【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）（课时教学设计）

课题：第一课时 《2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式》

（一）教学内容   一元二次不等式的定义、解法和应用，二次函数与一元二次方程、不等式的联系。

（二）教学目标

1.知识目标：

熟练掌握一元二次不等式解法，理解三个“二次”之间的关系。

2.能力目标：

①借助二次函数图象，数形结合地理解三个“二次”之间的关系；

②具体操作，学会借助已有经验，有意识的进行降维处理（将解一元二次不等式问题转化为一元一次不等式组问题。）

3. 素养目标：数学建模的能力，使学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

（三）教学重点及难点

1. 重点

用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二次不等式，能够利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法。

2.  难点 

建立二次函数与一元二次不等式的联系以及含参数的一元二次不等式的解法。

（四）教学过程设计（主体内容）

用问题分解教学目标

新知探究

 问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？

 师生活动   教师提出问题，要求学生设立未知数，尽可能少引入未知量，建立不等式关系：x2-12x+20<0

*追问（1）不等式左边的式子有什么特点（与一元一次不等式做类比）？能否给这个新的不等式起个名字？并做表达？

 设计意图   打造学生建模能力，经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，引出新知识的定义和形式。

师生共同总结  一元二次不等式的概念

1.一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有     未知数，并且未知数的最高次数是   的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是            或         ，其中a，b，c均为常数，a≠0.

自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是(　　)

A．    B．   C．       D．

 问题2  什么是二次函数的零点？

2．二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的           叫做二次函数

y＝ax2＋bx＋c的零点．

注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．

(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．

自我检测2：1.函数y＝x2- 4x的零点是（  ）

A．    B．  C．   D．4

探究“三个二次”之间的关系　

 问题3  一元二次方程、一元二次不等式

与其对应的一元二次函数图像的关系是怎样的？

研究路径的类比：

研究1：初中，具备了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想。类比，能否从二次函数观点来看上面的问题，进而得到一元二次不等式的解法？

师生活动

借助Geography软件画出函数y=x2-12x+20的图象，在图像上随机取一点A(x,y)，拖动A在图象上移动。让学生回答，随着点A位置的改变，其纵坐标有着什么样的变化规律。

追问1：当A点的纵坐标为0，其横坐标怎么求?

追问2：这个一元二次方程x2-12x+20=0的两个实数根与二次函数y=x2-12x+20有什么关系？

追问3：这个发现可以推广到一般吗？

追问4：继续观察，二次函数y=x2-12x+20的两个零点将x轴分成三段，每一段（不包括零点）对应的函数图象的特点（重点观察函数值）？

追问5：结合图象谈谈上面例子，矩形的边长是多少？

研究2：思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.

师生活动

设计意图

问题串的设置，逐步引导学生从函数图象角度切入，了解到方程的根与函数图象之间的关系。进而从图象就能得到相应的不等式解集，体会函数图象所起的作用。

通过追问1和2，使学生明白了，函数图象上纵坐标为0的点的横坐标恰恰就是对应方程的根。进而想到从特殊到一般。

引导学生：得出当x<2或x>10时，图象位于x轴上方，y=x2-12x+20>0,同理得：2<x<10时，y=x2-12x+20<0。

将具体一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的联系推广至一般，关键是叫学生结合函数图象，能判断一元二次方程的根的情况和解一元二次不等式，体会数学结合和函数思想的应用，也同时思考a<0的情况，转化为a>0的那种情况。从而掌握一般问题的研究手段

（五）目标检测设计

1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象，求一元二次方程ax2 +bx+c=0的根和一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a0）的解集.

2.求下列不等式的解集：

(1)x2-4x＜0；

(2)一x2+2x-2＜0；

(3)-x2+2x-3＞0.

设计意图：考查学生求解一元二次不等式的能力。

（六）教学反思

学生能否真正理解从等式性质通过类比得到不等式性质的过程，能否体会到等式与不等式的共性与差异，由具体的二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，进一步推广，探索一般的二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.