组数据的中位数是　9　．
【分析】根据平均数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
【解答】解：根据平均数的定义可知，（5+10+15+x+9）÷6＝8，
解得：x＝1，
把这组数据从小到大的顺序排列为3，5，9，10，处于中间位置的那个数是4，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了中位数，掌握中位数的定义是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
12．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，则∠BOD等于　30°　．

【分析】根据垂线的定义，可得∠AOE的度数，根据余角的性质，可得∠AOC的度数，根据对顶角相等，可得答案．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∠AOE＝90°，
∵∠COE＝60°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，余角的性质，对顶角的性质．
13．（4分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝　a（a﹣b）2　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a3b+ab2，
＝a（a2﹣8ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
14．（4分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　1　．
【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+5α+2β变形为α2+3α+2（α+β），即可求出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α4+3α﹣7＝3，
∴α2+3α＝3，
∴α2+5α+3β＝α2+3α+7（α+β）＝7+2×（﹣5）＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（4分）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或婉约，或思民生疾苦，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意　28x﹣20（x+13）＝20　．
【分析】利用五言绝句与七言绝句总字数之间的关系得出等式进而得出答案．
【解答】解：设七言绝句有x首，根据题意
28x﹣20（x+13）＝20．
故答案为：28x﹣20（x+13）＝20．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键．
16．（4分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶100海里到达B处，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为 　（50+50）　海里．

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°，从而利用三角形内角和定理可得∠C＝45°，然后在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AD和BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算 即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

由题意得：∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠CAB＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝45°，
在Rt△ADB中，AB＝100海里，
∴AD＝AB＝50（海里）AD＝50，
在Rt△ACD中，CD＝，
∴BC＝BD+CD＝（50+50）海里，
∴轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（50+50）海里，
故答案为：（50+50）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，D为边BC上一点，∠CAD＝∠B＝45°　　．

【分析】过A作AE⊥BC于E，∠B＝45°，三角形ABE是等腰直角三角形，求出BE＝4，CE＝2，由勾股定理求出AC2＝20，然后通过△CAD∽△CBA，得出AC2＝CD•BC，求出CD，然后根据线段之间的关系求出BD．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，

∵∠B＝45°，∠AEB＝90°，
∴BE＝AE＝AB•sin45°＝4×＝4，
∵BC＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝4，
在Rt△AEC中，
AC2＝AE2+CE5＝42+62＝20，
∵∠B＝∠CAD＝45°，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，
即AC2＝CD•BC，
∴8CD＝20，
CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查勾股定理以及相似三角形的判定和性质，关键是对知识的掌握和运用．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，I为Rt△ABC的内心，连接IM、MN，则IM+MN的最小值为 　5.2　．

【分析】分别作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，垂足分别为点D、E、F，延长IF到I'，使I'F＝IF，作I'N⊥AC于点N，交AB于点M，延长DI，交I'N于点G，连接BI，由轴对称的性质可知IM＝I'M，根据两点之间线段最短，和垂线段最短，可推出IM+MN＝I'M+MN＝I'N，根据内心的性质，可推出ID＝IE＝IF，进而可推出四边形CEID是正方形，设ID＝IE＝IF＝r，根据三角形全等可得BD＝BF，AE＝AF，列方程可求r，则可求II'，GN的长，再根据相似三角形的性质求I'G，进而可求I'N，即可求解．
【解答】解：分别作ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为点D、E、F，使I'F＝IF，交AB于点M，交I'N于点G，
∵IF⊥AB，I'F＝IF，
∴IM＝I'M，
∴IM+MN＝I'M+MN，
当I'、M、N三点共线，I'N最短．
∵I为Rt△ABC的内心，ID⊥BC，IF⊥AB，
∴ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝r，
又∵ID⊥BC，IE⊥AC，
∴四边形CEID是正方形，
∴CD＝IE＝CE＝ID＝r，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，
∴AB＝10，
∴BD＝6﹣r，AE＝6﹣r，
在Rt△BID和Rt△BIF中，
，
∴Rt△BID≌Rt△BIF（HL），
∴BD＝BF，
同理AE＝AF，
∵AB＝AF+BF，
∴6﹣r+（8﹣r）＝10，解得r＝8，
∵I'F＝IF，
∴II'＝4，
∵IF⊥AB，I'N⊥AC，
∴∠I'＝∠A，
又∵∠C＝90°，I'N⊥AC，
∴BC∥I'N，
∵ID⊥BC，
∴IG⊥I'N，
∴四边形CDGN为矩形，△II'G∽△BAC，
∴GN＝CD＝2，，即，
∴I'G＝3.3，
∴I'N＝I'G+GN＝3.2+8＝5.2，
∴IM+MN的最小值为2.2．
故答案为：5.3．

