数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品精练

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）选修一3.3.2抛物线的简单几何性质
（共18题）

一、选择题（共10题）
1. 已知 F1 、 F2 分别为双曲线 3x2−y2=3a2a>0 的左、右焦点，P 是抛物线 y2=8ax 与双曲线的一个交点，若 PF1+PF2=12，则抛物线的准线方程为   
A． x=−4 B． x=−3 C． x=−2 D． x=−1

2. 抛物线 y2=ax（a≠0）的焦点到其准线的距离是   
A． ∣a∣4 B． ∣a∣2 C． a D． a2

3. 已知抛物线 y=ax2 的焦点为 0,14，则 a 的值为   
A． 12 B． 1 C． −1 D． 2

4. 从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 ∣PM∣=5，设抛物线的焦点为 F，则 △PMF 的面积为   
A． 5 B． 10 C． 20 D． 15

5. 抛物线 y2=4x 上的点与其焦点的距离的最小值为   
A． 4 B． 2 C． 1 D． 12

6. 若抛物线 y2=2pxp>0 上的点 Ax0,2 到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于   
A．12 B．1 C．32 D．2

7. 抛物线 y=x2 上到直线 x−y−4=0 的距离最短的点的坐标是   
A． 12,14 B． 1,1 C． 32,94 D． 2,4

8. 已知斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C：y2=4x 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M2,1，则直线 l 的方程为   
A． 2x−y−3=0 B． 2x−y−5=0
C． x−2y=0 D． x−y−1=0

9. 过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交其准线于点 C，且 A，C 位于 x 轴同侧．若 ∣AC∣=2∣AF∣，则 ∣BF∣ 等于   
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

10. 已知直线 y=x−1 交抛物线 y2=2x 于 A，B 两点，点 O 为坐标原点，那么 △OAB 的面积是   
A． 62 B． 32 C． 3 D． 6

二、填空题（共5题）
11. 抛物线 y2=mx（m 为常数）过点 −1,1，则抛物线的焦点坐标为 ．

12. 已知抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=−14，则 a= ．

13. 曲线 y2=4x 的顶点到其准线的距离为 ．

14. 抛物线 y2=2x 的准线方程为 ．

15. 在平面直角坐标系内有两点 Am,−1，B2,−1，m<2，点 A 在抛物线 y2=2px 上，F 为抛物线的焦点，若 2AB+AF=6，则 m= ．

三、解答题（共3题）
16. 已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P4,2，且 OA⊥OB（O 为坐标原点），求弦 AB 的长．

17. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点 F 到准线的距离为 2．
(1) 求 C 的方程；
(2) 已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 PQ=9QF，求直线 OQ 斜率的最大值．

18. 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O．焦点在 x 轴上，直线 l:x=1 交 C 于 P，Q 两点，且 OP⊥OQ．已知点 M2,0，且 ⊙M 与l相切．
(1) 求 C，⊙M 的方程；
(2) 设 A1，A2，A3 是C上的三个点，直线 A1A2，A1A3 均与 ⊙M 相切．判断直线 A2A3 与 ⊙M 的位置关系，并说明理由．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C

2. 【答案】B
【解析】由条件得 p=∣a∣2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为 ∣a∣2，故选B．

3. 【答案】B
【解析】抛物线的标准方程为 x2=1ay，
所以焦点坐标为 0,14a，
由题意可得 14a=14，
所以 a=1，
故选B．

4. 【答案】B
【解析】设 Px0,y0，则 ∣PM∣=x0+1=5，解得 x0=4，则 y02=4×4=16，则 ∣y0∣=4，故 S△MPF=12×5×∣y0∣=10．
故选B．

5. 【答案】C

6. 【答案】D
【解析】由题意 3x0=x0+p2，x0=p4，
则 p22=2，
因为 p>0，
所以 p=2．

7. 【答案】A
【解析】设 Ax0,x02 为抛物线 y=x2 上一点，
则点 Ax0,x02 到直线 x−y−4=0 的距离 d=x0−x02−41+1=22x0−122+154=22x0−122+154，
当 x0=12 时 d 最小，此时 A 的坐标为 12,14，
抛物线 y=x2 上到直线 x−y−4=0 的距离最短的点的坐标是 12,14．

8. 【答案】A
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 y12=4x1,y22=4x2⇒y1−y2y1+y2=4x1−x2．
又 AB 的中点为 M2,1，
所以 y1+y2=2，
所以 k=y1−y2x1−x2=2，
因此直线 AB 的方程为 y−1=2x−2，
化简得 2x−y−3=0．

9. 【答案】C
【解析】抛物线 y2=4x 的焦点 F1,0，准线方程 l:x=−1，设准线 l 与 x 轴交于点 H，不妨设点 A 在第四象限，过点 A 和点 B 分别作 AD⊥l，BE⊥l，如图．
由抛物线的定义可知 ∣AF∣=∣AD∣，∣BF∣=∣BE∣，又 ∣AC∣=2∣AF∣，所以 ∣AC∣=2∣AD∣，则 ∠ACD=π6．因为 ∣HF∣=p=2，∣HF∣∣AD∣=∣CF∣∣AC∣=32，所以 ∣AF∣=∣AD∣=43．
设 Ax1,y1，Bx2,y2 直线 AB 的方程为 y=3x−1，联立
y2=4x,y=3x−1, 整理得 3x2−10x+3=0，则 x1+x2=103．由抛物线的性质可知 ∣AB∣=x1+x2+p=163，所以 ∣AF∣+∣BF∣=163，
解得 ∣BF∣=4．


