2022-2023学年安徽省宣城市宁国市三校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省宣城市宁国市三校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省宣城市宁国市三校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法中，正确的是(    )
A. 无理数包括正无理数、零和负无理数 B. 无限小数都是无理数
C. 正实数包括正有理数和正无理数 D. 实数可以分为正实数和负实数两类
2. 下列运算正确的是(    )
A. (−3mn)2=−6m2n2 B. (xy)2÷(−xy)=−xy
C. (x2y)3=x5y3 D. (a−b)(−a−b)=a2−b2
3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”.已知1纳米=10−9米，若苔花的花粉直径约为85000纳米，则85000纳米用科学记数法表示为(    )
A. 8.5×10−4米 B. 0.85×10−4米 C. 8.5×10−5米 D. 8.5×104米
4. 下列不等式变形正确的是(    )
A. 由a>b，得12a−3>12b−3 B. 由a>b，得−3a>−3b
C. 由a2c>b2c，得a>b D. 由a2>b2，得a>b
5. 下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有(    )
①−m2+4；②−x2−y2；③x2y2−1④(m−a)2−(m+a)2⑤2x2−8y2⑥−x2−2xy−y2⑦9a2b2−3ab+1．
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
6. 如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是(    )
A. a>0 B. a<0 C. a>−1 D. a<−1
7. 把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生(    )
A. 11人 B. 12人 C. 11或12人 D. 13人
8. 若关于x的一元一次不等式组x+8<5xx−1>m的解集为x>2，则m的取值范围是(    )
A. m>1 B. m≤1 C. m<1 D. m≥1
9. 我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b=−4a−3b.例如：5*6=−4×5−3×6，若m满足m*(−2)<0，则m的取值范围是(    )
A. m<32 B. m<23 C. m>23 D. m>32
10. 如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP、PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME，设AP=m、BP=n，且m+n=6，mn=7，则图中阴影部分的面积为(    )

A. 24.5 B. 21 C. 18 D. 13
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 比较大小： 35−3 ______ 3(填“>”、“<”或“=”)．
12. 若3x=4，9y=7，则32x−4y的值为______ ．
13. 某品牌衬衫的进价为120元，标价为240元，如果商店打折销售但要保证利润不低于30%，则最多可以打______ 折出售．
14. 已知多项式x−a与x2−2x+1的乘积的结果中不含x2项，则常数a的值是______ ．
15. 关于x的一元一次不等式组3x−a<24(x+1)>3的解集中恰好包含3个正整数解，则a的取值范围是______ ．
16. 观察下列式：
(x2−1)÷(x−1)=x+1；
(x3−1)÷(x−1)=x2+x+1；
(x4−1)÷(x−1)=x3+x2+x+1；
(x5−1)÷(x−1)=x4+x3+x2+x+1．
结合上式规律的计算：1+2+22+23+24+25+26+27= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：−12021+( 3−1)0+|3− 5|+ (−2)2+38．
18. (本小题8.0分)
解不等式组3x−24x+1，并把解集在数轴上表示出来．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：[(2a+b)2−(b+2a)(2a−b)−6b]÷2b，其中|a+12|+ b−3=0．
20. (本小题8.0分)
我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项式的乘方规律，称之为“杨辉三角”.如图，第三行的三个数(1,2,1)恰好对应着两数和的平方(a+b)2的展开式a2+2ab+b2的系数；第四行的四个数(1,3,3,1)恰好对应着两数和的立方(a+b)3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3的系数…
(1)请你试着写出(a+b)4= ______ ．
(2)利用规律计算(a−b)4−b(a+2b)3(写出计算过程)．

21. (本小题10.0分)
我们规定：a−p=1ap(a≠0)，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数.例：4−2=142．
(1)计算：(−2)−2=        ；若2−p=18，则p=        ；
(2)若a−2=116，求a的值；
(3)若a−p=19，且a，p为整数，求满足条件的a，p的值．
22. (本小题12.0分)
某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．
(1)求足球和篮球的单价；
(2)该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于50个
购买数量不低于50个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售
问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A.无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；
B.无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；
C.正实数包括正有理数和正无理数，正确；
D.实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；
故选：C．
根据实数的概念即可判断
本题考查实数的概念，解题的关键是正确理解实数的概念，本题属于基础题型．

