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【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.2两点间的距离公式 练习（含答案）
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这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.3.2两点间的距离公式 练习（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选修一2.3.2两点间的距离公式
（共18题）
一、选择题（共11题）
1. 直线 x−y=0 与 x+y−2=0 的交点坐标是
A． 1,1 B． −1,−1
C． 1,−1 D． −1,1
2. 已知 A1,2，B−1,1，C0,−1，D2,0，则四边形 ABCD 的形状为
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形
3. 已知直线 l1:mx−y+m−1=0 与射线 l2:x−y−2=0x≥0 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A． −∞,−1∪1,+∞ B． −∞,−1∪1,+∞
C． −1,1 D． −1,1
4. 若直线 2x+3y+8=0，x−y−1=0，x+ky=0 交于一点，则 k=
A． −2 B． 2 C． −12 D． 12
5. 设定点 A3,1，B 是 x 轴上的动点，C 是直线 y=x 上的动点，则 △ABC 周长的最小值是
A． 5 B． 25 C． 35 D． 10
6. 已知 A3,0，B0,3，从点 P0,2 射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反射回到 P 点，则光线所经过的路程为
A． 210 B． 6 C． 33 D． 26
7. 已知点 A−1,0，B1,0，C0,1，直线 y=ax+ba>0 将 △ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是
A． 0,1 B． 1−22,12 C． 1−22,13 D． 13,12
8. 若两直线 kx−y+1=0 和 x−ky=0 相交且交点在第二象限，则 k 的取值范围是
A． −1,0 B． 0,1 C． 0,1 D． 1,+∞
9. 直线 l1:kx−y−2k+4=0 与 x 轴交于点 M，直线 l2:x+ky−4k−2=0 与 y 轴交于点 N，线段 MN 的中点为 P，则点 P 的坐标 x,y 满足的方程为
A． x+2y−52x−y=0 B． x+2y−5=0
C． 2x+y+42x+y=0 D． 2x+y−4=0
10. 若三条直线 l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，l3:x+y+a=0 能构成三角形，则 a 应满足的条件是
A． a=1 或 a=−2 B． a≠±1
C． a≠1 且 a≠−2 D． a≠±1 且 a≠−2
11. 已知实数 x，y 满足 3x−4y−6=0，则 x2+y2−2y+1 的最小值为
A． 2 B． 35 C． 25 D． 95
二、填空题（共4题）
12. 在平面直角坐标系中，若点 2,b 到原点的距离不小于 5，则 b 的取值范围是 ．
13. 若三条直线 y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0 相交于同一点，则点 m,n 到原点的距离 d 的最小值等于 ．
14. 已知 x∈R，则 x+12+4−x−52+100 的最小值是 ．
15. 过点 M0,1 作直线，使它被两直线 l1:x−3y+10=0，l2:2x+y−8=0 所截得的线段恰好被 M 平分，则此直线方程为 ．
三、解答题（共3题）
16. 两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应？
17. △ABC 的顶点 A4,3，AC 边上的中线所在的直线为 4x+13y−10=0，∠ABC 的平分线所在直线方程为 x+2y−5=0，求 AC 边所在直线的方程．
