数学选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课后测评

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课后测评，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）选修一3.2双曲线
（共22题）

一、选择题（共13题）
1. 双曲线 x22−y2=1 的渐近线方程是   
A． y=±12x B． y=±22x C． y=±2x D． y=±2x

2. 双曲线 C:x2−y2=2 的右焦点为 F，P 为 C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若 ∣PO∣=∣PF∣，则 S△OPF=   
A． 14 B． 12 C． 1 D． 2

3. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 2，则双曲线 C 的渐近线方程为   
A． y=±3x B． y=±33x C． y=±12x D． y=±2x

4. 设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 PF1⋅PF2=0，则 1e12+1e22 的值为   
A． 12 B． 1 C． 2 D． 4

5. 设 F1，F2 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P．若 ∣PF1∣=6∣OP∣，则 C 的离心率为   
A． 5 B． 2 C． 3 D． 2

6. 已知 F1，F2 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 ∠F1PF2=60∘，∣PF1∣=3∣PF2∣，则 C 的离心率为   
A． 72 B． 132 C． 7 D． 13

7. 已知下列三个图形中的多边形均为正多边形，图1，图2中 M，N 分别是其所在边的中点，且三个图形中的双曲线均以图中的 F1，F2 为左、右焦点，设图1，图2，图3中的双曲线的离心率分别为 e1，e2，e3，则 e1，e2，e3 的大小关系为   

A．e1>e2>e3 B．e1e2

8. 设 F1，F2 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，O 是坐标原点，过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若 PF1=6∣OP∣，则 C 的离心率为   
A． 5 B． 2 C． 3 D． 2

9. 已知点 P 为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右支上一点，F1，F2 为双曲线的左、右焦点．若 OP+OF2⋅OP−OF2=0（O 为坐标原点），且 PF1=3PF2，则双曲线的离心率为   
A． 2+1 B． 3+1 C． 6+1 D． 3+12

10. 设 P 是双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上异于实轴端点的任意一点，F1，F2 分别是其左、右焦点，O 为中心，PF1⋅PF2−∣OP∣2=b24，则此双曲线的离心率为   
A． 213 B． 2 C． 3 D． 3

11. 已知双曲线 C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0，直线 x=a 与 C 的交点为 A，B（B 在 A 的下方），直线 x=a 与 C 的一条渐近线的交点 D 在第一象限，若 ∣AB∣∣BD∣=43，则 C 的离心率为   
A． 32 B． 2 C． 1+174 D． 7

12. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线方程为   
A．x24−y212=1 B．x212−y24=1 C．x23−y2=1 D．x2−y23=1

13. 已知 F1，F2 分别为双曲线 C:x22−y26=1 的左、右焦点，过 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点（其中点 A 在第一象限）．设点 H，G 分别为 △AF1F2，△BF1F2 的内心，则 ∣HG∣ 的取值范围是   
A． 22,4 B． 2,463 C． 433,22 D． 22,463

二、填空题（共5题）
14. 与椭圆 x24+y23=1 有相同离心率且经过点 2,−3 的椭圆标准方程为 ．

15. 已知圆 x2+y2−4x−9=0 与 y 轴的两个交点 A，B 都在某双曲线上，且 A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为 ．

16. 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：与 x−a2+y−b2 相关的代数问题可以考虑转化为点 Ax,y 与点 Ba,b 之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程 ∣x2+8x+20−x2−8x+20∣=4 的解为 ．

17. 已知双曲线与椭圆 x216+y26=1 有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为 y=±13x，则此双曲线的方程为 ．

18. 设点 P 为双曲线 x24−y2=1 上的动点，F 是它的右焦点，M 是线段 PF 的中点，则点 M 的轨迹方程是 ．

三、解答题（共4题）
19. 对比椭圆与双曲线的性质，你能发现他们哪些性质相近，而哪些性质又完全不同？

20. 某海湿地如图所示，A，B 和 C，D 分别是以点 O 为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点 O 的距离均为 42 公里，实线 POST 是一条观光长廊，其中，PQ 段上的任意一点到观测点 C 的距离比到观测点 D 的距离都多 8 公里，QS 段上的任意一点到中心点 O 的距离都相等，ST 段上的任意一点到观测点 A 的距离比到观测点 B 的距离都多 8 公里，以 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy．

