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【小单元教案】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.4.1 圆的标准方程（课时教学设计）
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这是一份【小单元教案】高中数学人教A版(2019)选修第一册--2.4.1 圆的标准方程（课时教学设计），共7页。
第1课时 圆的标准方程课时教学设计
（一）教学内容
1.建立圆的标准方程；
2.运用坐标法判断点与圆的位置关系；
3.利用待定系数法及结合图形几何性质确定圆的标准方程.
（二）教学目标
1.通过掌握圆的标准方程及其推导过程,发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养.
2.通过掌握点与圆的位置关系的判定方法，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解.
3.通过求圆的标准方程并应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养.
（三）教学重点及难点
1.教学重点：圆的标准方程及其推导过程；
2.教学难点：确定圆的标准方程.
（四）教学过程设计
问题1：在直线与方程的学习中，我们运用的研究方法是什么？
在直线与方程的学习中，我们运用的研究方法是坐标法.
追问1：建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决了哪些问题？解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.
追问2：多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.那么类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程呢？
类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
追问3：类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程呢？
师生活动:教师层层设问，学生积极思考回答问题.
设计意图：通过类比直线方程的建立，以及研究方法与研究思路，使学生明确本单元教学内容，对所学知识有整体性与连贯性.
问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
追问1：在初中，圆的定义是什么？
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
追问2：确定圆需要几个要素？
在平面直角坐标系中，需要圆心坐标和半径.
师生活动:教师层层设问，学生积极思考回答问题.
设计意图：通过回顾圆的定义，使学生明确确定圆的两个基本要素，对在平面直角坐标系中建立圆的标准方程做了铺垫.
问题3：设圆心A的坐标是（a,b），半径为r，如何建立圆的方程？
追问1：设M（x,y）为圆上任意一点，M满足的条件是什么？
⊙A就是以下点的集合P={M||MA|=r}.根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y）满足的条件可以表示为x−a2+y−b2=r，两边平方，得：x−a2+y−b2=r2.
追问2：方程x−a2+y−b2=r2一定表示圆的方程吗？我们从哪个角度分析？
若点M（x,y）在⊙A上，点M的坐标就满足方程；反过来，若点M的坐标（x,y）满足方程，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在⊙A上.
这时，我们就把方程称为圆心为A（a,b），半径为r的圆的标准方程.
师生活动：学生以小组交流，讨论，师生共同研究，学生讲解，教师点拨.
设计意图：通过设点M的坐标，利用两点间距离公式，写出M的坐标（x,y）满足的方程，进而写出圆的标准方程，培养学生的数学建模和数学运算的核心素养.
问题4：与直线方程相比，圆的标准方程有什么特点？你能写出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程是什么？
圆心在原点，半径为r的圆的标准方程x2+y2=r2.
师生活动：学生以小组回答.
设计意图：通过与直线方程的对比，使学生对于圆的标准方程形式更加明确，对于后续使用待定系数法确定圆的标准方程做好铺垫.
例1.求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2（-2，-1）是否在这个圆上.
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是x−22+y+32=25.把点M1(5，-7)的坐标代入方程x−22+y+32=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右两边相等，点M1坐标满足圆的方程，所以点M1这个圆上.把点M2(-2-1)的坐标代人方程x−22+y+32=25的左边，得(一2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上.
探究：点M0x0,y0在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？
如果点M。（x。，y。）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即x2+y2>r2；如果点M。（x。，y。）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即x2+y2
点M。（x。，y。）在圆上⇒x0−a2+y0−b2=r2；
点M。（x。，y。）在圆内⇒x0−a2+y0−b2
设计意图：通过从坐标法的角度来思考，使学生从数量关系来回答问题.利用GGB软件验证几何直观.
例2.△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3) C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程。
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三 角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一条直线上.只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.
解:设所求的方程是x−a2+y−b2=r2.①.
因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是5−a+21−b2=r27−a2+−3−b2=r22−a2+−8−b2=r2
即a2+b2−10a−2b+26=r2a2+b2−14a+6b+58=r2a2+b2−4a+16b+68=r2
解得a=2b=−3.所以△ABC的外接圆的标准方程是x−22+y+32=25.
师生活动：学生独立作答，教师板书.
设计意图：通过待定系数法确定圆的标准方程，能独立解决三元二次方程的解答，培养学生数学运算的核心素养.
思考：还可以如何解答呢？
师生活动：学生思考讨论，交流，探讨利用几何关系解决问题.
设计意图：通过两种方法的对比，使学生体会数形结合和待定系数法的内涵.