【点评】本题主要考查了最短路径问题，三角形内切圆与内心，相似三角形的性质和判定，准确找到点M与点N的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共8大题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|；
（2）先化简，再求值：（m+）÷，其中m＝
【分析】（1）先化简各二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣7+
＝3﹣；

（2）原式＝÷
＝•
＝m（m+2），
当m＝﹣2时，
原式＝（﹣5）×
＝2﹣6．
【点评】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（10分）为了调查学生对冬奥知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制）（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲校20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图如图：
甲校学生样本成绩频数分布表
成绩m（分）
频数（人数）
频率
50≤m＜60
1
0.05
60≤m＜70
c
0.10
70≤m＜80
3
0.15
80≤m＜90
a
b
90≤m＜100
6
0.30
合计
20
1.0
b．甲校成绩在80≤m＜90的这一组的具体成绩是：
81   81   89   83   89   82   83   89
c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如图：
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
84
n
89
129.7
乙
84.2
85
85
138.6
根据以如图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　8　；表中的中位数n＝　83　；
（2）补全甲校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是84分，在他所属学校排在前10名　甲　校的学生（填“甲”或“乙”），并说明理由；
（4）假设甲校1000名学生都参加此次测试，若成绩80分及以上为优秀，请估计甲校成绩优秀的学生人数．

【分析】（1）根据频数分布表和频数分布直方图的信息列式计算即可得到a的值，根据中位数的定义求解可得n的值；
（2）根据题意补全频数分布直方图即可；
（3）根据甲这名学生的成绩为84分，小于乙校样本数据的中位数85分，大于甲校样本数据的中位数83分可得；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）a＝20×（1﹣0.05﹣6.10﹣0.15﹣0.30）＝5，
由频数分布表和频数分布直方图中的信息可知，排在中间的两个数是83和83，
∴n＝＝83；
故答案为：8，83；
（2）补全图6甲校学生样本成绩频数分布直方图如图所示；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是84分，由表中数据可知该学生是甲校的学生，
理由：甲校的中位数是83，84＞83；
故答案为：甲；
（4）1000×＝700，
答：成绩优秀的学生人数为700人．
故答案为：700人．

【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、加权平均数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE＝CD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，再由AB＝BE，可得CD＝EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC＝DE即可得到四边形BECD是矩形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
22．（10分）完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，﹣1，2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），第二次摸到的球上标有的数字分别记作m，n，以m，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用树状图或列表法求解）
【分析】解答此题，先通过树状图或列表法解出m、n的值，再根据各象限符号的不同点来解答．
【解答】解：组成的所有坐标列树状图为：

或列表如下：
      第一次
第二次
1
﹣1
7
﹣2
1
（2，1）
（﹣1，6）
（2，1）
（﹣7，1）
﹣1
（4，﹣1）
（﹣1，﹣8）
（2，﹣1）
（﹣7，﹣1）
2
（8，2）
（﹣1，8）
（2，2）
（﹣6，2）
﹣2
（5，﹣2）
（﹣1，﹣8）
（2，﹣2）
（﹣7，﹣2）
方法一：根据已知的数据，点（m．
方法二：1﹣．（8分）
【点评】考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．第二象限点的符号为（﹣，+）．
23．（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若tan∠ACD＝，⊙O的直径为10，求AB的长度．

【分析】（1）连接OC，求出∠DAC+∠DCA＝90°，得出∠DCA+∠OCA＝90°，根据切线判定推出即可；
（2）过点O作OG⊥AB于G，得出矩形GOCD，求出CD，解直角三角形和根据勾股定理求出AD，求出AG，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C在⊙O上，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA＝90°，有∠CAD+∠DCA＝90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DCO＝∠DCA+∠ACO＝∠DCA+∠DAC＝90°．
∵点C在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：过点O作OG⊥AB于G，
∵∠OCD＝90°，CD⊥PA，
∴四边形OCDG是矩形，
∴OG＝CD，GD＝OC，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∴DG＝5，
∵tan∠ACD＝，设AD＝x，则OG＝2x，
∴AG＝DG﹣AD＝5﹣x，
在Rt△AGO中，由勾股定理知AG2+OG2＝OA5，
∴（5﹣x）2+（2x）2＝25，
解得x1＝5，x2＝0（舍去），
由垂径定理得：AB＝5AG＝2×（5﹣8）＝6．

【点评】本题考查了矩形的性质和判定，切线的判定，垂径定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
24．（12分）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1），则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？