18. 如图所示，函数 fx=x+2x 的定义域为 0,+∞．设点 P 是函数图象上任一点，过点 P 分别作直线 y=x 和 y 的垂线，垂足分别为 M，N．
(1) 证明：∣PM∣⋅∣PN∣ 为定值；
(2) O 为坐标原点，求四边形 OMPN 面积的最小值．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】A
【解析】联立两直线得其交点坐标为 1,1．
2. 【答案】D
【解析】由两点间的距离公式可得 ∣AB∣=∣BC∣=∣CD∣=∣DA∣=5，∣AC∣=∣BD∣=10，故四边形 ABCD 是正方形．
3. 【答案】C
【解析】联立 mx−y+m−1=0,x−y−2=0, 得 x=−m−1m−1，
因为直线 l1:mx−y+m−1=0 与射线 l2:x−y−2=0x≥0 恒有公共点，
所以 x=−m−1m−1≥0，
解得 −1≤m<1，
所以 m 的取值范围是 −1,1．
4. 【答案】C
【解析】由 2x+3y+8=0,x−y−1=0 可得交点坐标为 −1,−2，代入直线方程 x+ky=0，得 −1−2k=0，解得 k=−12．
5. 【答案】B
【解析】作出点 A3,1 关于 y=x 的对称点 Aʹ1,3，
作出点 A3,1 关于 x 轴的对称点 Aʺ3,−1，
连接 AʹAʺ，交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 B，如图，
则 AC=AʹC，AB=AʺB，
所以 △ABC 周长的最小值为 AʹAʺ=1−32+3+12=25．
6. 【答案】D
【解析】由题易知直线 AB 的方程为 x+y=3，
点 P0,2 关于 x 轴的对称点为 P10,−2，
设点 P0,2 关于直线 AB 的对称点为 P2a,b，
如图．
所以 b−2a×−1=−1,a2+2+b2=3,
解得 a=1,b=3.
所以 P21,3．
所以光线所经过的路程为 ∣PQ∣+∣QM∣+∣MP∣=P1P2=12+3+22=26．
7. 【答案】B
【解析】由题意可得，△ABC 的面积为 S△ABC=12∣AB∣⋅∣OC∣=12×2×1=1．设直线 y=ax+ba>0 与 x 轴的交点为 M−ba,0．因为直线 y=ax+ba>0 将 △ABC 分割为面积相等的两部分，所以 b>0，所以 −ba<0，故点 M 在射线 OA（不含端点 O）上．设直线 y=ax+b 和 BC 的交点为 N，易得直线 BC 的方程为 x+y=1，则由 y=ax+b,x+y=1, 可得点 N 的坐标为 1−ba+1,a+ba+1．
（i）若点 M 和点 A 重合，如图①，
则点 N 为线段 BC 的中点，故 N12,12．把 A，N 两点的坐标代入直线 y=ax+b，得 0=−a+b,12=12a+b, 解得 a=13,b=13, 故 b．
（ii）若点 M 在线段 OA（不含点 O）上，点 N 在点 B 和点 C 之间，如图②，
由题意可得 △MNB 的面积等于 12，即 12∣MB∣⋅yN=12，
所以 121+ba⋅a+ba+1=12，即 a1−2b=b2，显然 b≠12，可得 a=b21−2b>0，解得 b<12，又 −113，所以 13
由点 M 的横坐标 −ba<−1，可得 b>a．设直线 y=ax+b 和线段 AC 的交点为 P，易得直线 AC 的方程为 y=x+1，则由 y=ax+b,y=x+1, 解得 x=1−ba−1,y=a−ba−1, 所以点 P 的坐标为 1−ba−1,a−ba−1．由题意可得，△CPN 的面积等于 12，即 121−b⋅xN−xP=12，所以 1−b⋅1−ba+1−1−ba−1=1，化简可得 21−b2=1−a2，所以 a2=1−21−b2．
0
8. 【答案】A
9. 【答案】B
【解析】由题意得 k≠0，M2−4k,0，N0,4+2k，
因此 P1−2k,2+1k．
令 x=1−2k，y=2+1k，
消去 k 得 x+2y−5=0．
10. 【答案】D
【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若 l1∥l2，则由 a×a−1×1=0，得 a=±1．
