数学第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆公开课教案设计

3.1椭圆（单元教学设计）

一  内容和及其解析

（一）内容

椭圆的概念、椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质

本单元内容结构图如下：

（二）内容解析

1.内容本质：  

椭圆是圆锥曲线（几何图形）最基础的、最重要的研究对象。               

椭圆的概念与性质是圆锥曲线的代表性内容，双曲线、抛物线的内容与它同构。本单元本主要是通过建立椭圆方程的标准方程，研究椭圆的几何性质，并运用几何性质解决简单的实际问题。

2.蕴含的思想方法：本单元最重要、最根本的数学思想方法是坐标法.另外，在解决问题的过程中，数形结合、 类比、特殊化与一般化、转化与化归等也发挥着重要作用.

3.知识的上下位关系：从本章知识的内部结构看，椭圆这个知识单元的学习在全章的学习中具有基础地位.椭圆是高中阶段学习的第一种全新曲线，可以为学生利用直线的方程、圆的方程中积累的经验进行探索性学习，独立发现和提出数学问题，自主归纳和概括数学结论，并学会有效地用于解决数学内外的问题等提供理想载体.椭圆的学习进一步对“曲线与方程”关系的理解提高认识度，深刻理解形与数的结合。

4.育人价值：本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解决问题，有助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养.

5.教学重点：用椭圆方程研究椭圆的几何性质.

二、 单元目标及其解析

（一）单元目标 

1.了解圆锥曲线的实际背景，例如，行星运行轨迹、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.

3.了解椭圆的简单应用.

（二）目标解析

达成目标的标志

1.能通过观察用平面截圆锥可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线,能通过实例知道，圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用.

2. 能通过实验绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义.能通过（建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程）求曲线“三步曲”得到椭圆的标准方程.能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，用椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质.能用椭圆的定义、标准方程及简单几何性质解决简单的问题.能通过椭圆与方程的学习，体会建立曲线的方程、用曲线的方程研究曲线的性质的方法，发展数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理素养.

3. 能类比直线与圆的位置关系的研究路径，研究直线与椭圆的位置关系，知道直线与椭圆的公共点的个数与直线的方程与椭圆的标准方程组成的方程组的解的个数的关系，进一步体会用方程研究曲线的方法，体会坐标法的重要作用.

三 、教学问题诊断分析   

学生对坐标法已有初步的认识，通过直线和圆的方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已有了解，但还不善于主动运用坐标法，研究椭圆的代数方法一般套路可以遵循：背景--概念--方程--性质--应用，每个环节有一定的程序性。学生 需要掌握大观念的研究套路，但在学习中可能会遇到如下困难.

1.    如何抽象出椭圆的几何特征.

破解方法：在画椭圆的过程中，借助课本实验，将笔尖将细绳分为两段，它们都不是定长，但它们的总长是这根细绳的长（定长），进而抽象出动点满足的几何条件是动点到两定点的距离之和为定长；或者借助于几何画板实验演示，学生观察数据的变化和图形的形成过程，抽象出椭圆的几何特征。

2.    怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单.

破解方法：“适当”的方法是尽可能使曲线关于原点和坐标轴对称.观察椭圆知道，它具有对称性，并且过两定点的直线就是它的对称轴，在此基础上建立“适当的直角坐标系”，教学中应明确“适当”的“标准”是所得方程简单，能较好地反映曲线的性质.

3.    椭圆方程的化简.

破解方法：化简这个方程需要两次两边平方，并且涉及的字母多，对学生的运算能力要求较高.对此，应强化思维的“预测功能”.如果两边直接平方，后续的运算会怎样；如果先移项后两边平方，后续的运算又会怎样.具体分析后实施操作.学生在对代数式的变形过程，可以发现方程的结构特点，同时会发现多个椭圆定义方式。椭圆方程中b的引入，结合图形分析a、c与的线段，引导学生思考a、c与的几何意义，理解引入b 的合理性。

4.    如何研究椭圆的几何性质.

破解方法：学生通过方程研究曲线自身的几何性质还是第一次.学生在研究什么、如何研究这两个问题上仍然有困难.对此，应通过直观感知，提出研究问题、猜想初步结论，然后再通过方程验证猜想；应让学生充分感受如何基于方程、基于逻辑推理得出曲线的性质，感受方程的代数特征与曲线的几何特征的内在一致性.

5.如何用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度.

破解方法：教学中让学生认识与都能刻画椭圆的扁平程度；通过分析a, b, c的几何意义及产生顺序，借助技术支持展示c的变化与b的变化更直观引起图形的变化顺序，再从代数式的理解，确定选用，揭示椭圆概念中“元”思想的本质.

“边空”中提到：你能用三角函数的知识解释e的变化引起扁平程度的变化？引导学生多角度分析问题。提示:如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0<e<1,e越大,∠BF2O越小,椭圆越扁;e越小,∠BF2O越大,椭圆越接近于圆.

教学难点：引入椭圆概念时，探究移动的笔尖（动点）满足的几何条件抽象椭圆概念;如何建立椭圆方程；如何利用椭圆的几何特征合理建立坐标系;利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。

四、 教学支持条件

在本单元的教学中，应充分发挥信息技术的作用，在刻画椭圆点包括几何画板演示或实物展示用平面截圆锥得到圆锥曲线的过程，几何画板或网络画板的技术演示椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的刻画等.

五、     教学课时分配 

本单元建议教学用时为4课时

第1课时   椭圆及其标准方程（1）；

第2课时   椭圆及其标准方程（2）；

第3课时   椭圆的简单几何性质；

第4课时   椭圆方程的简单应用.

六、     课时教学过程设计