【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第一章《分式》单元测试卷（标准难度）（含答案）

这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第一章《分式》单元测试卷（标准难度）（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湘教版初中数学八年级上册第一章《分式》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 分式x+a2x−1中，当x=−a时，下列结论正确的是．(    )
A. 分式的值为零 B. 分式无意义
C. 若a≠−12时，分式的值为零 D. 若a=−12时，分式的值为零
2. 下列分式中，是最简分式的是(    )
A. 9b3a B. a−bb−a C. a2−4a−2 D. a2+4a+2
3. 分式12xy2和14x2y的最简公分母是(    )
A. 2xy B. 2x2y2 C. 4x2y2 D. 4x3y3
4. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是(    )
A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁
5. 已知x2−4x−3÷▲x2−9，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是(    )
A. x−3 B. x−2 C. x+3 D. x+2
6. 现有A，B两个圆，A圆的半径为a22b(a>6)，B圆的半径为3ab，则A圆的面积是B圆面积的(    )
A. a6倍 B. a236倍 C. 6a倍 D. 36a2倍
7. 若(x−1)0−2(2x−6)−2有意义，那么x的取值范围是(    )
A. x>1 B. x<3 C. x≠1或x≠3 D. x≠1且x≠3
8. 若a=0.32，b=−3−2，c=(−3)0，那么a、b、c三数的大小为(    )
A. a>c>b B. c>a>b C. a>b>c D. c>b>a
9. 已知1m−1n=1，则代数式2m−mn−2nm+2mn−n的值为(    )
A. 3 B. 1 C. −1 D. −3
10. 已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则(1a+1b)2÷(1a2−1b2)的值是(    )
A. 5 B. −5 C. 55 D. −55
11. 若分式方程m2x−6=3x无解，则m为(    )
A. 0 B. 6 C. 0或−6 D. 0或6
12. 对于非零的两个数a、b，规定a⊗b=1b−1a.若1⊗(x+1)=1，则x的值为(    )
A. 32 B. 13 C. 12 D. −12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 若代数式x2−92x−6的值等于0，则x=______．
14. 如果a=(−99)0，b=(−0.5)−1，c=(−3)−2，那么a、b、c三数的大小关系是          ．
15. 已知Ax−1−B2−x=2x−6(x−1)(x−2)，则A−B=______．
16. 若关于y的方程y+my+1−2y=1无解，则m=______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
若图①正方形框中阴影部分的面积与图②平行四边形的面积相等，求平行四边形的高ℎ(结果用含a，b的代数式表示)．
18. (本小题8.0分)
甲种糖果的单价为10元/千克，乙种糖果的单价为16元/千克，现有a(千克)甲种糖果和b(千克)乙种糖果混合成什锦糖，则混合后的什锦糖的单价应定为多少元?当a=10，b=15时，求混合后什锦糖的单价．
19. (本小题8.0分)
(1)若A=a−1a+2⋅a2−4a2−2a+1÷1a−1，化简A；
(2)若a满足a2−a=0，求A值．
20. (本小题8.0分)
有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x−1)2千克，乙筐水果重(x2−1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元．
(1)哪筐水果的单价低？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
21. (本小题8.0分)
两地之间的空中航线全程skm，飞行时间需用aℎ，两地之间的铁路线全长是空中航线全程的m倍，火车运行的时间为bℎ，求飞机速度是火车速度的多少倍．
22. (本小题8.0分)
(1)你发现了吗？
(23)2=23×23，(23)−2=1(23)2=123×123=32×32，由上述计算，我们发现(23)2______(32)−2．
(2)仿照(1)，请你通过计算，判断(54)3与(45)−3之间的关系．
(3)我们可以发现：(ba)−m______(ab)m(ab≠0)．
(4)计算：(715)−2⋅(75)2．
23. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x2−2x+1x2−x÷(x−1x)，其中x=2022．
24. (本小题8.0分)
动车的开通为泰州市民的出行带来了更多方便，从泰州市到A市路程120km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少20min，求该趟动车行驶的平均速度．
25. (本小题8.0分)
2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；
(2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的值为零，关键是熟练掌握分式的值为零的条件，根据分式的值为零和分式有意义的条件进行判断即可．
【解答】
解：当x=−a时，且a≠−12，分式的值为零
故选C．  
2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】
解：A．9b3a=3ba，不是最简分式，错误；
B.a−bb−a=−1，不是最简分式，错误；
C.a2−4a−2=a+2，不是最简分式，错误；
D.a2+4a+2，是最简分式，正确．
故选D．  
3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．利用最简公分母的定义求解．
【解答】
解：分式12xy2和14x2y的最简公分母是4x2y2．
故选C．  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是约分，分式的乘除法，直接根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【解答】
解：x2−2xx−1÷x21−x=x2−2xx−1⋅1−xx2，甲的运算结果正确;
x2−2xx−1⋅1−xx2=x2−2xx−1⋅−(x−1)x2，乙的运算结果错误;
x2−2xx−1⋅x−1x2=x(x−2)x−1⋅x−1x2，丙的运算结果正确;
x(x−2)x−1⋅x−1x2=x−2x，丁的运算结果错误，
故选D．
  