②若 l2∥l3，则由 1×1−a×1=0，得 a=1．
③若 l1∥l3，则由 a×1−1×1=0，得 a=1．
当 a=1 时，l1，l2 与 l3 三线重合，当 a=−1 时，l1，l2 平行．
④若三条直线交于一点，由 x+ay+1=0,x+y+a=0, 解得 x=−a−1,y=1,
将 l2，l3 的交点 −a−1,1 的坐标代入 l1 的方程，
解得 a=1（舍去）或 a=−2．
所以要使三条直线能构成三角形，需 a≠±1 且 a≠−2．
11. 【答案】A
【解析】 x2+y2−2y+1=x−02+y−12，
因为实数 x，y 满足 3x−4y−6=0，
所以 x2+y2−2y+1 的几何意义为点 0,1 与直线 3x−4y−6=0 上的点的距离，
因此 x2+y2−2y+1 的最小值为点 0,1 到直线 3x−4y−6=0 的距离，
即为 ∣3×0−4×1−6∣32+−42=2．
故选A．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 (−∞,−21]∪[21,+∞)
13. 【答案】 5
【解析】由 y=2x,x+y=3, 解得 x=1,y=2,
把点 1,2 代入 mx+ny+5=0，
可得 m+2n+5=0，
于是 m=−5−2n，
因此点 m,n 到原点的距离 d=m2+n2=−5−2n2+n2=5n+22+5≥5，
当且仅当 n=−2，m=−1 时取等号，
故点 m,n 到原点的距离 d 的最小值等于 5．
14. 【答案】 −10
【解析】 x+12+4−x−52+100 可转化为点 Px,0 到点 A−1,2，B5,10 的距离之差，
当点 P，A，B 三点不共线时，则有 ∣∣PA∣−∣PB∣∣<∣AB∣，
当点 P，A，B 三点共线时，则有 PA−PB=AB，
故 PA−PB≤AB=10，−10≤PA−PB，
当且仅当点 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时，x+12+4−x−52+100 取最小值 −10．
15. 【答案】 x+4y−4=0
【解析】过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 x=0，它和直线 l1，l2 的交点分别是 0,103，0,8，显然不符合题意．
故可设所求直线方程为 y=kx+1，其图象与直线 l1，l2 分别交于 A，B 两点，
则有① yA=kxA+1,xA−3yA+10=0, ② yB=kxB+1,2xB+yB−8=0,
由①解得 xA=73k−1，由②解得 xB=7k+2 .
因为点 M 平分线段 AB，所以 xA+xB=2xM，
即 73k−1+7k+2=0，解得 k=−14，
故所求的直线方程为 y=−14x+1，即 x+4y−4=0 .
三、解答题（共3题）
16. 【答案】方程组有唯一解 ⇔ 两直线相交；方程组无解 ⇔ 两直线平行；方程组有无数组解 ⇔ 两直线重合．
17. 【答案】由 x+2y−5=0,4x+13y−10=0, 得点 B 的坐标为 9,−2．
点 A 关于 ∠ABC 的平分线的对称点 Aʹ2,−1，
该点在 BC 上，得 lBC:x+7y+5=0．
设点 C 的坐标为 x0,y0，则点 M 的坐标为 x0+42,y0+32．
所以 x0+7y0+5=0,2x0+4+132y0+3−10=0.
解方程组，得点 C 的坐标为 −12,1，则 kAC=18．
所以 AC 边所在直线的方程为 x−8y+20=0．
18. 【答案】
(1) 依题可设 Px0,x0+2x0x0>0，
则 ∣PN∣=x0，∣PM∣=x0−x0−2x02=1x0，
所以 ∣PM∣⋅∣PN∣=1 为定值．
(2) 连接 OP，则 S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM．
因为
∣OM∣=∣OP∣2−∣PM∣2=x02+x0+2x02−1x02=2x0+1x0,
所以
S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM=12∣PN∣⋅∣ON∣+12∣PM∣⋅∣OM∣=12x0x0+2x0+12⋅1x0⋅2x0+1x0=2+12x02+1x02≥2+12×2x02⋅1x02=2+1.
