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    【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.2.1 三角函数的概念(第1课时)(课时教学设计)
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念获奖第1课时教学设计

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念获奖第1课时教学设计,共4页。

    课题:5.2.1 三角函数的概念教学设计1课时

    (一)教学内容

    任意角的三角函数概念.

    (二)教学目标

    通过数学抽象,能够将匀速圆周运动归结到单位圆上的点的运动规律的刻画,借助单位圆上点的坐标定义三角函数,进而建立三角函数的概念, 体会数形结合思想方法的作用,发展直观想象、数学抽象等核心素养.

    (三)教学重点及难点

    1.教学重点:任意角的三角函数概念.

    2.教学难点:如何建立任意角的三角函数概念.

    (四)教学过程设计

    引导语现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象,圆周运动是这类现象的代表,如右图1所示,上的点为起点做逆时针旋转,在弧度制下,我们已经将角的范围扩展到全体实数,能否建立一个函数模型,刻画点的位置变化情况?

    师生活动:教师提出问题,学生独立思考后,在已有的研究函数的经验基础上能够给出研究路径:明确研究背景--对应关系的特点分析--下定义--性质.

    追问:要解决这个问题,我们需要什么工具?

    学生能够说出建立函数模型,需要利用直角坐标系,并先研究单位圆上点的运动,

    如图,以单位圆的圆心为坐标原点,以射线轴的非负半轴,建立直角坐标系,点的坐标是,点的坐标是. 把该问题抽象为一个质点从点开始在单位圆上的运动.

    问题1时,点P的坐标是什么?当时,点P的坐标又是什么?它们是唯一确定的吗?

    师生活动:教师提出问题后,学生进行讨论.利用勾股定理可以发现,当 =时,点的坐标是;当时,点的坐标分别是(0,1)和.它们都是唯一确定的.

    设计意图:先研究特殊角下坐标,再研究任意角下点坐标.体现由特殊到一般的思想.

    问题2一般地,任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗?

    师生活动:教师提出问题后,学生进行讨论.因为单位圆的半径不变,点的坐标只与角的大小有关,当角确定时,点的坐标是也唯一确定.

    追问1:用GGB动态展示角变化的过程,观察角的终边与单位圆的交点的坐标,有什么发现?能运用函数的语言刻画这种对应关系吗?

    师生活动:对任意一个实数,它的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是唯一确定的,有如下对应关系:

    任意角(弧度)→ 唯一实数

    任意角(弧度)→ 唯一实数. 

    一般地,任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标,无论是横坐标,还是纵坐标,都是唯一确定的.所以,点的横坐标、纵坐标都是角的函数.

    设计意图:以函数的对应关系为指向,从特殊到一般,使学生确认相应的对应关系满足函数的定义,角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数,为引出三角函数的定义做好铺垫.

    问题3:通过阅读教科书第177-178页,你能给出三角函数的定义吗?

    师生活动:教师给出图示,学生结合图中信息给出三个定义,设是一个任意角,它的终边与单位圆相交于点,那么把点的纵坐标叫做的正弦函数,记做,即

    把点的横坐标叫做的余弦函数,记做,即

    把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数,记做,即.

    可以看出,当 =)时,的终边在 轴上,这时点 的横坐标 x 等于0,所以= 无意义.除此之外,对于确定的角的值也是唯一确定的.所以,= (x≠0)也是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切函数.

    追问1:符号分别表示什么?在之前有过类似的引入特定符号表示一种量的经历吗?

    学生独立思考,能回忆并类比已有知识,(引入符号)理解三角函数符号的意义.

    追问2:任意角三角函数的定义域分别是什么呢?

    学生进行讨论.正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集,即,对于正切函数而言,要求点的横坐标,即角的终边不能位于轴上,那么正切函数的定义域为.

    设计意图:在问题的引导下,通过阅读教科书使学生对三角函数定义有更深刻的理解.

    问题4: 任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢?

    师生活动:教师提出问题后,学生进行讨论.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

    按照函数的定义与常用的符号,我们通常将它们记为

    正弦函数 y = sinx,x∈R;

    余弦函数 y = cosx,x∈R;

    正切函数 y = tanx,x≠

    将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

    追问1这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?

    师生活动:任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的,锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的,在单位圆中直角三角形斜边为1,所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义,此时终边上的点都在第一象限,因此锐角三角函数值都是正数,而任意角的三角函数值可以是负数.

    设计意图:引导学生将任意角三角函数纳入到函数中,丰富学生对三角函数的认知,另外,注意任意角为轴线角的特殊情况,让学生更全面地认识任意角的三角函数,体现数学的严谨性.

    问题5:的正弦、余弦和正切值.

    师生活动:先由学生说思路,再引导从学生回归三角函数定义总结求三角函数值的基本步骤,完成解答.                                                         

     解:在直角坐标系中,作,此时的终边与单位圆的交点的坐标为

    所以

    设计意图:通过概念的简单应用,明确用定义求三角函数值的基本步骤,进一步理解定义的内涵.

    问题6:如图,设是一个任意角,它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为.

    求证:

    师生活动:给出问题后,教师可以引导学生分析以下问题,再让学生给出证明思路.

    ①你能根据三角函数的定义作图表示吗?

    ②在你所作的图形中, 表示什么?你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗?

    解:设角的终边与单位圆交于点,分别过点轴的垂线,垂足分别为

       .

     所以得到,   .

     因为同号,所以,即.

    同理可证: .

    设计意图:通过问题引导,使学生找到,并利用它们的相似关系,根据三角函数的定义得到证明.

    (五)课堂小结 

    问题7:你怎样建立三角函数的概念?如何理解三角函数符号的意义?经历三角函数概念的学习过程你体会到了哪些数学思想?

     师生活动:学生回答,若不完整,再请其他的同学进行补充.

    设计意图:回顾本节课所学内容和学习过程,感悟本节课涉及的数学思想方法,交流分享关于本节课的收获.

    (六)目标检测设计

    1.求π的正弦、余弦和正切值.

     [解析] 在直角坐标系中作AOB=π,如图.

    AOB的终边OB与单位圆的交点B.

    坐标为

    sinπ=-,cosπ=-,tanπ=.

    2若角的终边经过点P(5,-12),则sin=________,cos=________,tan=________.

    解析:∵x=5,y=-12,r==13,

    则sin=-,cos,tan=-.

    设计意图:通过课堂达标练习,让学生及时巩固所学,让学生理解任意角的三角函数定义,培养数学抽象的核心素养.

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