【小单元教案】高中数学人教A版(2019)选修第一册--1.1.1 空间向量及其线性运算（课时教学设计）

第1课时：空间向量及其线性运算

5.1教学内容

类比平面向量，建构空间向量及其运算的研究框架； 空间向量的概念，空间向量的线性运算及其运算律；空间向量共线、共面的充要条件；用空间向量线性运算解决几何中的平行、共面问题.

5.2教学目标

（1）类比平面向量及其应用，构建空间向量及其运算的研究框架.

（2）能类比平面向量，给出空间向量的概念，能解释相等向量、相反向量、共线向量的相互关系；能提过具体实例解释空间向量共线、共面的充要条件. 能通过具体实例说明空间向量共线、共面的充要条件，能解释其几何意义，会用于判断两个向量是否共线，会用空间向量共面定理判别三个向量是否共面.

（3）能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算；能借助平行六面体解释空间三个向量之和的几何意义；能类比平面向量，进行空间向量的数乘运算.

（4）能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并能进行证明；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素.

（5）会用空间向量的线性运算解决立体几何问题中的共面和平行问题.

5.3教学重点与教学难点

教学重点：本章内容整体框架的建构；空间向量及其相关概念；空间向量的线性运算及其运算律的验证；空间向量共线、共面的充要条件.

教学难点：空间向量加法结合律的证明；空间向量共面的充要条件.

 5.4教学过程设计

关键点：

引导语：通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题.在本章，我们就来研究这些问题.下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始.

任务一:空间向量的基本概念.

阅读教材第2页（5分钟）并完成问题1， 2，3.

问题1.类比平面向量及其相关的概念完成下表：

问题2：利用空间向量的有关概念解题，判断对错，并说明理由.

(1) 若向量a和向量b都是单位向量，则a=b. （     ）

  (2) 零向量和任何向量平行.  （     ）

  (3) 相反向量一定共线 .  （     ）

  (4) 共线向量一定相等.    （     ）

  (5) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量. （     ）

  (6) 零向量没有方向.（     ）

  (7) 平行于同一个向量的两个向量是平行向量.（      )

  (8) 若向量a和向量b不共线，则两个向量不平行.（     ）

变式训练1.给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；

③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝；

④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.

其中正确命题的序号是________．

问题3：如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，写出满足下列条件的所有的向量.

（1）写出与相等的向量.

（2）写出与相反的向量.

（3）写出与共线的向量.

 师生活动： 在一组判断习题中完成对空间向量及其相关概念的学习，尤其对共线向量和平行向量概念的理解，与学生探讨最后教师总结：其本质就是根据相等向量的定义得知向量的可移动性，也为后续的知识打好基础.

设计意图：学生通过阅读并独立思考，通过类比的手法给出空间向量的概念以及相关知识点 ，锻炼学生的猜想探究能力,结合平面向量的知识得出空间向量间的关系，并能掌握它们之间的差别与联系，同时也锻炼学生的概括理解能力；同时有意训练学生在特殊的几何体中去感受空间向量的关系，也为后续的共面向量定理做好准备.

任务二:空间向量的线性运算.

引导语：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.因此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加减法以及数乘运算.

核心知识点：空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

当λ>0时，λa与向量a方向相同；

当λ<0时，λa与向量a方向相反；

当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

②线性运算的运算律（其中λ，μ是实数）

a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.

b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

问题4：结合教材第3页的探究问题，你能证明加法的结合律吗？在证明时与平面向量的结合律有什么不同?

可以发现，.

其中包含问题:

(1)向量加减法有几种法则？它们的原则是什么？

(2)对于两个向量来说，空间向量与平面向量有何区别？

(3)空间任意两个向量的线性运算，平面向量的结论都适用吗？

总结：一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.

