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    【小单元教案】高中数学人教A版(2019)选修第一册--3.3.2 抛物线的简单几何性质(课时教学设计)
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    数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线获奖教案及反思

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    这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线获奖教案及反思,共7页。教案主要包含了师生活动,设计意图,归纳总结等内容,欢迎下载使用。

    3.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时)教学设计
    (一)教学内容:
    抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质,抛物线几何性质的应用.
    (二)教学目标
    1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率的简单几何性质;
    2.根据抛物线的几何性质,利用数形结合思想,会求解抛物线的标准方程;
    3.通过抛物线几何性质的应用提升学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养
    (三)教学重点和难点
    重点:抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质;
    难点:抛物线几何性质的应用
    (四) 教学过程设计
    1、复习引入
    问题1: (1)抛物线的定义是什么?抛物线的标准方程是什么?
    焦点位置
    图形
    标准方程
    焦点坐标
    准线方程
    焦点在x正半轴上

    y2=2px(p>0)
    (p2,0)
    x=−p2
    焦点在x负半轴上

    y2=-2px(p>0)
    (−p2,0)
    x=p2
    焦点在y正半轴上

    x2=2py(p>0)
    (0,p2,)
    y=−p2
    焦点在y负半轴上

    x2=-2py(p>0)
    0,−p2,)
    y=p2
    【师生活动】教师用多媒体展示表格,学生填写.
    【设计意图】让学生回忆旧知识,以建立新旧知识之间的联系。
    问题2:上一节我们学习了抛物线的标准方程,对于这个新的曲线,接下来该如何研究呢?比如要研究些什么问题?用什么方法研究?
    【师生活动】学生独立思考.
    教师提示,类比已有的学习经验是一个好方法,比如“椭圆与双曲线”;然后指引学生回顾椭圆、双曲线研究了哪些内容,如椭圆、双曲线中研究了范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;最后确定本节课抛物线简单几何性质的研究问题:范围、对称性、顶点、离心率.
    【设计意图】引入一个新的数学对象后,关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”,这种思考有助学生学会研究数学对象,学会发现问题和提出问题.这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法,通过类比椭圆与双曲线,提出要研究的问题.
    问题3:阅读教科书第134页“思考”,类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法,你认为应研究抛物线的哪些几何性质?如何研究这些性质?
    【师生活动】学生独立观察,充分思考.
    根据学生思考的结果,教师可以适时地选择以下问题进行追问.
    追问:(1)你认为研究抛物线的哪些简单几何性质?(从椭圆、双曲线的简单几何性质入手).
    (2)你从哪个角度来分析抛物线的简单几何性质. (直观感知图形的性质,再用方程进行论证,将方程具体结合到几何进行论证).
    【师生活动】教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果,得到抛物线的简单几何性质的内容.
    【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到证明的过程,其中包括独立思考和交流讨论.这是一个提升学生数学直观想象、逻辑推理的时机.
    2、合作学习 探究新知 
    探究:类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法, y2=2px(p>0)你认为应研究抛物线的哪些几何性质,如何研究这些性质?
    【师生活动】要求学生自学,再在小组讨论,小组内交流讨论,在此期间教师巡回指导。
    范围

    对称性

    顶点

    离心率

    【设计意图】依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性,在问题的指引下, 把问题放手给学生,学生自主探究,深入思考, 感知数学,培养学生独立学习习惯。 并在小组内交流讨论,在此期间教师巡回指导.全班交流后,及时点评。
    追问:我们知道了抛物线 y2=2px(p>0)的几何性质,如果抛物线的标准方程是y2=−2px(p>0), x2=2py(p>0), x2=−2py(p>0), 那么抛物线的几何性质如何?它们的几何性质中有哪些共同点和不同点?
    【师生活动】学生分组一起讨论,然后得出结论
    【设计意图】通过分组讨论,加强学生间的交流与合作,充分发挥学生的主动性,提升逻辑推理核心素养。
    【归纳总结】抛物线四种形式的标准方程及其性质
    标准方程
    y2=2px
    (p>0)
    y2=-2px
    (p>0)
    x2=2py
    (p>0)
    x2=-2py
    (p>0)
    图形




