高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式一等奖教案及反思

《基本不等式》单元教学设计

一  内容和及其解析

（一）内容

基本不等式的含义、证明及其应用

（二）内容解析

1. 内容本质：

“基本不等式”是数学上非常重要的一个不等式，是实际问题当中处理最大（小）值问题的有力工具。该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化规律，这一本质不仅反映在其代数结构上，也反映在它的几何意义上，从代数推理和几何直观上都能得到良好理解。在代数意义上，两个量（正数）的“算术平均数”与“几何平均数”之间的大小关系，也可称为“均值不等式”（其实，可以推广到多个量），体现“加法运算”与“乘法运算”之间的区别。在几何意义上，“基本不等式”表现出来的是“直径是最长弦长”。

基本不等式的证明，可以用代换法、分析法、综合法等多种方法。

“基本不等式”在实际应用中常常用于“最优化问题”。

2. 蕴含的思想方法

在证明和运用基本不等式时的转化思想；

在几何解释时的数形结合思想；

在解决实际问题中的建模思想。

3. 知识的上下位关系：

基本不等式是前面学习完不等式性质之后的第一个具体且重要的不等式（定理），在此章与“二次函数与一元二次方程、不等式”有着并列的地位，属于预备知识，是为后面研究函数做好必要知识的铺垫。

4. 育人价值：

通过展示基本不等式的几何解析，可以培养学生“直观想象”的素养，并从中感受“数形一致”的数学魅力；

通过严谨的证明活动，发展学生“逻辑推理”的素养；

通过具体运用基本不等式求解相关函数最值时，培养学生数学运算的素养；

通过建立数学模型，并利用基本不等式求解最优化等实际问题，发展学生“数学建模”的素养。

5. 教学重点：

（1）基本不等式含义的理解和证明；

（2）利用基本不等式求最值的基本方法及其实际应用。

二 目标及其解析

（一）单元目标

1. 掌握基本不等式；

2. 结合具体实例，能利用基本不等式求简单的最值问题。

（二）目标解析达成目标的标志

1.通过具体演算或者直观实例，能抽象出基本不等式的形式；

2.能够证明基本不等式；

3.能够理解基本不等式的几何解析；

4.能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，并能注意到运用基本不等式的前提条件：一正二定三相等；

5.会利用基本不等式求解实际问题中的最值。

三 教学问题诊断分析  

1. 基本不等式是学生前面学习了不等式一般性质之后接触的第一个较为抽象的（不等式）模型，对于证明的方法，不够理解和熟练，学生心中稍会产生畏惧心理；

破解方法：从具体到抽象，即是先让学生通过具体数值的结果对比，或者直观的事实，让学生有感性的理解和认识后，有足够的信心在进行严谨的证明；

2. 对于基本不等式的几何解释，用代数语言解析了几何现象，既会让学生产生好奇感和惊喜心，

但当中也可能存在一定的障碍，比如相交弦定理；

破解方法：要做好引导和适当的知识铺垫为好；

3. 在运用基本不等式求最值问题时，学生容易疏忽其使用的前提条件（“一正二定三相等”）．

破解方法：教师通过正反例的对比教学，让学生理解三个条件的不可或缺性．

4. 运用基本不等式的时候，发现“和为定值”或者“积为定值”是重要一步，但同时往往也是比较困难的一步，特别是当形式不那么明显直接的情况下，需要学生适当化简或配凑；

破解方法：老师一方面要注意把握教学的难度，不可要求过高，毕竟在此面对的是高一的新生，虽然在高考中对于基本不等式可能有更高的要求，但是这些能力可以在后面逐渐学习培养；另一方面，注重培养学生的观察与运算能力，把握式子中隐含关系，灵活运用基本不等式。

教学难点：

基本不等式的（条件）理解和证明，利用基本不等式求最值问题。

四 教学支持条件

1. 高一学生有一定的字母运算能力，为证明基本不等式有了技能储备；
2. 应用Excel、GGB等计算机软件，可以直观呈现，生动刻画基本不等式的数值和图形表现。

五 课时分配.

（一）课时安排

第1课时，基本不等式的解释和证明；

第2课时，第2课时，利用基本不等式解决最值问题。