【分析】（1）把y＝220代入y＝10x+100，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本P与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出m+1＝15，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可
【解答】解：（1）若20x＝220，则x＝11，
∴10x+100＝220，
解得，x＝12，
故第12天生产了220顶帽子；
（2）由图象得，
当0≤x≤10时，P＝5.3；
当10＜x≤20时，设P＝kx+b（k≠0），
把（10，5.2），6.2）代入上式，得
，
解得，，
∴P＝0.8x+4.2
①2≤x≤5时，w＝y（8﹣P）＝20x（5﹣5.2）＝56x
当x＝2时，w有最大值为w＝280（元）
②5＜x≤10时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）（8﹣5.2）＝28x+280，w有最大值；
③10＜x≤20时，w＝y（4﹣P）＝（10x+100）[8﹣（0.4x+4.2）]＝﹣x4+28x+380
当x＝14时，w有最大值．
综上，第14天时，最大值为576元．
（3）由（2）小题可知，m＝14，设第15天提价a元
w＝y（8+a﹣P）＝（10x+100）[8+a﹣（5.1x+4.8）]＝250（2.3+a）
∴250（7.3+a）﹣576≥49
∴a≥0.6
答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
25．（13分）如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，D，G在同一直线上，且AD＝5，连接AC，CG，并延长AE交CG于点H．
（1）求证：AH⊥CG．
（2）求线段AH的长．
（3）若将正方形DEFG绕点D旋转一周，则当B、F、G三点在同一直线上时，求CG的长．

【分析】（1）先证明△GDC≌△EDA，得∠GCD＝∠EAD，推出AH⊥GC；
（2）根据 即可解决问题；
（3）分点F在BG中间和点G在BF中间两种情况讨论求值即可．
【解答】（1）证明：在△GDC和△EDA中，

∴△GDC≌△EDA（SAS），
∴∠GCD＝∠EAD，
∵∠HEC＝∠DEA，
∴∠EHC＝∠EDA＝90°，
∴AH⊥GC；
（2）解：∵AD＝5，DE＝1，
∴GC＝AE＝＝，
由（1）知，AH⊥GC，
∴•GC•AH，
即×（5+1）×4＝×，
解得AH＝；
（3）解：①如图，当F在BG中间时，
设BG交CD于点P，连接DB，

在△QDC和△PBC中，
，
∴△QDC≌△PBC（ASA），
∴PC＝QC，
设DP＝x，则PC＝CQ＝3﹣x，
∴DQ＝＝，
∵cos∠QDC＝，
∴，
解得x＝（舍去负值），
∴GP＝＝，
连接PQ，则∠CPQ＝∠CQP＝45°，
∵∠PGQ＝∠PCQ＝90°，
∴点P、C、G、Q共圆，
∴∠CGP＝∠CQP＝45°，
∴∠BCP＝∠CGP＝45°，
又∵∠BPD＝∠CPG，
∴△BPD∽△CPG，
∴，
即，
解得CG＝3；
②如图，当G在FB中间时，BD，

∴FB＝FG+GB＝6+＝4，
同理①得∠DGC＝∠DFB＝45°，
又∵∠CDG＝90°+∠ADG＝∠BDF，
∴△FDB∽△GDC，
∴，
即，
解得CG＝4，
综上所述，CG的长为4．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，属于中考常考题型．
26．（13分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，和为关于y＝x的对称函数．
（1）判断：①y1＝3x和y2＝﹣x；②y1＝x+1和y2＝x﹣1；③和，其中为关于y＝x的对称函数的是 　①②　（填序号）；
（2）若y1＝3x+2和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数．求k、b的值．
（3）若和为关于y＝x的对称函数，令w＝y2﹣y1，当函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点时，求n的取值范围．
【分析】（1）根据中点公式可得＝x，然后逐个函数进行判断；
（2）①根据＝x，将函数解析式代入求解；
（3）根据＝x，求出a，b，c的值，然后由w＝y2﹣y1得到w＝2x2﹣2x+2n，根据开口方向、对称轴及与y轴的交点，结合函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）①∵，
∴y4＝3x和y2＝﹣x关于y＝x对称，
②∵，
∴y4＝x+1和y2＝x﹣2关于y＝x对称，
③∵，x2≠x，
∴和不关于y＝x对称，
故答案为：①②．
（2）∵y1＝5x+2和y2＝kx+b（k≠8）为关于y＝x的对称函数，
∴＝＝x，
∴，
解得．
（3）∵y1＝ax2+bx+c（a≠8）和y2＝x2+n为关于y＝x的对称函数，
∴，
∴，
解得，
∴w＝y2﹣y1＝x5+n+x2﹣2x+n＝4x2﹣2x+7n，
∴函数w的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝，3n），
∴函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点，
∴，
解得3≤n＜0．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握函数关于y＝x对称的特征，掌握二次函数与方程及不等式的关系．