2.【答案】B 
【解析】解：A.(−3mn)2=9m2n2，因此选项A不符合题意；
B.(xy)2÷(−xy)=−xy，因此选项B符合题意；
C.(x2y)3=x6y3，因此选项C不符合题意；
D.(a−b)(−a−b)=(−b+a)(−b−a)=(−b)2−a2=b2−a2，因此选项D不符合题意；
故选：B．
根据积的乘方与幂的乘方，平方差公式以及同底数幂的乘除法逐项进行计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及同底数幂的乘除法，掌握幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及同底数幂的乘除法计算方法是正确解答的前提．

3.【答案】C 
【解析】解：85000纳米=85000×10−9米=8.5×10−5米．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4.【答案】A 
【解析】解：∵a>b，
∴12a>12b，
∴12a−3>12b−3，
∴选项A符合题意；

∵a>b，
∴−3a<−3b，
∴选项B不符合题意；

∵由a2c>b2c，不一定推得a>b，假设c<0时，a2 例如：c=−1，a=1，b=2时，12×(−1)>22×(−1)，此时1<2，
∴选项C不符合题意；

∵由a2>b2，不一定得a>b，例如a=−2，b=1时，(−2)2>12，但是−2<1，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
根据不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

5.【答案】B 
【解析】解：①−m2+4=(2+m)(2−m)，符合题意；
②−x2−y2，无法运用公式分解因式；
③x2y2−1=(xy+1)(xy−1)，符合题意；
④(m−a)2−(m+a)2=(m−a+m+a)(m−a−m−a)=−4ma，符合题意；
⑤2x2−8y2=2(x+2y)(x−2y)，符合题意；
⑥−x2−2xy−y2=−(x+y)2，符合题意；
⑦9a2b2−3ab+1不能用完全平方公式进行分解．
故选：B．
直接利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

6.【答案】D 
【解析】解：当a>−1时，原不等式变形为：x>1；
当a<−1时，原不等式变形为：x<1．
故选：D．
本题可对a>−1，与a<−1的情况进行讨论．不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，同时除以一个负数，不等号方向改变，据此可解本题．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意同除(a+1)时是否要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或整式，不等号的方向不变．在不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

7.【答案】C 
【解析】解：假设共有学生x人，根据题意得出：5x+7≥6(x−1)+16(x−1)+3>5x+7，
解得：10 因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12．
观察选项，选项C符合题意．
故选：C．
根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出5x+7≥6(x−1)，且6(x−1)+3>5x+7，分别求出即可．
此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：由x+8<5x，得：x>2，
由x−1>m，得：x>m+1，
因为不等式组的解集为x>2，
所以m+1≤2，
解得m≤1，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：∵m*(−2)<0，
∴−4m−3×(−2)<0，
则−4m<−6，
∴m>32．
故选：D．
根据新运算列出关于m的不等式，解不等式可得．
本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键．

10.【答案】D 
【解析】解：AP=m，BP=n，
所以AB=m+n，
S正方形APCD=m2，
S正方形PBEF=n2，
又因为点M是AB的中点，m+n=6，
所以AM=BM=m+n2=62=3
所以S△DAM=12⋅AM⋅AD=12⋅3⋅m=32m，
S△MBE=12⋅BM⋅BE=12⋅3⋅n=32n，
所以S阴影面积=(S正方形APCD+S正方形PBEF)−(S△DAM+S△MBE)
=(m2+n2)−(32m+32n)
=(m2+n2)−32(m+n)，
因为m+n=6，
所以(m+n)2=36，
所以m2+n2=(m+n)2−2mn=36−2×7=22，
所以(m2+n2)−32(m+n)
=22−32×6
=22−9
=13．
故答案为：D．
先求出两个正方形的面积，根据图可得阴影面积=两正方形面积之和−S△DAM−S△MBE，再将m，n关系代入即可．
本题主要考查完全平方公式的转化，解题的关键在于正确表示出阴影部分的面积．

11.【答案】< 
【解析】解：∵25<35<36，
∴5< 35<6，
∴2< 35−3<3，
故答案为：<．
估算出 35在哪两个连续整数之间后即可求得 35−3在哪两个连续整数之间，从而得出答案．
本题考查无理数的估算及实数的大小比较，估算出 35在哪两个连续整数之间是解题的关键．

