【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--2.1.1 不等关系与作差比较大小（课时教学设计）

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一.教学内容
1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.作差法比较两实数的大小．
二． 教学目标
1.通过实例，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系；初步学会作差法比较两实数的大小．发展学生解决问题你能力。
2. 通过从教材中的“赵爽弦图”得出证明的一般思路:从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，提升逻辑思维和数形结合的能力.
3.通过不等模型，数学建模的能力， 把不等关系“翻译”成为不等式；提升逻辑推理的数学核心素养.
三． 教学重点与难点
1. 重点：不等关系与不等式
2.难点：两个式子比较大小方法的掌握
四．教学过程设计
引导语：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示.
问题1 通过实例，你能表示出数量中的不等关系，不等就是不相等，有大小之分。我们比较两个数量的大小可以用什么方法呢？
例1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
某路段限速40 km/h;
(2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量P应不少于2.3%;
(3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
(4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
师生活动：
学生思考，动笔写出不等关系
教师投影学生的答案
3.师生归纳：
（1）不等关系强调的是关系，可用文字语言描述，也可用符号语言描述，常用符号有“>”“<”“≥”“≤”“≠”．
(2)将不等关系表示成不等式(组)的思路
①读懂题意，找准不等式所联系的量．
②用适当的不等号连接．
③多个不等关系用不等式组表示．
【设计意图】通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
五. 巩固例题
一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比
原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为_____．
[解析] 因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程
为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．
【设计意图】通过情景应用练习，加深不等关系的理解。培养阅读能力。
问题2 我们知道，实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．对于两个实数a，b，它们的大小关系有几种？怎样判断？
师生活动：
（1）教师举例实数a,b,画数轴出来，用不等关系表示a,b的大小关系。
（2）学生思考回答：如果a−b是正数，那么a>b；如果a−b等于0，那么a＝b；如果a−b是负数，那么aa>b⇔a－b>0；
a＝b⇔a－b＝0；
a（3）例题
例1：比较（x+2）(x+3)和(x+1)(x+4)的大小
师生活动：找一到3个学生写到黑板上，其余写到练习本上，强调做题的规范性。
例2：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

学生解答：如上图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，
则大正方形的面积为，四个矩形的面积和为，
显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所以
所以a2+b2≥2ab.
事实上，同学们可以作差法再次证明这个重要不等式。
学生演算：
a2+b2−2ab=a−b2≥0 ,当且仅当a=b时，等号成立。
【设计意图】再次体验作差法证明，培养运算能力素养。同时在情景中体会重要不等式，为后面学习基本不等式做好准备
(4)教师引导学生归纳总结：
比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；（尽量化成因式）。
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
追问1:如何判断它的差大于0还是小于0，应该化成因式形式吗？
学生回答：尽量化成容易判断正负形式的因式形式。
【设计意图】引导学生总结，总结作差步骤方法，让学生对通性通法有一个整体形象。巩固学生基础。
六．课堂检测
1.如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________
2.已知a，b均为正实数．试利用作差法a3+b3比较与a2b+ab2的大小．
3.已知a>0，求证：a＋eq \f(1,a)≥2
【设计意图】
通过例题及练习，使学生熟练比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养。
七 .课堂小结
师生活动：
教师语言引导学生回顾今天学了什么内容？分别是什么？作差法的步骤与需要注意的问题，如何化简成因式的形式，从而与0比较大小。
一．知识方面：比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；（尽量化成因式）。
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
二．数学素养方面：
上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．所以，加强数学运算能力，培养学生数学数理能力。

【设计意图】通过练习，巩固作差比较大小的方法。加强数学运算能力，整体提升数学素养。