人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品第2课时教学设计

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5.3.2 诱导公式的应用（第2课时）
（一）教学内容
诱导公式五、六（±α的正弦、余弦和正切）．
（二）教学目标
1、从三角函数的定义出发，借助单位圆的对称性，能推导±α的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养．
2、通过分析公式五、公式六之间的关系，以及公式一~公式六之间的联系，形成诱导公式的整体架构，能利用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明，发展数学运算的素养．
（三）教学重点及难点：
1、重点
诱导公式五、六的探究．
2、难点
终边关于对称的两个角之间的关系．
（四）教学过程设计
问题1：上一节课，我们研究了公式二~公式四，你能说说我们是如何得到这些公式的吗？
师生活动：学生发言回顾公式二~公式四的研究方法、研究路径，教师适时补充完善．
追问：两个角的终边除了关于原点、x轴和y轴对称外，你认为还有哪些对称关系值得研究？你打算怎样研究？
师生活动：上节课已经埋下伏笔，学生交流后确定值得研究的问题：两个角的终边关于对称时，这两个角的三角函数之间的关系，研究方法与前面类似．
设计意图：通过回顾公式二~公式四的研究内容、研究路径，为研究公式五、六做好思想方法的准备，通过追问，引导学生发现和提出值得研究的问题，培养发现和提出问题的能力．
问题2：你能类比公式二~公式四的研究过程，探究终边关于直线对称的两个角的三角函数的关系吗？
师生活动：学生类比公式二~公式四的研究过程画图独立思考尝试：
在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于直线的对称点P5
（1）以OP5为终边的角为与角α有什么关系？
（2）角与角α的三角函数值之间有什么关系？
这里作P1关于直线y=x的对称点P5，确定以OP5为终边的角时，学生可能只画一种情况（如图一），以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
追问1：提醒学生可以画终边在不同象限（或坐标轴上）的角（如图二），观察是否仍然成立？






图一 图二 图三
师生活动：这里可以采用验证的方法：先将与x轴非负半轴重合的射线绕原点旋转，旋转方向与角的方向相反，大小与相等，得到角的终边，再将逆时针旋转到，可以发现与OP1关于直线y=x对称．因此，与角终边关于直线y=x对称的角始终有的关系．
追问2：角的关系已经有了，那直角坐标系中关于直线y=x对称的两个点P1与P5的坐标之间有什么关系呢？
师生活动：学生分小组讨论，可以就图一先猜想点P1（x1，y1）与点P5（x5，y5）关于y=x对称，那么有
x5= y1，y5= x1．引导学生利用全等知识对图一进行证明：如图三，作P1关于y轴的垂线，P5关于x轴的垂线，由于P1与P5关于y=x对称，我们可以证明图中的两个三角形全等，因此对应边相等，将长度转化为坐标关系，就有x5= y1，y5= x1．对于终边的其他的不同位置，同学们课后可以去证明它们的坐标依然有这种等量关系.
追问3：最后角与角的三角函数值有什么关系？
师生活动：学生独立思考写出诱导公式五.
公式五：.
设计意图：此处与第一课时的公式二的研究方法相同，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度．将难点细化为问题串，引导学生逐个击破，经历推导公式的过程，培养学生转化与化归的思想，提升直观想象与逻辑推理素养．
问题3：作关于y轴的对称点，又能得到什么结论？
（1）以为终边的角与角有什么关系？
（2）角的终边与角的终边具有怎样的关系？
（3）与的坐标之间有什么关系？与P1的坐标之间又有什么关系呢？
（4）角与角的三角函数值之间又有什么关系？
师生活动：给出问题后，学生先类比问题2的解决方法独立思考，然后交流，教师适时补充完善．
（1）以为终边的角都是与角终边相同的角，即．只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
（2）轴对称角度：角的终边首先关于直线作对称，再关于y轴作对称，就得到的终边．
旋转角度：角的终边逆时针旋转角，就得到角的终边．
（3）通过观察易得：；．
（4），（公式六）．
追问：你能不能从代数变换角度，利用已有公式直接推出公式六？
师生活动：学生独立思考得出：
；