例3.已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，2)点，且圆心在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程。
分析:设圆心C的坐标为(a，b)，由已知条件可知，|CA|=|CB|，且a-b+1=0.由此可求出圆心坐标和半径.另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法。
解法1:设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线l:x-y+1=0上，所以a-b+1=0.①
因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|.根据两点间距离公式，有
a−12+b−12=a−22+b+22,即a-3b-3=0.②
由①②可得a=-3，6=-2.所以圆心C的坐标是(-3，-2).圆的半径r=|AC|=5.
所以，所求圆的标准方程是(x+3)²+(y+2)²=25.
解法 2:设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，-2)，可得点D的坐标为32,−12，直线AB的斜率为kAB=−2−12−1=−3.因此，线段AB 的垂直平分线的方程是x-3y-3=0.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组x−3y−3=0x−y+1=0的解.
解得x=−3y=−2，所以圆心C的坐标是（-3，-2）. 圆的半径r=|AC|=5.所以，所求圆的标准方程是(x+3)²+(y+2)²=25.
（五）目标检测设计
1.两个点M(2，－4)，N(－2,1)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系是( )
A．点M在圆C外，点N在圆C外
B．点M在圆C内，点N在圆C内
C．点M在圆C外，点N在圆C内
D．点M在圆C内，点N在圆C外
2．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
3.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 ________________.
4.已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
5.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
答案：
1.D
将点的坐标代入方程左边得22＋(－4)2－2×2＋4×(－4)－4＝－4＜0，∴M点在圆内，(－2)2＋12－2×(－2)＋4×1－4＝9＞0，∴N点在圆外．故选D.
2.(x－2)2＋(y－4)2＝20
由可得，即圆心为(2,4)，从而r＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
3. (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
4. 因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，所以圆的半径r＝5，所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝2<5，所以P1(－1,0)在圆内；
因为|P2C|＝5，所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝6>5，所以P3(3，－4)在圆外.
5. 方法一(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二(几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得即圆心坐标为(4，－3)，半径为r＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
师生活动：教师等待学生独立作答，学生完成目标检测.
设计意图：考察学生对今日所学知识的掌握的掌握情况.采用抢答器让学生积分，促进学生竞争意识.
问题5：通过本节课，你学到了哪些知识？
师生活动：教师引导学生积极思考，学生画出思维导图.
设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法。
作业布置：
1.必做：课本Ｐ85: 1，2，3，4
2.选作：若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，试求过P点的圆的切线方程。
3.预习课本Ｐ85～Ｐ88
设计意图：对不同学生有不同的要求，让学生在不同水平提高核心素养。
第1课时 圆的标准方程课时教学设计
（一）教学内容
1.建立圆的标准方程；
2.运用坐标法判断点与圆的位置关系；
3.利用待定系数法及结合图形几何性质确定圆的标准方程.
（二）教学目标
1.通过掌握圆的标准方程及其推导过程,发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养.
2.通过掌握点与圆的位置关系的判定方法，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解.
3.通过求圆的标准方程并应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养.
（三）教学重点及难点
1.教学重点：圆的标准方程及其推导过程；
2.教学难点：确定圆的标准方程.
（四）教学过程设计
问题1：在直线与方程的学习中，我们运用的研究方法是什么？
在直线与方程的学习中，我们运用的研究方法是坐标法.
追问1：建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决了哪些问题？解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.
追问2：多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.那么类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程呢？
类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
追问3：类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程呢？
师生活动:教师层层设问，学生积极思考回答问题.
设计意图：通过类比直线方程的建立，以及研究方法与研究思路，使学生明确本单元教学内容，对所学知识有整体性与连贯性.
问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
追问1：在初中，圆的定义是什么？
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
追问2：确定圆需要几个要素？
在平面直角坐标系中，需要圆心坐标和半径.
师生活动:教师层层设问，学生积极思考回答问题.
设计意图：通过回顾圆的定义，使学生明确确定圆的两个基本要素，对在平面直角坐标系中建立圆的标准方程做了铺垫.
问题3：设圆心A的坐标是（a,b），半径为r，如何建立圆的方程？
追问1：设M（x,y）为圆上任意一点，M满足的条件是什么？
⊙A就是以下点的集合P={M||MA|=r}.根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y）满足的条件可以表示为x−a2+y−b2=r，两边平方，得：x−a2+y−b2=r2.
追问2：方程x−a2+y−b2=r2一定表示圆的方程吗？我们从哪个角度分析？
若点M（x,y）在⊙A上，点M的坐标就满足方程；反过来，若点M的坐标（x,y）满足方程，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在⊙A上.
这时，我们就把方程称为圆心为A（a,b），半径为r的圆的标准方程.
师生活动：学生以小组交流，讨论，师生共同研究，学生讲解，教师点拨.