(1) 求观光长廓 PQST 所在的曲线的方程；
(2) 在观光长廊的 PQ 段上，需建一服务站 M，使其到观测点 A 的距离最近，问如何设置服务站 M 的位置？

21. 已知 F 是双曲线 x24−y212=1 的左焦点，A1,4，P 是双曲线右支上的动点，求 ∣PF∣+∣PA∣ 的最小值．

22. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 3，实轴长为 2，直线 l：x−y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B．
(1) 求双曲线 C 的方程；
(2) 若线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上，求 m 的值；
(3) 若线段 AB 的长度为 45，求直线 l 的方程．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】B
【解析】双曲线 x22−y2=1 中，a=2，b=1，
因为双曲线 x2a2−y2b2=1 的渐近线方程是 y=±bax，
所以所求渐近线方程是 y=±22x．
故选B．

2. 【答案】C
【解析】双曲线方程为 x22−y22=1，
因此右焦点 F 的坐标为 2,0，渐近线方程为 y=±x，
故 ∣OF∣=2，
由于 ∣PO∣=∣PF∣，
所以 P 为双曲线的渐近线与线段 OF 的垂直平分线的交点，其坐标为 1,1 或 1,−1，故 S△OPF=12×2×1=1．

3. 【答案】A
【解析】离心率 e=ca=2，设 a=k，c=2k，b=3k，
故渐近线方程 y=±bax=±3x．

4. 【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，它们的半焦距是 c，
并设 PF1=m，PF2=n，m>n>0，
根据椭圆和双曲线的定义可得 m+n=2a1，m−n=2a2，
解得 m=a1+a2，n=a1−a2，
又 PF1⋅PF2=0，即 PF1⊥PF2，
由勾股定理得 PF12+PF22=F1F22，
即 m2+n2=2c2，
即 a1+a22+a1−a22=2c2，
化简可得 a12+a22=2c2，1e12+1e22=2．

5. 【答案】C
【解析】如图，
点 F2c,0 到渐近线 y=bax 的距离 ∣PF2∣=bca−01+ba2=b，而 ∣OF2∣=c，
所以在 Rt△OPF2 中，由勾股定理可得 ∣OP∣=c2−b2=a，所以 ∣PF1∣=6∣OP∣=6a．
在 Rt△OPF2 中，cos∠PF2O=∣PF2∣∣OF2∣=bc，
在 △F1F2P 中，
cos∠PF2O=∣PF2∣2+∣F1F2∣2−∣PF1∣22∣PF2∣⋅∣F1F2∣=b2+4c2−6a22b⋅2c,
所以 bc=b2+4c2−6a24bc⇒3b2=4c2−6a2，
则有 3c2−a2=4c2−6a2，解得 ca=3（负值舍去），即 e=3．


6. 【答案】A
【解析】因为 ∣PF1∣=3∣PF2∣，由双曲线的定义可得 ∣PF1∣−∣PF2∣=2∣PF2∣=2a，
所以 ∣PF2∣=a，∣PF1∣=3a；
因为 ∠F1PF2=60∘，由余弦定理可得 4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60∘，
整理可得 4c2=7a2，
所以 e2=c2a2=74，即 e=72．

7. 【答案】D
【解析】①不妨设等边三角形的边长为 2，以底边为 x 轴，以底边的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为 ±1,0，且过点 12,32，因为点 12,32 到两个焦点 −1,0，1,0 的距离分别是 94+34=3 和 14+34=1，所以 a=3−12，c=1，所以 e1=13−12=3+1．
②不妨设正方形的边长为 2，分别以两条对角线为 x 轴和 y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为 −1,0 和 1,0，且过点 12,12．因为点 12,12 到两个焦点 −1,0，1,0 的距离分别是 94+14=102 和 14+14=22，所以 a=10−24，c=1，所以 e2=110−24=10+22．
③不妨设正六边形的边长为 2，以 F1F2 所在直线为 x 轴，以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标分别为 −2,0 和 2,0，且过点 1,3，因为点 1,3 到两个焦点 −2,0 和 2,0 的距离分别为 23 和 2，所以 a=3−1，c=2，所以 e3=23−1=3+1．所以 e1=e3>e2．