10. 【答案】C
【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y=x−1,y2=2x,
得 x2−4x+1=0．
所以 x1+x2=4，x1x2=1，
所以 AB=x1−x2⋅1+k2=16−4×1+12=26，
又点 O 到直线 y=x−1 的距离为 ∣0−0−1∣2=22，
所以 S△OAB=12×26×22=3，
故选C．

二、填空题（共5题）
11. 【答案】 (−14,0)

12. 【答案】 1

13. 【答案】 1

14. 【答案】 x=−12

15. 【答案】 −1+52，−12，−18

三、解答题（共3题）
16. 【答案】由 A，B 两点在抛物线 y2=6x 上，可设 Ay126,y1，By226,y2．
因为 OA⊥OB，
所以 OA⋅OB=0．
又因为 OA=y126,y1，OB=y226,y2，
所以 y12y2236+y1y2=0．
因为 y1y2≠0，
所以 y1y2=−36. ⋯⋯①
因为点 A，B 与点 P4,2 在一条直线上，
所以 y1−2y126−4=y1−y2y126−y226，化简得 y1−2y12−24=1y1+y2，
即 y1y2−2y1+y2=−24．
将①式代入，得 y1+y2=−6. ⋯⋯②
由①和②得 y1=−3−35，y2=−3+35，从而点 A 的坐标为 9+35,−3−35，点 B 的坐标为 9−35,−3+35，
所以 ∣AB∣=x1−x22+y1−y22=610．

17. 【答案】
(1) 抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点 Fp2,0，准线方程为 x=−p2，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 p2−−p2=p=2，
所以该抛物线的方程为 y2=4x．
(2) 设 Qx0,y0，则 PQ=9QF=9−9x0,−9y0，
所以 P10x0−9,10y0，
由 P 在抛物线上可得 10y02=410x0−9，即 x0=25y02+910，
所以直线 OQ 的斜率 kOQ=y0x0=y025y02+910=10y025y02+9，
当 y0=0 时，kOQ=0；
当 y0≠0 时，kOQ=1025y0+9y0，
当 y0>0 时，因为 25y0+9y0≥225y0⋅9y0=30，
此时 0 当 y0<0 时，kOQ<0；
综上，直线 OQ 的斜率的最大值为 13．

18. 【答案】
(1) 依题意设抛物线 C:y2=2pxp>0，P1,y0，Q1,−y0，
因为 OP⊥OQ，所以 OP⋅OQ=1−y02=1−2p=0，所以 2p=1，
所以抛物线 C 的方程为 y2=x，
M0,2，⊙M 与 x=1 相切，所以半径为 1，
所以 ⊙M 的方程为 x−22+y2=1．
(2) 设 A1x1y1，A2x2,y2，A3x3,y3．
若 A1A2 斜率不存在，则 A1A2 方程为 x=1 或 x=3．
若 A1A2 方程为 x=1，根据对称性不妨设 A11,1，
则过 A1 与圆 M 相切的另一条直线方程为 y=1，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 A3，不合题意；
若 A1A2 方程为 x=3，根据对称性不妨设 A13,3，A23,−3，
则过 A1 与圆 M 相切的直线 A1A3 为 y−3=33x−3，
又 kA1A3=y1−y3x1−x3=1y1+y3=13+y3=33，所以 y3=0，
x3=0，A30,0，此时直线 A1A3,A2A3 关于 x 轴对称，
所以直线 A2A3 与圆 M 相切；
若直线 A1A2，A1A3，A2A3 斜率均存在，
则 kA1A2=1y1+y2，kA1A3=1y1+y3，kA2A3=1y2+y3，
所以直线 A1A2 方程为 y−y1=1y1+y2x−x1，
整理得 x−y1+y2y+y1y2=0，
同理直线 A1A3 的方程为 x−y1+y3y+y1y3=0，
直线 A2A3 的方程为 x−y2+y3y+y2y3=0，
因为 A1A2 与圆 M 相切，所以 2+y1y21+y1+y22=1，
整理得 y12−1y22+2y1y2+3−y12=0，
A1A3 与圆 M 相切，同理 y12−1y32+2y1y3+3−y12=0
所以 y2，y3 为方程 y12−1y2+2y1y+3−y12=0 的两根，
y2+y3=−2y1y12−1，y2⋅y3=3−y12y12−1，
M 到直线 A2A3 的距离为：
2+y2y31+y2+y32=2+3−y12y12−11+−2y1y12−12=y12+1y12−12+4y12=y12+1y12+1=1,
所以直线 A2A3 与圆 M 相切．
综上若直线 A1A2，A1A3 与圆 M 相切，则直线 A2A3 与圆 M 相切．