数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线获奖教案及反思

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线获奖教案及反思，共7页。教案主要包含了师生活动，设计意图，归纳总结等内容，欢迎下载使用。

3.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时)教学设计
（一）教学内容：
抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质，抛物线几何性质的应用.
（二）教学目标
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率的简单几何性质；
2.根据抛物线的几何性质,利用数形结合思想，会求解抛物线的标准方程；
3.通过抛物线几何性质的应用提升学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养
（三）教学重点和难点
重点：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质；
难点：抛物线几何性质的应用
（四） 教学过程设计
1、复习引入
问题1： (1)抛物线的定义是什么？抛物线的标准方程是什么？
焦点位置
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
焦点在x正半轴上

y2＝2px(p>0)
(p2,0)
x=−p2
焦点在x负半轴上

y2=-2px(p>0)
(−p2,0)
x=p2
焦点在y正半轴上

x2＝2py(p>0)
(0,p2,)
y=−p2
焦点在y负半轴上

x2=-2py(p>0)
0,−p2,)
y=p2
【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
问题2：上一节我们学习了抛物线的标准方程，对于这个新的曲线，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？
【师生活动】学生独立思考．
教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“椭圆与双曲线”；然后指引学生回顾椭圆、双曲线研究了哪些内容，如椭圆、双曲线中研究了范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；最后确定本节课抛物线简单几何性质的研究问题：范围、对称性、顶点、离心率．
【设计意图】引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比椭圆与双曲线，提出要研究的问题．
问题3：阅读教科书第134页“思考”，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？
【师生活动】学生独立观察，充分思考．
根据学生思考的结果，教师可以适时地选择以下问题进行追问．
追问：（1）你认为研究抛物线的哪些简单几何性质？（从椭圆、双曲线的简单几何性质入手）.
（2）你从哪个角度来分析抛物线的简单几何性质. （直观感知图形的性质，再用方程进行论证，将方程具体结合到几何进行论证）.
【师生活动】教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，得到抛物线的简单几何性质的内容．
【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到证明的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学直观想象、逻辑推理的时机．
2、合作学习 探究新知　
探究：类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法， y2=2px(p>0)你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？
【师生活动】要求学生自学，再在小组讨论，小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导。
范围

对称性

顶点

离心率

【设计意图】依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 把问题放手给学生，学生自主探究，深入思考， 感知数学，培养学生独立学习习惯。 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评。
追问：我们知道了抛物线 y2=2px(p>0)的几何性质，如果抛物线的标准方程是y2=−2px(p>0), x2=2py(p>0), x2=−2py(p>0), 那么抛物线的几何性质如何？它们的几何性质中有哪些共同点和不同点？
【师生活动】学生分组一起讨论，然后得出结论
【设计意图】通过分组讨论，加强学生间的交流与合作，充分发挥学生的主动性，提升逻辑推理核心素养。
【归纳总结】抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形




范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
焦点坐标




准线方程




顶点坐标
O(0,0)
对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,
共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;
（3）准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14; (4)焦点到准线的距离均为p.
不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
3、典例解析
例1 已知抛物关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程．
【师生活动】学生分析解题思路，解答问题，教师通过提问的方式进行检查，并给出解答示范．归纳解决此问题的方法。
解：因为抛物线的对称轴为轴，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为
因为点在抛物线上，所以
解得
因此，所求抛物线的标准方程是       y2=4x
【设计意图】例1围绕抛物线的定义，标准方程，简单几何性质等知识突出了用代数方法研究抛物线的特征．解决问题的关键步骤为：先根据抛物线的对称轴选择抛物线的标准方程，再根据抛物线上点的坐标，由抛物线的标准方程确定的值，进而得到抛物线的标准方程．
思考 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程．
【师生活动】学生思考，分析解题思路，教师进行点评．
【设计意图】通过认知抛物线方程的四种形式，此时抛物线由两条，还有一条关于轴对称的抛物线．选择抛物线标准方程的形式至关重要，为此需要全面认识抛物线方程的四种形式及其各自特点．
例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．
【师生活动】学生分析解题思路，教师给出解答示范．
追问:1：求弦长的方法有哪些？
学生思考回答：类比椭圆与双曲线的经验，得出利用两点间的距离公式（代数法）直接解题。
解法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)，
所以直线AB的方程为，即， ①
将方程①代入抛物线方程，化简得，
解这个方程，得，，
将，，代入方程①中，
得，，即，
∴.
追问2：此种方法计算量较大，是否有更简便的方法，教师引导学生结合抛物线的定义，寻求求过焦点的抛物线的弦长的简便方法。
解法二：由题意可知，p＝2，，焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x＝−1.
如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为，.
由抛物线的定义，可知，，
于是 
因为直线的斜率为1，且过焦点F（1，0），
所以直线的方程为y＝x−1. ①
将①代入方程，得，化简，得
所以，所以，线段AB的长是8.
解法三：设，
直线代入抛物线方程，化简，得
所以，
所以
【设计意图】给出三种解答示范，第一种方法最直接，具有一般性，但是计算稍显复杂.第二种方法是充分运用抛物线的定义：抛物线的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离，使运算的复杂性大大简化，这种方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来，体现了用坐标法解决问题的基本思想方法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决.第三种方法充分运用一元二次方程根与系数的关系，得到线段的长.
追问3:如果直线不经过焦点F，还等于吗？
4、课堂练习：教科书第138页练习6．
【师生活动】学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
5、 归纳总结
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
（1）抛物线的简单几何性质有哪些？
（2）你是如何研究抛物线的简单几何性质的？
（3）抛物线的简单几何性质有什么应用？
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．
（五）目标检测设计
1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）关于轴对称，并且经过点；
（2）对称轴是坐标轴，并且经过点.
设计意图：根据给定的条件确定抛物线的标准方程.
2．直线与抛物线相交于，两点，求线段的长.
设计意图：考查抛物线简单几何性质的应用，会求弦长.

（六）课后作业：
教科书习题3.3第2题、第5题．
（七）教学反思：
学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。