高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品复习练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）选修一3.1.2椭圆的简单几何性质
（共19题）

一、选择题（共11题）
1. 已知椭圆的方程为 x29+y216=1，则此椭圆的长轴长为   
A． 3 B． 4 C． 6 D． 8

2. 若椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 35，两焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆上一点，且 △F1F2M 的周长为 16，则椭圆 C 的方程为   
A． x216+y225=1 B． x225+y29=1 C． x29+y225=1 D． x225+y216=1

3. 设椭圆 x25+y2m=1 的离心率为 e=105，则 m 的值为   
A． 3 B． 5 C． 253 或 3 D． 5153 或 15

4. 直线 y=−3x 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离心率为   
A． 32 B． 3−1 C． 3−12 D． 4−23

5. 若椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为   
A． 12 B． 33 C． 22 D． 24

6. 已知椭圆的两个焦点为 F1−5,0，F25,0，M 是椭圆上一点，若 MF1⊥MF2，∣MF1∣⋅∣MF2∣=8，则该椭圆的方程是   
A． x27+y22=1 B． x22+y27=1 C． x29+y24=1 D． x24+y29=1

7. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF 与 x 轴垂直，直线 AB 交 y 轴于点 P．若 ∣AP∣∣PB∣=3，则椭圆的离心率是   
A． 32 B． 22 C． 12 D． 13

8. P 为椭圆 x2100+y291=1 上的一个动点，M,N 分别为圆 C:x−32+y2=1 与圆 D:x+32+y2=r20 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

9. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为   
A． 63 B． 33 C． 23 D． 13

10. 已知点 F1，F2 是椭圆 x2+2y2=2 的左、右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 ∣PF1+PF2∣ 的最小值是   
A． 0 B． 1 C． 2 D． 22

11. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为   
A． 63 B． 33 C． 23 D． 13

二、填空题（共5题）
12. 某学习合作小组学习了祖暅原理，“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖眶原理研究椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 绕 y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面半径为 a 高为 b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面 α 上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面 α 的任意一个平面 β 去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是 ．

13. 2020 年 11 月 24 日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅．2004 年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”．2007 年 10 月 24 日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心 F 为椭圆焦点的 I，II，III 三个轨道飞行（如图所示），三个椭圆轨道的长半轴长，半焦距和离心率分别为 ai，ci，ei（i=1,2,3），探月卫星沿三个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为 16 小时，24 小时和 48 小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值．
现有以下命题：
① a1−c1=a2−c2=a3−c3；
② a2<32a1；
③ a3=39a1；
④ e1 则以上命题为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号）


14. 设点 F1，F2 分别为椭圆 C:x24+y2=1 的左，右焦点，点 P 是椭圆 C 上任意一点，若使得 PF1⋅PF2=m 成立的点恰好是 4 个，则实数 m 的一个取值可以为 ．

15. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 y 轴上，F1，F2 为 C 的两个焦点，C 的短轴长为 4，且 C 上存在一点 P，使得 PF1=6PF2，写出椭圆 C 的一个标准方程 ．

16. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F3,0，且离心率为 35，△ABC 的三个顶点都在椭圆 C 上，设 △ABC 三条边 AB，BC，AC 的中点分别为 D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为 k1，k2，k3，且 k1，k2，k3 均不为 0，O 为坐标原点，若直线 OD，OE，OM 的斜率之和为 1，则 1k1+1k2+1k3= ．

三、解答题（共3题）
17. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F−3,0，右顶点 D2,0，设点 A1,12．
(1) 求该椭圆的标准方程．
(2) 过原点 O 的直线交椭圆于点 B，C，求 △ABC 面积的最大值．

18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>1 的离心率为 12，直线 l 过点 A4,0，B0,2，且与椭圆 C 相切于点 P．
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 是否存在过点 A4,0 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，使得 36∣AP∣2=35∣AM∣⋅∣AN∣？若存在，试求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由．

19. 已知 A1，A2 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点，B 为椭圆 C 的上顶点，点 A2 到直线 A1B 的距离为 47b7，椭圆 C 过点 233,2．
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 设直线 l 过点 A1，且与 x 轴垂直，P，Q 为直线 l 上关于 x 轴对称的两点，直线 A2P 与椭圆 C 相交于异于 A2 的点 D，直线 DQ 与 x 轴的交点为 E，当 △PA2Q 与 △PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线 A2P 的方程．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】D
【解析】因为椭圆的方程为 x29+y216=1，
所以 a=4，b=3，
所以此椭圆的长轴长为 2a=8．
故选：D．