设计意图：基于公式五的背景增加新的研究条件，提出问题，有利于培养学生发现与提出问题的能力．这里的重点是利用前面的学习经验，通过适当的几何变换、坐标变换，得出角与角的关系，以及点与、P1的坐标之间的关系，让学生进一步熟悉研究的一般方法．
通过追问，引导学生用不同的方法推导公式，从不同的角度认识公式，建立公式之间更紧密的联系，提升对诱导公式整体性的认识，为灵活运用公式解决问题打下基础．提升直观想象、逻辑推理素养．
问题四：例1 证明：（1）； （2）.
师生活动：学生类比上一个问题的解决方法自行完成：
证明：（1）
（2）
追问1：观察题目，发现题目的特征，并总结解决此类问题的思想方法．
师生活动：学生思考、总结：题目中的所求角与诱导公式中的角有着特殊的关系，可以将所求角转化为公式中我们熟悉的角，进而利用诱导公式解决问题．
例2 化简

师生活动：学生选择合适的公式自行完成：
解：原式
．
追问2：总结解决此类问题的思想方法．
师生活动：学生思考、总结：与第一课时利用诱导公式化简的方法一致，选择合适的公式，按照“负化正，大化小，化到锐角为终了”的步骤进行化简．
例3 已知，且，求的值．
师生活动：学生自行完成可能有困难，教师给予适当的引导：
追问3：题目中已知为，所求为，它们中的两个角有关系吗？
师生活动：学生发现，由此可转化为，就可以使用诱导公式解决问题了．
解：因为，所以由诱导公式五，得

因为，
所以．
由，得．
所以，
所以．
追问4：总结解决此类问题的思想方法．
师生活动：学生思考、总结：此类问题的解题关键是：发现所求角与已知角之间的特殊关系，将所求角用已知角表示，进而运用诱导公式解决问题．
设计意图：三道例题，分别是证明、化简、求值．在三道例题的求解过程中，都要注意数学运算素养的培养．例1例2较为简单，重点放在恰当的选择公式上．例3的难点在于学生观察不到已知和所求中两个角的特殊关系，所以本例的重点是引导学生观察角之间的特殊关系上，意图渗透转化与化归的数学思想，最终形成解决一类问题的思维方法，渗透算法思想．
问题5：回忆本节课的学习内容，回答下面的问题：
（1） 探索诱导公式，我们经历了怎样的过程？用了哪些数学思想方法？
（2） 公式一~公式六有怎样的结构？一般可以按怎样的顺序运用这些公式？
（3） 诱导公式数量很多，你觉得用什么方法可以达到不仅有效记忆，而且能灵活运用的效果？
师生活动：学生思考后进行交流，教师教师在学生回答的基础上进行适当归纳．
（1） 诱导公式的探究过程可以归结为：
单位圆的对称性→角与角的关系→对称点的坐标间的关系→三角函数值之间的关系．
探究诱导公式的过程，使用了非常丰富的数学思想方法，如对称变换（包括中心对称，轴对称），坐标变换，数形结合的思想，转化与化归的思想，算法思想等．
（2） 从变换的观点出发，公式一~公式六的结构可以这样来看：公式一~公式四是同名三角函数之间的变换，公式五、公式六是正弦函数与余弦函数之间的变换．诱导公式的运用顺序：是以将角的范围变到为目的，具体顺序为“负化正，大化小，化到锐角为终了”．
（3） 公式的记忆建立在理解的基础上，要强调以单位圆为载体，数形结合地进行记忆．
设计意图：从诱导公式所研究的问题、过程、方法和公式的整体架构以及涉及到的数学思想等角度进行梳理，并注意从不同视角进行分析和总结，从而达成对公式的结构化认识．
目标检测设计
1、用诱导公式求下列三角函数值．（1）；（2）；（3）．
答案：（1）；
（2）；
（3）．
2、证明：
方法一：；
方法二：
3、求值：已知，且，求和的值．
解：因为，，
所以，
，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
．
设计意图：检测学生恰当选择公式进行三角函数化简、求值的掌握情况．
布置作业：
1．教科书P194练习2(1)(3)(4)，3；
2．教科书习题5.3第5，6，8，9，10题．