8. 【答案】C

9. 【答案】B
【解析】由 OP+OF2⋅OP−OF2=0 得 OP=OF2，
又 OF1=OF2=c，
所以 △PF1F2 为直角三角形，且 PF2=c．
由勾股定理求出 PF1=3c，
根据双曲线的定义有 PF1−PF2=2a，
即 3c−c=2a，c=3+1a，
所以双曲线的离心率 e=ca=3+1，
故选B．

10. 【答案】A

11. 【答案】B
【解析】将 x=a 代入 y2a2−x2b2=1，
得 y2=a2c2b2，
即 y=±acb，则 ∣AB∣=2acb．
将 x=a 代入 y=abx，
得 y=a2b，则 ∣BD∣=acb+a2b．
因为 ∣AB∣∣BD∣=43，
所以 2acac+a2=43，
即 2ee+1=43，
解得 e=2．

12. 【答案】D
【解析】双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），
可得 c=2，ba=3，即 b2a2=3，c2−a2a2=3，
解得 a=1，b=3，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为：x2−y23=1．

13. 【答案】D
【解析】在 △AF1F2 中，设边 AF1，AF2，F1F2 上的切点分别为 M，N，E，连接 HM，HN，HE，HF2，GF2，
则 H，E 横坐标相等，∣AM∣=∣AN∣，F1M=F1E，∣F2N∣=∣F2E∣．
由 AF1−AF2=2a，即 ∣AM∣+MF1−∣AN∣+NF2=2a，得 MF1−NF2=2a，即 F1E−F2E=2a，
设 H 的横坐标为 x0，则 Ex0,0，
所以 x0+c−c−x0=2a，解得 x0=a，
同理内心 G 的横坐标也为 a，则有 HG⊥x 轴，
设直线 AB 的倾斜角为 θ，则 ∠OF2G=θ2，∠HF2O=90∘−θ2，
在 △HF2G 中，
∣HG∣=c−atanθ2+tan90∘−θ2=c−a⋅sinθ2cosθ2+cosθ2sinθ2=c−a⋅sin2θ2+cos2θ2sinθ2cosθ2=c−a⋅2sinθ.
易知双曲线 C:x22−y26=1 的 a=2，b=6，c=22，
所以 ∣HG∣=22sinθ，
由直线 AB 交双曲线右支于 A，B 两点，且双曲线的渐近线的斜率为 ±3，其倾斜角为 60∘ 或 120∘，
可得 60∘<θ<120∘，即 32 所以 ∣HG∣ 的范围是 22,463．

二、填空题（共5题）
14. 【答案】 y2253+x2254=1 或 x28+y26=1

【解析】方法一：
因为 e=ca=a2−b2a=1−b2a2=1−34=12，
若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为 x2m2+y2n2=1m>n>0，
则 1−nm2=14．从而 nm2=34，nm=32．
又 4m2+3n2=1，所以 m2=8，n2=6．
所以所求椭圆的标准方程为 x28+y26=1．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的方程为 y2m2+x2n2=1m>n>0，
则 3m2+4n2=1，且 nm=32，解得 m2=253，n2=254．
故所求椭圆的标准方程为 y2253+x2254=1．
方法二：
若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为 x24+y23=tt>0，
将点 2,−3 代入，得 t=224+−323=2．
故所求椭圆的标准方程为 x28+y26=1．
若焦点在 y 轴上，
设方程为 y24+x23=λλ>0 代入点 2,−3，得 λ=2512，
所以所求椭圆的标准方程为 y2253+x2254=1．