当且仅当 x02=1x02，即 x0=1 时等号成立，因此四边形 OMPN 面积的最小值为 2+1．
人教A版（2019）选修一2.3.2两点间的距离公式
（共18题）
一、选择题（共11题）
1. 直线 x−y=0 与 x+y−2=0 的交点坐标是
A． 1,1 B． −1,−1
C． 1,−1 D． −1,1
2. 已知 A1,2，B−1,1，C0,−1，D2,0，则四边形 ABCD 的形状为
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形
3. 已知直线 l1:mx−y+m−1=0 与射线 l2:x−y−2=0x≥0 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A． −∞,−1∪1,+∞ B． −∞,−1∪1,+∞
C． −1,1 D． −1,1
4. 若直线 2x+3y+8=0，x−y−1=0，x+ky=0 交于一点，则 k=
A． −2 B． 2 C． −12 D． 12
5. 设定点 A3,1，B 是 x 轴上的动点，C 是直线 y=x 上的动点，则 △ABC 周长的最小值是
A． 5 B． 25 C． 35 D． 10
6. 已知 A3,0，B0,3，从点 P0,2 射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反射回到 P 点，则光线所经过的路程为
A． 210 B． 6 C． 33 D． 26
7. 已知点 A−1,0，B1,0，C0,1，直线 y=ax+ba>0 将 △ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是
A． 0,1 B． 1−22,12 C． 1−22,13 D． 13,12
8. 若两直线 kx−y+1=0 和 x−ky=0 相交且交点在第二象限，则 k 的取值范围是
A． −1,0 B． 0,1 C． 0,1 D． 1,+∞
9. 直线 l1:kx−y−2k+4=0 与 x 轴交于点 M，直线 l2:x+ky−4k−2=0 与 y 轴交于点 N，线段 MN 的中点为 P，则点 P 的坐标 x,y 满足的方程为
A． x+2y−52x−y=0 B． x+2y−5=0
C． 2x+y+42x+y=0 D． 2x+y−4=0
10. 若三条直线 l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，l3:x+y+a=0 能构成三角形，则 a 应满足的条件是
A． a=1 或 a=−2 B． a≠±1
C． a≠1 且 a≠−2 D． a≠±1 且 a≠−2
11. 已知实数 x，y 满足 3x−4y−6=0，则 x2+y2−2y+1 的最小值为
A． 2 B． 35 C． 25 D． 95
二、填空题（共4题）
12. 在平面直角坐标系中，若点 2,b 到原点的距离不小于 5，则 b 的取值范围是 ．
13. 若三条直线 y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0 相交于同一点，则点 m,n 到原点的距离 d 的最小值等于 ．
14. 已知 x∈R，则 x+12+4−x−52+100 的最小值是 ．
15. 过点 M0,1 作直线，使它被两直线 l1:x−3y+10=0，l2:2x+y−8=0 所截得的线段恰好被 M 平分，则此直线方程为 ．
三、解答题（共3题）
16. 两直线方程构成的方程组的解的个数与两直线的位置关系怎样对应？
17. △ABC 的顶点 A4,3，AC 边上的中线所在的直线为 4x+13y−10=0，∠ABC 的平分线所在直线方程为 x+2y−5=0，求 AC 边所在直线的方程．
18. 如图所示，函数 fx=x+2x 的定义域为 0,+∞．设点 P 是函数图象上任一点，过点 P 分别作直线 y=x 和 y 的垂线，垂足分别为 M，N．
(1) 证明：∣PM∣⋅∣PN∣ 为定值；
(2) O 为坐标原点，求四边形 OMPN 面积的最小值．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】A
