【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5.3 函数模型的应用（第二课时）（课时教学设计）

这是一份【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5.3 函数模型的应用（第二课时）（课时教学设计），共6页。

 函数模型的应用第二课时教学设计
（一）教学内容
　　教科书例5和例6，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．
　　　　　
（二）教学目标
　　1．通过例题能让学生将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确选择合适的函数模型解决实际问题，从而发展学生数学抽象、数学建模等素养．
　2.通过例题条件出发，能够根据“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，从而发展学生数形结合地素养；
（三）教学重点与难点
1.重点
选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程．
2.难点
　　如何选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型．
　　
（四） 教学过程
我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 ． 面临一个实际问题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？看以下问题
　
　　例5. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
　　方案一：每天回报40元；
　　方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
　　方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
　　请问，你会选择哪种投资方案？
　　问题1：请初步选择一种你认为合适的投资方案．
师生活动：学生读完题后进行分析，明白题中给出什么条件，要求什么量。进行简单的思考后，选择一个方案。
设计意图：让学生理解题意，能够将实际问题转化为函数问题，并能利用函数模型解决实际问题，从而发展学生数学抽象、数学建模等素养。
追问：（1）你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？
　　（2）三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？
　　（3）根据例1中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
　　（4）你能借助计算工具作出函数图象，并根据图象描述一下三种方案的特点吗？
　　师生活动：教师可提出进一步的问题，指导学生分析其中的数量关系，引导学生正确写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断．学生通过教师指导，分析出题中的数量关系，能写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，选出最佳方案。
　　设计意图：例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针对性地给出不同的台阶，做到 “总体引导，分层指导”，结合学生的实际情况，利用追问逐步深入．追问（1）意在指导学生将实际问题转化为数学问题；追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异选择合适的函数模型；追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是引导学生通过观察增加量体会指数函数的增长速度；追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的实际含义，并通过描述三种方案的特点，为下一个问题埋下伏笔．
问题2：仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？请结合教科书152页边空的问题进一步思考：关于三种投资方案的选择，你应当如何判断？
师生活动：学生进行分析明白每天回报数并不能准确地做出选择。通过边空的问题，学生思考能够做出判断。
设计意图：教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．让学生对不同类型的函数增长总量有更直观的认知.
　　追问：教科书152页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？
　　师生活动：教师可根据学生的思考，指出计算每月回报的增加量（或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后利用下述追问引导学生选择累计的回报数进行判断，作出正确的回答．最后，在问题2的基础上，给出本题的完整解答．
　　设计意图：教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断．
　　
解 ： 设第x天所得回报是y元 ， 则方案一可以用函数 y ＝40(x∈N*) 进行描述 ；
方案二可以用函数 y ＝10x(x∈N*)进行描述 ；
方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)
进行描述 ． 三个模型中 ， 第一个是常数函数 ， 后两个都是增函数 ．
要对三个方案作出选择 ， 就要对它们的增长情况进行分析 ．
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况
三种方案每天回报表


方案一的函数是常数函
数 ， 方案二 、 方案三的函数都是增函数 ， 但方案三的函数与
方案二的函数的增长情况很不相同 ． 可以看到 ， 尽管方案一 、 方案二在第 １ 天所得回报分别是方案三的100倍和25
倍 ， 但它们的增长量固定不变 ， 而方案三是 “ 指数增长 ”，
其 “ 增长量 ” 是成倍增加的 ， 从第7天开始 ， 方案三比其他两个方案增长得快得多 ， 这种增长速度是方案一 、 方案二所无法企及的 ． 从每天所得回报看 ，
在第 １～３ 天 ， 方案一最多 ；
在第 ４ 天 ， 方案一和方案二一样多 ， 方案三最少 ；
在第５～８ 天 ， 方案二最多 ； 第9天开始 ， 方案三比其他两个方
案所得回报多得多 ， 到第30天 ， 所得回报已超过2亿元 ．
下面再看累计的回报数 ． 通过信息技术列表如下

投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三。

上述例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到 ， 不同的函数增长模型 ， 增长变化存在很大差异