设计意图：通过设点M的坐标，利用两点间距离公式，写出M的坐标（x,y）满足的方程，进而写出圆的标准方程，培养学生的数学建模和数学运算的核心素养.
问题4：与直线方程相比，圆的标准方程有什么特点？你能写出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程是什么？
圆心在原点，半径为r的圆的标准方程x2+y2=r2.
师生活动：学生以小组回答.
设计意图：通过与直线方程的对比，使学生对于圆的标准方程形式更加明确，对于后续使用待定系数法确定圆的标准方程做好铺垫.
例1.求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-7），M2（-2，-1）是否在这个圆上.
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.
解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是x−22+y+32=25.把点M1(5，-7)的坐标代入方程x−22+y+32=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右两边相等，点M1坐标满足圆的方程，所以点M1这个圆上.把点M2(-2-1)的坐标代人方程x−22+y+32=25的左边，得(一2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上.
探究：点M0x0,y0在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？
如果点M。（x。，y。）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即x2+y2>r2；如果点M。（x。，y。）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即x2+y2
点M。（x。，y。）在圆上⇒x0−a2+y0−b2=r2；
点M。（x。，y。）在圆内⇒x0−a2+y0−b2
设计意图：通过从坐标法的角度来思考，使学生从数量关系来回答问题.利用GGB软件验证几何直观.
例2.△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3) C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程。
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三 角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一条直线上.只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.
解:设所求的方程是x−a2+y−b2=r2.①.
因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是5−a+21−b2=r27−a2+−3−b2=r22−a2+−8−b2=r2
即a2+b2−10a−2b+26=r2a2+b2−14a+6b+58=r2a2+b2−4a+16b+68=r2
解得a=2b=−3.所以△ABC的外接圆的标准方程是x−22+y+32=25.
师生活动：学生独立作答，教师板书.
设计意图：通过待定系数法确定圆的标准方程，能独立解决三元二次方程的解答，培养学生数学运算的核心素养.
思考：还可以如何解答呢？
师生活动：学生思考讨论，交流，探讨利用几何关系解决问题.
设计意图：通过两种方法的对比，使学生体会数形结合和待定系数法的内涵.
例3.已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，2)点，且圆心在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程。
分析:设圆心C的坐标为(a，b)，由已知条件可知，|CA|=|CB|，且a-b+1=0.由此可求出圆心坐标和半径.另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法。
解法1:设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线l:x-y+1=0上，所以a-b+1=0.①
因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|.根据两点间距离公式，有
a−12+b−12=a−22+b+22,即a-3b-3=0.②
由①②可得a=-3，6=-2.所以圆心C的坐标是(-3，-2).圆的半径r=|AC|=5.
所以，所求圆的标准方程是(x+3)²+(y+2)²=25.
解法 2:设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，-2)，可得点D的坐标为32,−12，直线AB的斜率为kAB=−2−12−1=−3.因此，线段AB 的垂直平分线的方程是x-3y-3=0.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组x−3y−3=0x−y+1=0的解.
解得x=−3y=−2，所以圆心C的坐标是（-3，-2）. 圆的半径r=|AC|=5.所以，所求圆的标准方程是(x+3)²+(y+2)²=25.
（五）目标检测设计
1.两个点M(2，－4)，N(－2,1)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系是( )
A．点M在圆C外，点N在圆C外
B．点M在圆C内，点N在圆C内
C．点M在圆C外，点N在圆C内
D．点M在圆C内，点N在圆C外
2．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
3.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 ________________.
4.已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
5.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
答案：
1.D
将点的坐标代入方程左边得22＋(－4)2－2×2＋4×(－4)－4＝－4＜0，∴M点在圆内，(－2)2＋12－2×(－2)＋4×1－4＝9＞0，∴N点在圆外．故选D.
2.(x－2)2＋(y－4)2＝20
由可得，即圆心为(2,4)，从而r＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
3. (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
4. 因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，所以圆的半径r＝5，所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝2<5，所以P1(－1,0)在圆内；
因为|P2C|＝5，所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝6>5，所以P3(3，－4)在圆外.
5. 方法一(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二(几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得即圆心坐标为(4，－3)，半径为r＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
师生活动：教师等待学生独立作答，学生完成目标检测.
设计意图：考察学生对今日所学知识的掌握的掌握情况.采用抢答器让学生积分，促进学生竞争意识.
问题5：通过本节课，你学到了哪些知识？
师生活动：教师引导学生积极思考，学生画出思维导图.
设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法。
作业布置：
1.必做：课本Ｐ85: 1，2，3，4
2.选作：若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，试求过P点的圆的切线方程。
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