【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）（课时教学设计）

课题：5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）

一、教学内容：

正弦函数、余弦函数的性质

二、教学目标：

（一）、了解周期函数、周期、最小正周期的含义

达成上述目标的标志是：首先从观察正弦曲线入手，发现图象每隔２π个单位长度就会重复出现；再引导学生借助单位圆，从定义来说明，或从公式一入手进行分析，从函数解析式发现它的性质.在多角度的观察、描述与思考中，提升学生的直观想象和逻辑推理的素养.

（二）、掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．

达成上述目标的标志是：通过对正弦函数的图象的观察分析，对于表格认真填写后，可以领悟知识，注重数形结合思想的渗透，培养直观想象和归纳概括能力.

（三）、会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．

达成上述目标的标志是：通过例1 的分析，归纳方法.

三、教学重点及难点

（一）重点：y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．

（二）难点：应用正、余弦函数的性质来求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．

四、教学过程设计

问题1：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？

师生活动:学生根据以往的函数性质会答我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征.从前面图像的研究中，我们已经看到， 三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性.

问题2：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？

师生活动:首先，学生可以根据图象说岀正弦函数的周期２π，４π，６π….教师适当启发， 引导学生进一步说出－２π，－４π，－６π…，直至，，即正弦函数的周期有无穷多个.然后学生利用公式一从代数的角度解释猜想的正确性.最后，教师给出周期函数的定义，并让学生回答正弦函数是否为周期函数，若是，则指出其周期.

追问1： ，… 那么 是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？为什么？这种情况与说（）是正弦函数的周期有什么不同？（不是，比如，根据公式一可知，对于正弦函数定义域内的每一个自变量，当自变量的值每增加（）个单位时，函数值都重复岀现.）

追问2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？

师生活动:教师启发学生观察正弦函数图象获得的正数：.即为正弦函数的最小正周期.教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期.

设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期.

问题3：请你阅读课本，回答下列问题：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？

师生活动:周期性的知识梳理

    一般地，对于函数 ,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．

    周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都是它的周期．

    如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）．

    一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是，

图象特征是周而复始变化．

追问1：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？

师生活动：明确周期函数的定义，并让学生回答正弦、余弦函数是否为周期函数，如果是，分别指出它们的周期和最小正周期.对于追问,学生先独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结.

结论：根据上述定义，我们知正弦函数是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．

设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫.

追问2：例1你能求出下列三角函数的周期吗？

（1）y＝3sinx，x∈R；

（2）y＝cos 2x，x∈R；

（3） ，x∈R;

师生活动：依据定义解析

(1)因为3sin(x+2π)=3sinx，所以由周期函数的定义知，y=3sin x的最小正周期为2π.

(2)因为cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x，所以由周期函数的定义知，y=cos2x的最小正周期为π.

(3)因为，所以由周期函数的定义知，的最小正周期为4π.

设计意图：周期函数概念的认识.

追问3：观察上面的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

师生活动：深刻理解题中所给的函数及有关量，分析知识间的联系性.总结规律：求函数最小正周期的常用方法：

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.

(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．

设计意图：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．

问题4：对于一般的函数，我们通常要研究哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格.

师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流.注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析.

在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑.对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象.

追问1：如何理解点(π，0)也是正弦函数y＝sin x(x∈R)的对称中心？如何理解直线x＝ 是正弦函数y＝sin x(x∈R)的对称轴？

追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x(x∈R)的单调递增区间，它们与区间［- ， ］之间有怎样的关系？

师生活动：结合函数的图像，逐项完成，发现规律，总结知识点.

设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序；培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力.

问题5： 阅读课本5.4.2节“2.奇偶性” “3.单调性” “4.最大值与最小值”的内容，回答下列问题：

1.如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

2.分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？

师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题.

设计意图：引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性 质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性.

追问：例题分析

例2.判断下列函数的奇偶性:

(1)  f(x)=sin 2x；

(2)  f(x)=sin(+)；

(3)  f(x)=sin |x|；

(4)  f(x)=+.

例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值 ．

（1） ，∈R ；

（2） ，∈R．

例4.不通过求值，指出下列各式的大小：

(1) ，；

(2)  cos，cos．

例5.求函数，∈［ －２π ，２π］的单调递增区间.

师生活动：学生结合知识点进行分析和解决问题.

设计意图：强化巩固知识点.

五、课堂小结：

1.正、余弦函数性质的研究方法：借助图象特征；

2.正、余弦函数性质：周期性是最特别和最重要的，只要认识一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚了，借助表格完成知识点探究.

六、目标检测设计

课前

阅读课本201-205页，填写。

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是_______________.

2.值域

(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是_______________.

(2)最值

正弦函数y＝sin x(x∈R)

①当且仅当_______________时,取得最大值1

②当且仅当_______________时,取得最小值-1

余弦函数y＝cos x(x∈R)

①当且仅当_______________时,取得最大值1

②当且仅当_______________时,取得最小值-1

3.周期

定义：对于函数，如果存在一个_______________，使得x当取定义域内的每一个值时，都有_______________，那么函数就叫做周期函数，非零常数_______________叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个_______________，那么这个_______________就叫做的最小正周期.

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是.

4.奇偶性

y＝sin x(x∈R)为_______________，其图象_______________对称

y＝cos x(x∈R)为_______________，其图象_______________对称

5.对称性

正弦函数y＝sin x(x∈R)的对称中心是_______________，对称轴是直线_______________；

余弦函数y＝cos x(x∈R)的对称中心是_______________，对称轴是直线_______________.

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点).

6.单调性

正弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间_______________上都是减函数，其值从1减小到-1.

余弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数，其值从-1增加到1；余弦函数在每一个闭区间_______________上都是减函数，其值从1减小到-1.

设计意图：导学

课堂检测

1．若函数（）是上的偶函数，则的值是（    ）

A.0 B. C. D.

2．若函数（）的最小正周期为,则（    ）

A.5 B.10 C.15 D.20

3．已知，关于的下列结论中错误的是（    ）

A.的一个周期为 B.在单调递减

C.的一个零点为 D.的图象关于直线对称

4．求下列函数的单调递增区间．

（1）；         （2）．

5．比较下列各组数的大小．

（1）与；

（2）；

（3）与．

设计意图：结合知识点，夯实“四基四能”．

课后的作业习题5.4/2-6．

设计意图：知识．

七、教学反思  需要分三个课时完成