2. 【答案】D
【解析】因为 e=ca=35，
所以 c3=a5，
设 c3=a5=tt>0，
则 a=5t，c=3t，
又 △F1F2M 的周长为 2a+2c=16t=16，
所以 t=1，
所以 a=5，c=3，
所以 b2=a2−c2=16．
所以椭圆 C 的方程为 x225+y216=1．

3. 【答案】C
【解析】①若焦点在 x 轴，则 a2=5，则 a=5，
因为离心率 e=ca=c5=105，
所以 c=2，
所以 m=a2−c2=5−2=3；
②若焦点在 y 轴，则 a2=m，则 a=m，
因为离心率 e=ca=cm=105，
所以 c=10m5，
因为 a2=b2+c2，
所以 m=5+10m25，
所以 35m=5，
所以 m=253，
故 m=3 或 m=253．

4. 【答案】B
【解析】由题意，以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，
OA=OB=OF1=OF2，
故这两个焦点 A，B 两点为顶点得一矩形．
直线 y=−3x 的倾斜角为 120∘，
所以矩形宽为 c，长为 3c．
由椭圆定义知矩形的长宽之和等于 2a，即 c+3c=2a，
所以 e=ca=23+1=3−1．


5. 【答案】C
【解析】依题意可知，c=b，又 a=b2+c2=2c，
所以椭圆的离心率 e=ca=22．

6. 【答案】C
【解析】设 ∣MF1∣=m，∣MF2∣=n，
因为 MF1⊥MF2，∣MF1∣⋅∣MF2∣=8，∣F1F2∣=25，
所以 m2+n2=20，mn=8，
所以 m+n2=36，所以 m+n=2a=6，
所以 a=3．因为 c=5，所以 b=a2−c2=2．
所以椭圆的方程是 x29+y24=1．

7. 【答案】D
【解析】不妨设点 B 在第二象限，如图所示，
由 ∣AP∣∣PB∣=3，得 ∣AO∣∣OF∣=3，即 ca=3，
所以椭圆的离心率 e=ca=13，
故选D．


8. 【答案】B
【解析】因为 C3,0，D−3,0 恰好为椭圆的两个焦点，
因为 PM≥PC−1，PN≥PD−r，
所以 PM+PN≥PC+PD−1−r=2a−1−r．
因为 a2=100，得 a=10，所以 20−1−r=17，则 r=2．

9. 【答案】A
【解析】以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点 O0,0，半径为 a，
由题意，圆心到直线 bx−ay+2ab=0 的距离为 2aba2+b2=a，即 a2=3b2．
又 e2=1−b2a2=23，所以 e=63．

10. 【答案】C
【解析】由题知 a=2，b=c=1．
设 Px0,y0，
则 PF1=−1−x0,−y0，PF2=1−x0,−y0，
所以 PF1+PF2=−2x0,−2y0，
所以 PF1+PF2=4x02+4y02=22−2y02+y02=2−y02+2．
因为点 P 在椭圆上，
所以 0≤y02≤1，
所以当 y02=1 时，PF1+PF2 取得最小值为 2．

11. 【答案】A
【解析】以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2+y2=a2，该圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，
所以 b×0−a×0+2abb2+−a2=a，即 2b=a2+b2，
所以 a2=3b2，因为 a2=b2+c2，所以 c2a2=23，所以 e=ca=63．

二、填空题（共5题）
12. 【答案】 43πa2b
【解析】 V半椭球=πa2b−13πa2b=23πa2b，
V椭球=43πa2b．

13. 【答案】①③④
【解析】由图知 a1−c1=a2−c2=a3−c3，故①正确；
设周期为 Ti，则 T12a13=T22a23=T32a33，即 162a13=242a23=482a33，
所以 162a23=a13⋅242，即 4a23=9a13，
所以 a2=394a1，因为 94>2，所以 a2>32a1，故②不正确；
因为 162⋅a33=482a13，所以 a33=9a13，所以 a3=39a1，故③正确；
令 a1−c1=k，则 a1=c1+k，同理 a2=c2+k，a3=c3+k，
所以 e1=c1c1+k，e2=c2c2+k，e3=c3c3+k，
因为 c1
14. 【答案】 0（答案不唯一）
【解析】设 Px0,y0，PF1=−3−x0,−y0，PF2=3−x0,−y0，
PF1⋅PF2=−3−x03−x0+y02=x02−3+y02=x02−3+1−x024=3x024−2，
因为 x02∈0,4，
所以 PF1⋅PF2∈−2,1，
所以 m∈−2,1．

