高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用获奖教案设计

空间向量的应用单元教学设计

一、内容和内容解析 

（一）内容

1.用向量语言描述空间图形的点、直线和平面

2.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直与平行关系.

3.用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.

4.用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

（二）内容解析

内容本质：用空间向量研究立体几何问题的本质，就是利用空间向量的这座桥梁将空间位置关系与向量的代数表示建立联系，再通过向量的代数运算解决简单的立体几何问题.

蕴含的思想与方法：空间向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，点、直线、平面的向量表示蕴含着抽象与直观的联系，更具体一点为几何与代数之间的联系，所以蕴含着数形结合思想、一一对应思想、数学“元”思想；用空间向量解决几何问题中，用向量运算的特征解决几何问题的步骤化，精细化，又蕴含着算法思想.

知识点上下位关系：

本单元的学习有两个基础准备，首先，空间向量的概念、表示、运算，其次，立体几何中的空间基本元素及位置关系，以上两点作为本单元研究立体几何问题的知识准备；用向量方法研究立体几何问题后，可以将空间位置关系与度量变为算法，使问题解决变得清晰、便捷，还可以通过计算机执行算法.

育人价值：本单元通过在向量平台上研究几何关系中，首先，几何基本元素经过表示后，把不能运算的几何元素可以变为向量间可以运算的数学对象；其次运算的介入，利用向量的运算律、运算法则把最初的过程转变为精细化的步骤，即为算法，用算法（三步曲）解决简单的立体几何问题，或者其他相关问题，体会算法思想的重要性、普适性，发展学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.

基于以上分析，

确定本单元重点：空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

二、目标和目标分析

（一）单元目标

1.能用向量语言描述空间中点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量；

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系；

3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理；

4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

（二）目标解析

达成上述目标的标志是：

1.    通过几何体中基本元素的理解，学生能够在空间选取一个基点，可以设为点,则向量可以表示空间任意一点；利用向量共线定理可以由直线上任意一点及直线的方向向量唯一表示空间任意直线；利用向量的平面基本定理可以由空间一点及两个不共线向量表示空间中任意平面；

2.通过典型例题，能够利用向量的数量积公式表示直线与直线的夹角；用直线的方向向量、平面的法向量、向量的数量积表示直线与平面所成的角；用两个平面的法向量及向量的数量积表示平面与平面的夹角；用向量表示空间直线、平面之间的垂直与平行关系；

3.通过典型例题，能够利用直线的方向向量、平面的法向量的运算结果翻译成证明直线、平面位置关系的判定定理；

4.通过典型例题的学习，学生能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式；能够把平行的直线间的距离、直线到平面的距离(直线与平面平行)、平行的平面间的距离公式，转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得该距离，体会向量解决空间几何体有关距离问题优势.

能归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用此公式来解决有关空间几何体的夹角问题，体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势.能归纳出用空间向量解决立体几何问题的基本程序与步骤，即“三步曲”，并熟练运用“三步曲”解决立体几何中的问题;通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用，能举例说明“基”的思想分析和解决问题.

三、单元教学问题诊断分析

1.学生在平面几何中已经对度量问题进行过完整的学习，在“立体几何初步”中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性.

破解方法：在教学中，做好立体几何和向量知识相关知识的复习，加强学生把基本图形中的元素与向量联系起来并对其做出表示的训练；准确把握问题的条件极其相互的关系，适量进行选择合适“基”的训练，学生经历必要的解题训练，形成对“合适的基底”的敏感和直观等；增强常用基本立体图形的几何要素极其相互关系的熟练程度.

2.如何选择恰当的基底去解决位置关系的判断、证明、距离及角度的计算;对向量方法体会还不够深刻，对向量方法的基本程序和步骤也还没有达到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，对如何将立体几何问题转化为向量问题缺乏经验和体会；对向量方法解决立体几何问题所蕴含的基本思想领悟不深，积累的活动经验较少，以至于许多学生还不习惯用向量.

破解方法：适量练习常用空间几何体的单位正交基底的确定方法；复习好空间向量及其运算、空间向量基本定理等知识，在运用向量解决问题时，教师可以重视向量法的基本程序和步骤，增强经验和体悟，体会向量作为运算工具作用.

基于以上分析.

确定本单元的教学难点为:选择合适的基底；整体理解空间距离公式和角度公式，用向量方法解决立体几何的综合问题.

四、教学支持条件分析

1.学生在已有了立体几何的基本事实、基础理论为基础，有了研究平面向量的一般套路和思想方法，也积累了一些学习立体几何与向量的活动经验，有了用向量解决简单几何问题的思维基础，为本单元的学习做了铺垫.

2.利用动态几何软件做空间图形，呈现几何图形中的几何元素及其关系，帮助学生形成对相应的直线、平面关系的直观认识，利用信息技术展示向量投影的过程，帮助学生构造相关的几何量，借助投影平台展示学生作品.

五、课时分配设计

本单元共5课时，具体分配如下：

第1课时，空间中点、直线和平面的向量表示；

第2课时，用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系问题；

第3课时， 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的距离问题

第4课时， 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的夹角问题

第5课时，用向量方法解决综合问题.

六、课时教学设计