【解析】联立两直线得其交点坐标为 1,1．
2. 【答案】D
【解析】由两点间的距离公式可得 ∣AB∣=∣BC∣=∣CD∣=∣DA∣=5，∣AC∣=∣BD∣=10，故四边形 ABCD 是正方形．
3. 【答案】C
【解析】联立 mx−y+m−1=0,x−y−2=0, 得 x=−m−1m−1，
因为直线 l1:mx−y+m−1=0 与射线 l2:x−y−2=0x≥0 恒有公共点，
所以 x=−m−1m−1≥0，
解得 −1≤m<1，
所以 m 的取值范围是 −1,1．
4. 【答案】C
【解析】由 2x+3y+8=0,x−y−1=0 可得交点坐标为 −1,−2，代入直线方程 x+ky=0，得 −1−2k=0，解得 k=−12．
5. 【答案】B
【解析】作出点 A3,1 关于 y=x 的对称点 Aʹ1,3，
作出点 A3,1 关于 x 轴的对称点 Aʺ3,−1，
连接 AʹAʺ，交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 B，如图，
则 AC=AʹC，AB=AʺB，
所以 △ABC 周长的最小值为 AʹAʺ=1−32+3+12=25．
6. 【答案】D
【解析】由题易知直线 AB 的方程为 x+y=3，
点 P0,2 关于 x 轴的对称点为 P10,−2，
设点 P0,2 关于直线 AB 的对称点为 P2a,b，
如图．
所以 b−2a×−1=−1,a2+2+b2=3,
解得 a=1,b=3.
所以 P21,3．
所以光线所经过的路程为 ∣PQ∣+∣QM∣+∣MP∣=P1P2=12+3+22=26．
7. 【答案】B
【解析】由题意可得，△ABC 的面积为 S△ABC=12∣AB∣⋅∣OC∣=12×2×1=1．设直线 y=ax+ba>0 与 x 轴的交点为 M−ba,0．因为直线 y=ax+ba>0 将 △ABC 分割为面积相等的两部分，所以 b>0，所以 −ba<0，故点 M 在射线 OA（不含端点 O）上．设直线 y=ax+b 和 BC 的交点为 N，易得直线 BC 的方程为 x+y=1，则由 y=ax+b,x+y=1, 可得点 N 的坐标为 1−ba+1,a+ba+1．
（i）若点 M 和点 A 重合，如图①，
则点 N 为线段 BC 的中点，故 N12,12．把 A，N 两点的坐标代入直线 y=ax+b，得 0=−a+b,12=12a+b, 解得 a=13,b=13, 故 b．
（ii）若点 M 在线段 OA（不含点 O）上，点 N 在点 B 和点 C 之间，如图②，
由题意可得 △MNB 的面积等于 12，即 12∣MB∣⋅yN=12，
所以 121+ba⋅a+ba+1=12，即 a1−2b=b2，显然 b≠12，可得 a=b21−2b>0，解得 b<12，又 −1
由点 M 的横坐标 −ba<−1，可得 b>a．设直线 y=ax+b 和线段 AC 的交点为 P，易得直线 AC 的方程为 y=x+1，则由 y=ax+b,y=x+1, 解得 x=1−ba−1,y=a−ba−1, 所以点 P 的坐标为 1−ba−1,a−ba−1．由题意可得，△CPN 的面积等于 12，即 121−b⋅xN−xP=12，所以 1−b⋅1−ba+1−1−ba−1=1，化简可得 21−b2=1−a2，所以 a2=1−21−b2．
0
8. 【答案】A
9. 【答案】B
【解析】由题意得 k≠0，M2−4k,0，N0,4+2k，
因此 P1−2k,2+1k．
令 x=1−2k，y=2+1k，
消去 k 得 x+2y−5=0．
10. 【答案】D
【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若 l1∥l2，则由 a×a−1×1=0，得 a=±1．
②若 l2∥l3，则由 1×1−a×1=0，得 a=1．
③若 l1∥l3，则由 a×1−1×1=0，得 a=1．
当 a=1 时，l1，l2 与 l3 三线重合，当 a=−1 时，l1，l2 平行．
④若三条直线交于一点，由 x+ay+1=0,x+y+a=0, 解得 x=−a−1,y=1,
将 l2，l3 的交点 −a−1,1 的坐标代入 l1 的方程，