15. 【答案】 x24+y29=1（答案不唯一）
【解析】因为 PF1=6PF2，
所以 PF1+PF2=7PF2=2a，则 PF2=2a7，
又因为 a−c≤PF2≤a+c，
所以 2a7≥a−c，即 ca≥57，
根据题意可设 C:x2b2+y2a2=1a>b>0，则 2b=4，b=2，
由 ca≥57，得 1−b2a2≥57，解得 a2>496．

16. 【答案】 −2516

三、解答题（共3题）
17. 【答案】
(1) 由已知得椭圆的长半轴 a=2，半焦距 c=3，则短半轴 b=1．
又椭圆的焦点在 x 轴上，
所以椭圆的标准方程为 x24+y2=1．
(2) 当直线 BC 垂直于 x 轴时，BC=2，因此 △ABC 的面积 S△ABC=1．
当直线 BC 不垂直于 x 轴时，设该直线方程为 y=kx，代入 x24+y2=1，
解得 B24k2+1,2k4k2+1，C−24k2+1,−2k4k2+1，
则 ∣BC∣=41+4k21+k2，
又点 A 到直线 BC 的距离 d=k−121+k2，
所以 △ABC 的面积 S△ABC=12∣BC∣⋅d=∣2k−1∣1+4k2=4k2−4k+14k2+1=1−4k4k2+1．
设 t=4k4k2+1，
因为 k∈R，从而方程 4tk2−4k+t=0 有实数根，
所以 Δ=16−16t2≥0，
所以 −1≤t≤1．
由 4k4k2+1≥−1，得 S△ABC≤2，当 k=−12，等号成立．
所以 S△ABC 的最大值是 2．

18. 【答案】
(1) 因为 ca=12，
所以 a=2c，b=3c，
直线 l 的方程为 x4+y2=1，即 x+2y−4=0，
由 x24c2+y23c2=1,x+2y−4=0 得 x2−2x+4−3c2=0，
Δ=4−44−3c2=0，
所以 c2=1，
所以 a2=4，b2=3，椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．

(2) 假设存在直线 m 满足条件，其方程设为 y=kx−4．
由 x24+y23=1,x+2y−4=0 得 P1,32，
所以 ∣AP∣2=454，
因为 36∣AP∣2=35∣AM∣⋅∣AN∣，
所以 ∣AM∣⋅∣AN∣=817，
设 Mx1,y1，Nx2,y2，
由 x24+y23=1,y=kx−4 得 3+4k2x2−32k2x+64k2−12=0，（*）
所以 x1+x2=32k23+4k2，x1x2=64k2−123+4k2，
∣AM∣⋅∣AN∣=x1−42+y12⋅x2−42+y22=1+k2x1−42⋅1+k2x2−42=1+k2x1−4x2−42=1+k2x1x2−4x1+x2+162=1+k264k2−123+4k2−128k23+4k2+162=361+k23+4k2,
由 817=361+k23+4k2，得 k2=18，
所以 k=±24，
当 k2=18 时，满足（*）式中 Δ>0，故存在直线 m:y=±24x−4 满足题意．


19. 【答案】
(1) 由题意知 A2a,0，A1−a,0，B0,b，
则直线 A1B 的方程为 y=bax+b，即 bx−ay+ab=0，
所以点 A2 到直线 A1B 的距离 d=2aba2+b2=47b7，即 b2a2=34.  ⋯⋯①
又椭圆C过点 233,2，
所以 43a2+2b2=1.  ⋯⋯②
联立①②，解得 a2=4，b2=3，故椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1．
(2) 由（1）知 A22,0，直线 l 的方程为 x=−2．
由题意知直线 A2P 的斜率存在且不为 0，
设直线 A2P 的方程为 x=my+2m≠0，
联立 x=−2,x=my+2, 解得 x=−2,y=−4m, 即 P−2,−4m，Q−2,4m．
联立 x=my+2m≠0,x24+y23=1, 消去 x 整理得 3m2+4y2+12my=0，
解得 y=0 或 y=−12m3m2+4．
由点 D 异于点 A2 可得 D−6m2+83m2+4,−12m3m2+4，
所以直线 DQ 的方程为 −12m3m2+4−4mx+2−−6m2+83m2+4+2y−4m=0，
令 y=0，得 xE=−6m2+43m2+2，
所以 A2E=2−−6m2+43m2+2=12m23m2+2，
所以 △PA2Q 与 △PEQ 的面积之差为 S△PA2Q−S△PEQ=2S△PA2E．
因为 2S△PA2E=2×12⋅12m23m2+2⋅−4m=48m3m2+2=483m+2m≤46，
当且仅当 m=±63 时取等号．
故当 △PA2Q 与 △PEQ 的面积之差取得最大值时，
直线 A2P 的方程为 3x+6y−6=0 或 3x−6y−6=0．