【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.1.1 任意角（第1课时）（课时教学设计）

课题：5.1.1  任意角（第1课时）

(一) 教学内容：

任意角的概念和表示方法；象限角；终边相同的角．

(二) 教学目标

1.知识目标：理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.

2.能力目标：会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合; 掌握区间角的集合的书写.

3.素养目标：提高学生的推理能力;培养学生应用意识.

(三) 教学重点和难点

重点：任意角的概念，象限角的表示；

难点：终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写.

(四)    教学过程设计

问题1：初中所学的角是如何定义？角的范围？

师生活动：1.学生回顾知识，给出答案；2.教师指明，规范问题答案。

              有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.角的范围：0°～360°。

追问：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？

师生活动：学生思考，教师多媒体出示出示体操比赛以及齿轮传动的图片。(体操:“前空翻转体度”，“后空翻转体度”。齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向相反(顺、逆时针).)

追问：这些角的不同，体现在哪几个方面？

一是旋转量；二是旋转方向.

师生活动：学生讨论总结，教师点拨，虽然我们过去学习了“0°～360°”内的角，但在上述问题中，很显然，我们发现了仅有范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广，这就是我们本节课要学习的内容——任意角.（板书课题）

设计意图：通过复习初中角的概念，创设课堂情境与生活实例，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，引入本节新课,建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

追问：请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？

师生活动：学生总结，教师板书任意角角的概念。

问题2：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？

师生活动：（动画演示）拖动点B可以进行逆时针旋转和顺时针旋转发现变化规律。

 我们规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

      按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

      如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果是零角,那么。这样，我们就把角的概念推广到了任意角.

问题3：如何画一个任意角，作图时注意的要点有哪些？

师生活动：教师演示作图，让学生概括作图要点。

    已知，那么图中红线标注的角是沿逆时针方向旋转了的角，所以它等于

    画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负决定旋

转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺

旋线加以标注.

练习1：画出下列各角：。

【提示】

设计意图：通过画正角、负角，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力。

问题4：根据你对任意角概念的理解，如果两条射线旋转的方向相同，旋转量相同，则两个角有什么样的大小关系？

设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称．

追问：那么两角相加又是怎样规定的？

设，是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.

问题5：你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？

师生活动：教师点拨。

    类似于实数的相反数是 ，我们引入任意角的相反角的概念.

我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为

.

于是，像实数减法的“减去一个数对于加上这个数的相反数”一样，我们有.这样，角的减法可以转化为角的加法.

设计意图：通过概念学习 ，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力。

练习2：作图表示与

设计意图：让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性。

问题6：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内研究角，那么其顶点和始边的位置是如何规定的？对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置?又可以把角分为哪几类？

我们通常在坐标系内讨论角．为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角α的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角．

例如，上图中的30°角、-120°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.

师生活动：

1.学生认真分析可能性，回答问题，并尝试在草稿纸上画出各个象限角；

2.教师引导学生思考并回答问题，给出答案，再用多媒体展示事先画好的角，供同学们对照修改，并指出角的大小与终边落在第几象限没有直接联系。

追问：在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？

在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。

练习3：那么下列各角：－50°，405°， 210°， －200°， －450°，分别是第几象限的角？

师生活动：学生在草稿纸上自行画出角，观察体会角的终边的位置，下回答后面的相关问题。

追问：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?

  锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角。

追问：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？

      象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.

设计意图：通过思考，进一步理解象限角的概念，提高学生解决问题的能力。

问题7：在直角坐标系中作出下列各角： -32°，328°，-392°它们是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？

师生活动：学生在草稿纸上自行画出角，观察体会三个角的终边的位置，并在教师指导下回答后面的相关问题，感受终边相同的角；

我们发现，，这三个角都是第四象限角，它们的终边相同。也就是说，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角不唯一．

追问：还有没有与角终边相同的角？它们与角有什么关系？

有，且与角终边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍。

追问：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？

追问：将推广到一般角，连同角在内所构成的集合S可以怎样表示？

师生活动：教师总结和板书，终边相同的角的概念。

一般地，我们有： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

，

即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

设计意图：通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论。提高学生的观察、概括能力。

例1 在～范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角．

，所以在～范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角．

师生活动：学生思考，教师黑板上板书例题

设计意图：通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力。

例2 写出终边在y轴上的角的集合．

解：终边落在y轴非负半轴上的角构成集合

，

终边落在y轴非正半轴上的角构成集合

观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是

．

另外，我们还可以用这种方式求出：

思考：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？

师生活动：

1.学生独立，思考回答；2.教师下讲台指导个别同学回答问题；并多媒体展示。

例3 写出终边在直线上的角的集合．中满足不等式的元素有哪些？

解：

在～范围内，终边在直线上的角有两个：，．

因此，终边在直线上的角的集合

中适合不等式的元素有

，

，

，

，

，

(五)    课堂小结

你能根据今天所讲的内容做个小结吗？

1. 角的定义：一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2.角的分类：正角、零角、负角；

3.象限角：①终边落在第几象限就是第几象限角。②终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限．

4.终边相同的角的表示法：

设计意图：通过总结，让学生自行归纳总结本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

(六) 目标检测设计

1.课堂检测

1.  在0º～360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.

(1) -54º18′；(2) -395º8′；(3) -1190º30′.

2.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式-720°≤α＜360°的元素β写出来.

(1) 1303º18′；(2) -225º.

2. 课后作业：

1．(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(         )

       A.160°      B.480°       C.－960°       D.1 530°

2．下列各个角中与2 019°终边相同的是(　　)

A．－149°　　　 B．679°

C．319°   D．219°

【答案】D　

【解析】因为2 019°＝360°×5＋219°，所以与2 019°终边相同的角是219°.

3．与－30°终边相同的角可以表示为：____________．

4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．

【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}　

【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．

5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

(1)－120°；(2)640°.

【解析】　(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，

∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．

(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，

∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．

6.（拓展题）若是第二象限角，则是第几象限角？

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

(七) 教学反思：

《任意角》这一节是必修一第一节第一课时,根据课程标准,学生需要掌握的知识包括:任意角的概念,终边相同的角的表示,象限角的判断。《任意角》是对初中已经掌握的0°--360°角的推广,所以先复习初中学习过的角,并通过发现生活中一些不在0°--360°内的角作为例子引入本节课题,这点是比较成功之处。