高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品教案，共11页。教案主要包含了师生活动，设计意图，做一做1，做一做2，做一做3，类题通法，巩固练习1，巩固练习2等内容，欢迎下载使用。

3.3.23.2.2 双曲线的简单几何性质
(第二课时)教学设计
（一）教学内容：
通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
（二）教学目标
1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．
2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
（三）教学重点和难点
重点：运用双曲线的方程获得几何性质
难点：双曲线的渐近线及离心率的意义
（四）教学过程设计
引入： 观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？


【师生活动】 观察图，我们发现，不同双曲线的开阔程度不同，你能用适当的量定量刻画双曲线的开阔程度吗？
【设计意图】让学生通过观察生活中的实例，以建立新知识之间的联系。
（二）双曲线的简单几何性质
知识点一 双曲线的几何性质
问题1．类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？

【设计意图】引导学生从范围、对称性、顶点、离心率、渐近线理解双曲线性质。
追问2，只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？
学生回答：不能．因为不能根据渐近线方程的斜率确定焦点位置，而渐近线方程中斜率只是比值．
追问3，椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？学生回答：双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大．

◆双曲线的几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：x轴、y轴_　对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b

焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率
e＝且e＞1
渐近线
y＝±x　　
y＝±x

【点睛】
1．渐近线是标志双曲线位置的一个量，它确定着双曲线张口的大小．随着x越来越大或x越来越小，双曲线与渐近线的距离越来越小，趋近于0，但是永远不会相交．
2．双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．

问题2 如图所示，已知定点B(a,−ℎ)，BC⊥x于点C, M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E, OE与MD相交于点P, 求点P的轨迹方程.
【师生活动】
【做一做1】(教材P124例3改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 　　 B．2　　　
C．4　　　 D．4
解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.
答案：C
【做一做2】双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：由题意知－＝1，y＝±x.
答案：A
【做一做3】若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
解析：由题知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48.
答案：48

【设计意图】通过问题设计，加强学生对双曲线性质的理解
知识点二 等轴双曲线
问题2．实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？
学生回答：　实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是y＝±x，离心率是 .
◆等轴双曲线
　(1) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为_x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝.

（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
例1.(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[分析]　(1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b.
(2)法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．
法二：待定系数法求解．
[解析]　(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，
所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：
－＝1(a>0，b>0)，则＝.　　①
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1. ②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，则＝.　　 ③
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.　④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
[答案]　(1)D　(2)－＝1
【类题通法】1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．
(4)与双曲线－＝1共焦点的方程可设为－＝1 (λ≠0，－b2<λ 【巩固练习1】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等．
[解析] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
2.双曲线的离心率与渐近线
例2.　(1)已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为________；
(2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
[分析]　要求双曲线的离心率需找出a与c的关系．
第(1)题主要是利用双曲线的定义，寻求a、c的关系．
第(2)题要利用余弦定理．
[解析]　(1)∵a＞，∴＜1，
∴y＝x的倾斜角小于45°，
∴＝tan＝，
∴a＝，c＝ ＝2，
∴e＝＝＝.(如图所示)

(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2(4a)(2c)cos 30°，
整理得(e－)2＝0，所以e＝.
[答案]　(1)　(2)
【类题通法】求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可直接利用e＝ 得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
【巩固练习2】(1) (2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A. B．2
C. D．2
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为________．
[解析] (1)∵e2＝＝＝1＋＝2，∴＝1，∴＝1，∴渐近线方程为x±y＝0，则点(4,0)到渐近线的距离d＝＝2.
(2)当焦点在x轴上时，＝，即＝，所以e2＝，解得e＝；
当焦点在y轴上时，＝，即＝，所以e2＝，解得e＝，即双曲线的离心率为或.
[答案](1)D　(2)或
3.直线与双曲线的位置关系
例3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且过点P(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
[解析]　 (1)由e＝，可得＝所以a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1.
将点P(，1)代入双曲线C的方程，可解得b2＝1.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立直线与双曲线方程⇒(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由题意得
解得－1＜k＜1且k≠±，
所以k的取值范围为∪∪.
【变式探究】将本题(2)中改为直线l1与双曲线C有且只有一个公共点，k的取值范围又如何？
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
当1－3k2＝0，即k＝±时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，
由Δ＝0，即36－36k2＝0，所以k＝±1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点．
所以当k＝±或k＝±1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点．
例4. 经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点．
(1)求直线l的方程；
(2)求线段AB的长．
[分析]　可用点差法求l的斜率，再用弦长公式求|AB|.
[解析]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1，
两式相减得x－x－(－)＝0，(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵M为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，
∴4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，kl＝＝4，
经检验k＝4符合题意．
∴l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6.
(2)将y＝4x－6代入到x2－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝，
∴|AB|＝＝.
【类题通法】1.直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
2.求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|.
【巩固练习3】已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
[解析] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.
∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－.
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，
∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴两式相减，得＝y－y，∴＝.
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
∴kMN＝＝＝－.
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.


（五）目标检测设计
1.双曲线－＝1的渐进线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
2.已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2 B.
C. D．1
3.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
4.已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l，与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案：1.D 2.D 3.C 4. B
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：

2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？




（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？




【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
（七）课后作业：
完成教材：第124页 练习 第1，2，3,4题
第126页 练习 第1，2，3题
第127页 习题3.2 第3,4,8,9,13题
（八）教学反思：
教学中主要突出了几个方面：一是突出运用双曲线的定义、方程和几何性质解决综合问题主线任务。二是典例解析，通过对典型问题的分析解决，帮助学生提高解决综合问题思维能力和运算能力。教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律尤其是与椭圆及其性质的对比，从而触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间，做题中做到依靠双曲线性质解题，使数学教学成为数学思维活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。