12.【答案】1649 
【解析】解：∵9y=(32)y=32y=7，
∴32x−4y
=32x÷34y
=(3x)2÷(32y)2
=42÷72
=1649，
故答案为：1649．
先根据幂的乘方法则，把底数是9的幂化成底数是3的幂，然后把所求的幂写成两个幂相除的形式进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，解题关键是把底数不同的幂写成底数相同的幂．

13.【答案】6.5 
【解析】解：设打x折出售，
根据题意得：240×x10−120≥120×30%，
解得：x≥6.5，
∴x的最小值为6.5，
即最多可以打6.5折出售．
故答案为：6.5．
设打x折出售，利用利润=售价−进价，结合利润率不低于30%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

14.【答案】−2 
【解析】解：(x−a)(x2−2x+1)
=x3−2x2+x−ax2+2ax−a
=x3−(2+a)x2+x+2ax−a
∵结果不含x2项，
∴2+a=0，
解得：a=−2．
故答案为：−2．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x2项，使其系数为0，从而可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确不含x2项，则其系数为0．

15.【答案】7 【解析】解：不等式组整理得：x−14，
∵不等式组的解集中恰好包含3个正整数解，即1，2，3，
∴3 解得：7 故答案为：7 表示出不等式组的解集，由解集中恰好包含3个正整数解，确定出a的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

16.【答案】255 
【解析】解：由题意得：(x8−1)÷(x−1)=x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1．
∴1+2+22+23+24+25+26+27=(28−1)÷(2−1)
=(256−1)÷1
=255÷1
=255，
故答案为：255．
从数字找规律进行计算，即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，整式的除法，从数字找规律是解题的关键．

17.【答案】解：−12021+( 3−1)0+|3− 5|+ (−2)2+38
=−1+1+3− 5+2+2
=7− 5． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：解不等式3x−2 解不等式x+5>4x+1，得：x<43，
则不等式组的解集为x<43，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】解：[(2a+b)2−(b+2a)(2a−b)−6b]÷2b
=[4a2+4ab+b2−(4a2−b2)−6b]÷2b
=(4ab+2b2−6b)÷2b
=2a+b−3，
∵|a+12|+ b−3=0，
∴|a+12|=0,b−3=0，
即a=−12，b=3，
∴原式=2×(−12)+3−3=−1． 
【解析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，以及非负数的性质，掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 
【解析】解：(1)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
(2)(a−b)4=a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4，
(a+2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3．
∴原式=a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4−b(a3+6a2b+12ab2+8b3)=a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4−a3b−6a2b2−12ab3−8b4=a4−5a3b−16ab3−7b4．
(1)根据“杨辉三角”中的系数确定出原式展开结果即可；
(2)根据“杨辉三角”中的系数确定出原式展开，再合并同类项即可．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21.【答案】解：(1)14；3；
(2)∵a−2=116，
∴1a2=116．
∴a2=16，
∴a=±4．
(3)∵a−p=19，
∴1ap=19，ap=9．
∵a，p为整数，
∴当a=9时，p=1．
当a=3时，p=2．
当a=−3时，p=2． 
【解析】
【分析】
此题考查了负整数指数幂计算法则：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数，熟记法则是解题的关键．
(1)根据负整数指数幂定义计算即可；
(2)根据负整数指数幂定义计算即可；
(3)根据负整数指数幂定义计算即可．
解：(1)(−2)−2=1(−2)2=14，
∵2−p=18，
∴12p=18，
∴2p=8=23，
∴p=3，
故答案为：14，3；
(2)见答案；
(3)见答案．  
22.【答案】解：(1)设足球每个x元，篮球每个y元，由题意得：
40x+60y=9200100x+30y=11000，
解得x=80y=100，
答：足球每个80元，篮球每个100元．

(2)设购买足球x个，则购买篮球(120−x)个，根据题意得：
120−x≥2x，
解得x≤40，
由题意得：80x+100×0.9(120−x)≤10420，
解得x≥38，
∴38≤x≤40，
∵x为正整数，
∴有3种购买方案：①购买足球38个，篮球82个；②购买足球39个，篮球81个；③购买足球40个，篮球80个．
∵购买篮球的单价大于购买足球的单价，所以方案③购买费用最少． 
【解析】(1)利用二元一次方程组即可求出足球、篮球的单价，
(2)设购买足球x个，则购买篮球(120−x)个，根据题意求出x的取值范围，再根据(1)的结论列不等式即可得出购买方案．
考查二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的解法等知识，正确分析题目中数量关系列出方程组和函数关系式是解决问题的关键．