15. 【答案】 y29−x272=1
【解析】易知圆 x2+y2−4x−9=0 与 y 轴的交点坐标为 0,3，0,−3．
因为圆与 y 轴的两个交点 A，B 都在某双曲线上，
所以双曲线的焦点在 y 轴上，且 a=3．
又因为 A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
所以 c=9，
所以 b2=72，
所以此双曲线的标准方程为 y29−x272=1．

16. 【答案】 ±433
【解析】因为 ∣x2+8x+20−x2−8x+20∣=4
所以 x+42+22−x−42+22=4，
可以转化为点 x,2 到点 −4,0，4,0 的距离之差的绝对值为 4，
所以点 x,2 在双曲线 x24−y212=1 上，
所以 x24−412=1，解得 x=±433．

17. 【答案】 x29−y2=1
【解析】由题易知椭圆焦点为 ±10,0，
所以在双曲线中，c=10，
设双曲线的方程为 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），
则 ba=13，
由 ba=13,a2+b2=c2=10,
解得 a=3,b=1.
所以此双曲线的方程为 x29−y2=1．

18. 【答案】 (x−52)2−4y2=1
【解析】设 Px0,y0，Mx,y，又 F5,0．
由题意得 x0=2x−5，y0=2y，
代入 x024−y02=1 得 x−522−4y2=1．

三、解答题（共4题）
19. 【答案】可以从定义，焦点三角形面积公式，与直线的位置关系等等很多角度去总结．

20. 【答案】
(1) ①由题意知，QS 段上的任意一点到中心点 O 的距离都相等，
QS 的轨迹为圆的一部分，其中 r=4，圆心坐标为 O，
即 x≥0，y≥0 时，圆的方程为 x2+y2=16；
② PQ 段上的任意一点到观测点 C 的距离比到观测点 D 的距离都多 8 公里，
PQ 的轨迹为双曲线的一部分，且 c=42，a=4，
即 x<0，y>0 时，双曲线方程为 y216−x216=1；
③ ST 段上的任意一点到观测点 A 的距离比到观测点 B 的距离都多 8 公里，
ST 的轨迹为双曲线的一部分，且 c=42，a=4，
即 x>0，y<0 时，双曲线方程为 x216−y216=1．
综上，x≥0，y≥0 时，曲线方程为 x2+y2=16；
x<0，y>0 时，曲线方程为 y216−x216=1；
x>0，y<0 时，曲线方程为 x216−y216=1．
【注】可合并为 xx16+yy16=1．
(2) 由题意设点 Mx,y，其中 y216−x216=1，其中 x≤0，y≥0，
则 MA2=x+422+y2=x+422+x2+16=2x+222+32，
当且仅当 x=−22 时，MA 取得最小值为 32=42，
此时 y=4×1+816=26，所以点 M−22,26．

21. 【答案】注意到点 P 在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 Fʹ4,0，
于是由双曲线性质，得 ∣PF∣−∣PFʹ∣=2a=4．
而 ∣PA∣+∣PFʹ∣≥∣AFʹ∣=5．
两式相加，得 ∣PF∣+∣PA∣≥9，当且仅当 A，P，Fʹ 三点共线时等号成立．
则 ∣PF∣+∣PA∣ 的最小值为 9．

22. 【答案】
(1) 由题意，得 ca=3，2a=2，又因为 c2=a2+b2，解得 a=1，c=3，
所以 b2=c2−a2=2，
所以所求双曲线 C 的方程为 x2−y22=1．
(2) 设 A，B 两点的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，线段 AB 的中点为 Mx0,y0，
由 x2−y22=1,x−y+m=0 得 x2−2mx−m2−2=0，判别式 Δ>0，
所以 x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m，
因为点 Mx0,y0 在圆 x2+y2=5 上，
所以 m2+2m2=5，
所以 m=±1．
(3) 由
AB=x1−x22+y1−y22=x1−x22+x1−x22=2x1−x22=2x1+x22−4x1x2=22m2−4−m2−2=45,
解得 m=±2．
所以直线 l 的方程为 x−y+2=0 或 x−y−2=0．