例6 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．三个奖励模型：y=0.25x，，其中哪个模型能符合公司的要求？
问题1：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？
师生活动：学生读完题后进行分析，明白题中给出什么条件，要干什么事情。在给定的三个函数模型中进行简单的思考后，选择正确模型。
设计意图：让学生理解题意，能够按要求选择符合题意的模型，并能利用函数模型解决实际问题，从而发展学生数学抽象、数学建模等素养。
追问：（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函数模型有什么帮助？
　　（2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否作出函数图象，并通过观察作出初步的判断吗？
　　师生活动：教师可以在学生思考问题1的基础上，提出追问中的问题，进一步指导学生结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系，引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函数模型．
　　设计意图：这里依然关注教学的生成，继续在总体指导下有针对性地给出不同台阶的分层问题．追问（1）意在引导学生关注实际问题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型做好准备；追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判断，从而实现将实际问题向函数模型转化．
　　问题2：（1）你是如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？
　　 （2）能否给出本题的解答过程？
　　师生活动：教师在学生尝试给出解答的基础上，通过问题作进一步的指导，帮助学生从画函数图象入手，通过观察函数的图象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确结果．
　　设计意图：教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质选择合适的函数模型，给出正确解答．（1）意在引导学生指出判断依据；（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运用函数观点分析问题．
　　解 ： 借助信息技术画出函数 y ＝５ ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的图象． 观察图象发现 ， 在区间 ［ 10， 1000］ 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的图象都有一部分在直线 y ＝５ 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的图象始终在 y＝５ 的下方 ， 这说明只有按模型 y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求 ．


下面通过计算确认上述判断 ．
先计算哪个模型的奖金总数不超过 ５ 万元 ．
对于模型 y ＝0.25x， 它在区间 ［ 10，1000 ］ 上单调递增 ，
而且当 x ＝２０ 时 ， y ＝５ ，
因此 ， 当 x ＞２０ 时 ， y ＞５ ， 所以该模型不符合要求 ；
对于模型, y=1.002x ， 由函数图象 ，
并利用信息技术 ， 可知在区间 （805 ，806 ）
内有一个点x0 满足 1.002x0＝５ ， 由于它在区间 ［10 ，1000 ］ 上单调递增 ，
因此当 x＞ x0时 ， y ＞５ ，所以该模型也不符合要求 ；
对于模型 y=log7x+1， 它在区间 ［10 ，1000 ］上单调递增 ， 而且当 x＝1000 时 ，y=log71000+1≈4.55＜５ ， 所以它符合奖金总数不超过 ５ 万元的要求 ．
再计算按模型 y=log7x+1奖励时 ， 奖金是否不超过利润的25％ ，
即当 x ∈［10 ，1000 ］ 时 ， 是否有 y ≤0.25x，
即y=log7x+1 ≤0.25x成立 ．
令 f(x) ＝ y=log7x+1-0.25x， x ∈ ［10 ，1000 ］, 利用信息技术画出它的图象


由图象可知函数 f(x)在区间［10 ，1000 ］ 上单调递减 ，
因此f(x)≤ f(10)≈－0.3167＜０ ，
即y=log7x+1＜0.25x．所以 ， 当 x ∈ ［10 ，1000 ］时 ，
y ≤0.25x， 说明按模型y=log7x+1 奖励 ， 奖金不会超过利润的 25％．综上所述 ， 模型 y=log7x+1确实能符合公司要求 ．
　课堂小结
　　问题：通过解答以上两道例题的实际问题，并结合教科书中的例3和例4，你能归纳出用建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？
　　设计意图：总结用建立函数模型解决实际问题的基本过程，提升解决实际问题的能力．
　
　　五、目标检测设计
　课堂检测
完成教科书第154页练习1，2．
　　师生活动：教师结合两道例题的教学情况让学生进行练习，并根据学生的解答情况，给出应有的指导，或提供正确的解答．
　　设计意图：促进学生进一步应用函数解决实际问题，并从中评价学生达成教学目标的情况．
课后作业
1．为了能在规定时间内完成预期的运输量，某运输公司提出了五种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图所示．运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的图象编号是______________．
　　 
　　设计意图：考查在具体背景下，根据不同函数模型的增长特点选择合适的函数图象刻画实际问题．
　　2．某工厂今年前三个月生产某种产品的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．现有三种函数模型用于描述产量y（单位：万件）关于月份x的关系：y=ax+b，y=ax2+bx+c，．若4月份的产量为1.37万件，请问哪个函数更符合实际？
　　设计意图：考查根据题目条件，选择和求解函数模型刻画实际问题的变化规律．
　　3*．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，两火箭的最大速度之差与这两火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为m kg，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2 km/s，当燃料质量为m(e－1) kg时，该火箭的最大速度为2 km/s．
　　（1）写出该火箭最大速度y与燃料质量x的函数关系式；
　　（2）当燃料质量为多少时，火箭的最大速度可达12km/s？
　　设计意图：考查建立函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题．
（六）教学反思