    范围
    x≥0,y∈R
    x≤0,y∈R
    y≥0,x∈R
    y≤0,x∈R
    对称轴
    x轴
    x轴
    y轴
    y轴
    标准方程
    y2=2px
    (p>0)
    y2=-2px
    (p>0)
    x2=2py
    (p>0)
    x2=-2py
    (p>0)
    焦点坐标




    准线方程




    顶点坐标
    O(0,0)
    对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,
    共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;
    (3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14; (4)焦点到准线的距离均为p.
    不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
    3、典例解析
    例1 已知抛物关于轴对称,它的顶点在原点,并且经过点,求它的标准方程.
    【师生活动】学生分析解题思路,解答问题,教师通过提问的方式进行检查,并给出解答示范.归纳解决此问题的方法。
    解:因为抛物线的对称轴为轴,它的顶点在原点,并且经过点,所以可设它的标准方程为
    因为点在抛物线上,所以
    解得
    因此,所求抛物线的标准方程是       y2=4x
    【设计意图】例1围绕抛物线的定义,标准方程,简单几何性质等知识突出了用代数方法研究抛物线的特征.解决问题的关键步骤为:先根据抛物线的对称轴选择抛物线的标准方程,再根据抛物线上点的坐标,由抛物线的标准方程确定的值,进而得到抛物线的标准方程.
    思考 顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点的抛物线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
    【师生活动】学生思考,分析解题思路,教师进行点评.
    【设计意图】通过认知抛物线方程的四种形式,此时抛物线由两条,还有一条关于轴对称的抛物线.选择抛物线标准方程的形式至关重要,为此需要全面认识抛物线方程的四种形式及其各自特点.
    例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于,两点,求线段的长.
    【师生活动】学生分析解题思路,教师给出解答示范.
    追问:1:求弦长的方法有哪些?
    学生思考回答:类比椭圆与双曲线的经验,得出利用两点间的距离公式(代数法)直接解题。
    解法一:由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为F (1,0),
    所以直线AB的方程为,即, ①
    将方程①代入抛物线方程,化简得,
    解这个方程,得,,
    将,,代入方程①中,
    得,,即,
    ∴.
    追问2:此种方法计算量较大,是否有更简便的方法,教师引导学生结合抛物线的定义,寻求求过焦点的抛物线的弦长的简便方法。
    解法二:由题意可知,p=2,,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=−1.
    如图,设,,A,B两点到准线的距离分别为,.
    由抛物线的定义,可知,,
    于是 
    因为直线的斜率为1,且过焦点F(1,0),
    所以直线的方程为y=x−1. ①
    将①代入方程,得,化简,得
    所以,所以,线段AB的长是8.
    解法三:设,
    直线代入抛物线方程,化简,得
    所以,
    所以
    【设计意图】给出三种解答示范,第一种方法最直接,具有一般性,但是计算稍显复杂.第二种方法是充分运用抛物线的定义:抛物线的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离,使运算的复杂性大大简化,这种方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来,体现了用坐标法解决问题的基本思想方法:先用几何眼光观察,再用代数运算解决.第三种方法充分运用一元二次方程根与系数的关系,得到线段的长.
    追问3:如果直线不经过焦点F,还等于吗?
    4、课堂练习:教科书第138页练习6.
    【师生活动】学生做练习,教师根据学生练习情况给予反馈.
    5、 归纳总结
    教师引导学生回顾本节知识,并回答以下问题:
    (1)抛物线的简单几何性质有哪些?
    (2)你是如何研究抛物线的简单几何性质的?
    (3)抛物线的简单几何性质有什么应用?
    设计意图:从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.
    (五)目标检测设计
    1.求适合下列条件的抛物线的标准方程:
    (1)关于轴对称,并且经过点;
    (2)对称轴是坐标轴,并且经过点.
    设计意图:根据给定的条件确定抛物线的标准方程.
    2.直线与抛物线相交于,两点,求线段的长.
    设计意图:考查抛物线简单几何性质的应用,会求弦长.

    (六)课后作业:
    教科书习题3.3第2题、第5题.
    (七)教学反思:
    学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质,有亲历体验、发现和探究的兴趣;具有一定的动手操作和逻辑推理的能力;有分组讨论、合作交流的习惯。在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
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