师生活动：教师先让学生思考，再师生一起归纳:对于问题（1）让学生去回答，通过回答的过程完成记忆的唤醒，对加法的三角形法则和平行四边形法则加深理解，同时减法的三角形法则要注意是“共起点，连终点，方向指向被减向量”；对于问题（2）平面向量在一个平面内可以平移，而空间向量在空间也可以平移，平移后的向量与原向量是同一向量，由此得出空间任意两个向量都可转化为共面向量；对于问题（3）答案是肯定的，在于学生一问一答的交流中得出结论：空间任意两个向量的线性运算，平面向量的结论都适用.

设计意图：通过具体问题，引导学生初步归纳空间向量的线性运算的运算律，并从宏观上构建研究空间向量的路径.

为巩固所学知识，安排一道例题和变式：

例1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　)

①(＋)＋；②(＋)＋；

③(＋)＋；④(＋)＋.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

变1.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A.－a＋b＋c    B.a＋b＋c  C.－a－b＋c  D.a－b＋c

教师根据以上问题的回顾教师提出追问1：对任意两个空间向量a与b，如果()，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时,？

设计意图：通过具体问题，引导学生初步归纳空间向量的共线向量定理.

任务三: 共线向量定理.

 (1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.

(2)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 同时我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

问题5： 如图，如果l为经过已知点A且平行于已知向量 a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足哪个等式？

答：在l上取=a，可得.

问题6：运用向量的加法还可以得出什么？

答：,,还可以得出.

师生活动：

共同研讨得出共线向量定理的推论：设O,A,B三点不共线，那么点P在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数t,使得.

设计意图：通过教师的引导学生逐步得出共线定理的推理，培养了学生的猜想探究能力.

任务四: 共面向量定理.

根据平面向量知识，回答下列问题：

问题6：当向量a，b不共线时，对于平面内任一向量p是否都能用向量a，b表示？怎样表示？

答：　是，存在唯一的有序实数对(x，y)，使向量p＝xa＋yb.　　

问题7：任意两个向量是共面的，若空间有三个向量，在什么条件下可以共面呢？

【提示】若三个向量中其中一个可以被另外两个线性表示，即向量p,a，b，存在有序数对（x，y）使得p=xa+yb时，这三个向量共面。

核心知识点：

(1)共面向量定义：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.

(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.

例2-1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．

例2-2.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋.判断，，三个向量是否共面？

例题总结：

1.证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义.

2.利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．

3.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面.

设计意图： 不论是点共线，还是向量共面问题都离不开空间向量的线性运算，要让学生清楚解决问题的关键是什么,通过与学生的分析与探究真正的理解共线向量定理与共面向量定理的含义，也为后面利用空间向量来解决简单的立体几何问题打好基础.

六、课堂检测与评价：

1.在四面体OABC中，＋－等于(　　)

A.　　　　B.     C.   D.

2.已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)则(　)

A．x＝1，y＝     B．x＝，y＝1     C．x＝1，y＝    D．x＝1，y＝

3.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，E、F、G分别是BC、CD、DB的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：

(1)＋＋；(2)＋＋.

4.已知为空间任意一点，若，则四点（    ）

A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断

5. O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.

设计意图：充分利用课本习题，体会新课程标准要求，增强“用教材”意识，强化新课程标准的导向作用.

七、教学反思：

本节课是人教A版选择性必修一第一章第一节第1课时的内容，我仔细阅读教材，特别是在突破从平面向量向空间向量推广时，从二维平面类比到三维空间的这个难点时，下了很大的功夫。由于暑假教材培训正是章建跃教授的单元设计教学设计给了我很大的启发，总结有以下几点反思：

1.教学实践中，对于已有知识基础的学习，应该让学生学会自主学习，让学生大胆的讨论交流，认真总结以提升对数学学习的兴趣；

2.合理利用教材、教师用书、做好引入与探究，尽量做到对知识的来龙去脉要讲清楚；

3.教师要从学情出发，从整体出发，因材施教，要将课堂还给学生，学会适当的放手，教师要起到引领的作用；

4.引导学生自我突破，真正地实现培养与发展学生的思维能力.