解得 a=1（舍去）或 a=−2．
所以要使三条直线能构成三角形，需 a≠±1 且 a≠−2．
11. 【答案】A
【解析】 x2+y2−2y+1=x−02+y−12，
因为实数 x，y 满足 3x−4y−6=0，
所以 x2+y2−2y+1 的几何意义为点 0,1 与直线 3x−4y−6=0 上的点的距离，
因此 x2+y2−2y+1 的最小值为点 0,1 到直线 3x−4y−6=0 的距离，
即为 ∣3×0−4×1−6∣32+−42=2．
故选A．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 (−∞,−21]∪[21,+∞)
13. 【答案】 5
【解析】由 y=2x,x+y=3, 解得 x=1,y=2,
把点 1,2 代入 mx+ny+5=0，
可得 m+2n+5=0，
于是 m=−5−2n，
因此点 m,n 到原点的距离 d=m2+n2=−5−2n2+n2=5n+22+5≥5，
当且仅当 n=−2，m=−1 时取等号，
故点 m,n 到原点的距离 d 的最小值等于 5．
14. 【答案】 −10
【解析】 x+12+4−x−52+100 可转化为点 Px,0 到点 A−1,2，B5,10 的距离之差，
当点 P，A，B 三点不共线时，则有 ∣∣PA∣−∣PB∣∣<∣AB∣，
当点 P，A，B 三点共线时，则有 PA−PB=AB，
故 PA−PB≤AB=10，−10≤PA−PB，
当且仅当点 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时，x+12+4−x−52+100 取最小值 −10．
15. 【答案】 x+4y−4=0
【解析】过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 x=0，它和直线 l1，l2 的交点分别是 0,103，0,8，显然不符合题意．
故可设所求直线方程为 y=kx+1，其图象与直线 l1，l2 分别交于 A，B 两点，
则有① yA=kxA+1,xA−3yA+10=0, ② yB=kxB+1,2xB+yB−8=0,
由①解得 xA=73k−1，由②解得 xB=7k+2 .
因为点 M 平分线段 AB，所以 xA+xB=2xM，
即 73k−1+7k+2=0，解得 k=−14，
故所求的直线方程为 y=−14x+1，即 x+4y−4=0 .
三、解答题（共3题）
16. 【答案】方程组有唯一解 ⇔ 两直线相交；方程组无解 ⇔ 两直线平行；方程组有无数组解 ⇔ 两直线重合．
17. 【答案】由 x+2y−5=0,4x+13y−10=0, 得点 B 的坐标为 9,−2．
点 A 关于 ∠ABC 的平分线的对称点 Aʹ2,−1，
该点在 BC 上，得 lBC:x+7y+5=0．
设点 C 的坐标为 x0,y0，则点 M 的坐标为 x0+42,y0+32．
所以 x0+7y0+5=0,2x0+4+132y0+3−10=0.
解方程组，得点 C 的坐标为 −12,1，则 kAC=18．
所以 AC 边所在直线的方程为 x−8y+20=0．
18. 【答案】
(1) 依题可设 Px0,x0+2x0x0>0，
则 ∣PN∣=x0，∣PM∣=x0−x0−2x02=1x0，
所以 ∣PM∣⋅∣PN∣=1 为定值．
(2) 连接 OP，则 S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM．
因为
∣OM∣=∣OP∣2−∣PM∣2=x02+x0+2x02−1x02=2x0+1x0,
所以
S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM=12∣PN∣⋅∣ON∣+12∣PM∣⋅∣OM∣=12x0x0+2x0+12⋅1x0⋅2x0+1x0=2+12x02+1x02≥2+12×2x02⋅1x02=2+1.
当且仅当 x02=1x02，即 x0=1 时等号成立，因此四边形 OMPN 面积的最小值为 2+1．
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