5.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查分式的乘除，将每个选项的式子代入计算，结合化简结果是整式进行判断即可．
【解答】
解：x2−4x−3÷▲x2−9=(x+2)(x−2)x−3·(x+3)(x−3)▲=(x+2)(x−2)(x+3)▲
A.原式=(x+2)(x−2)(x+3)x−3=x3+3x2−4x−12x−3，结果不是整式，故本项符合题意；
B.原式=(x+2)(x−2)(x+3)x−2=x2+5x+6，结果是整式，故本项不符合题意；
C.原式=(x+2)(x−2)(x+3)x+3=x2−4，结果是整式，故本项不符合题意；
D.原式=(x+2)(x−2)(x+3)x+2=x2+x−6，结果是整式，故本项不符合题意．
故选A．  
6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式．利用圆的面积公式列式求解即可．
【解答】
解：由题意得π(a22b)2÷[π(3ab)2]=πa44b2×b2π9a2=a236．
故选：B．
  
7.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据零指数幂：a0=1(a≠0)可得x−1≠0，根据负整数指数幂a−p=1ap(a≠0,p为正整数)可得2x−6≠0，即可解答．
此题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，掌握它们成立的条件是解题的关键．
【解答】
解：由题意得：x−1≠0，且2x−6≠0，
则有：x≠1且x≠3，
故选D．  
8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，负整数指数幂及零指数幂.  先根据乘方运算法则，负整数指数幂及零指数幂分别计算，再判定大小即可．
【解答】
解：a=0.32=0.09，b=−3−2=−19，c=(−3)0=1，
∴c>a>b．
故选B．  
9.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的化简求值和加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用．
由1m−1n=1利用分式的加减运算法则得出m−n=−mn，代入原式计算可得．
【解答】
解：∵1m−1n=1，∴nmn−mmn=1，
则n−mmn=1，
∴mn=n−m，即m−n=−mn，
则原式=2m−n−mnm−n+2mn=−2mn−mn−mn+2mn=−3．
故答案为D．  
10.【答案】B 
【解析】解：(1a+1b)2÷(1a2−1b2)
=(a+b)2a2b2÷b2−a2a2b2
=(a+b)2a2b2⋅a2b2(b+a)(b−a)
=−a+ba−b，
∵a2+b2=3ab，
∴(a+b)2=5ab，(a−b)2=ab，
∵a>b>0，
∴a+b=5ab，a−b=ab，
∴−a+ba−b=−5abab=−5abab=−5，
故选：B．
利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由a2+b2=3ab，得出(a+b)2=5ab，(a−b)2=ab，由a>b>0，得出a+b=5ab，a−b=ab，代入计算，即可得出答案．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键．

11.【答案】D 
【解析】解：分式方程去分母得：mx=6x−18，
移项合并得：(m−6)x=−18，
当m−6=0，即m=6时，方程无解；
当m−6≠0，即m≠6时，解得：x=−18m−6，
此时−18m−6=3，即m=0，
综上，m的值为0或6，
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解确定出m的值即可．
此题考查了分式方程的解，分式方程无解即为x的值使最简公分母为0．

12.【答案】D 
【解析】由题意可得，1⊗(x+1)=1x+1−1=1，
解得x=−12，
经检验，x=−12是原方程的解，
故选D．

13.【答案】−3 
【解析】解：由题意可得：x2−9=0且2x−6≠0，
解得x=−3，
故答案为：−3．
分式的值为0的条件是：(1)分子为0；(2)分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

14.【答案】b 【解析】
【分析】
此题考查了负整数指数幂及零指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则，难度一般.分别计算出a、b、c的值，然后比较有理数的大小即可．
【解答】
解：∵a=(−99)0=1，b=(−0.5)−1=−2，c=(−3)−2=19，
∴b   
15.【答案】6 
【解析】
【分析】
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】
解：Ax−1−B2−x
=A(2−x)−B(x−1)(x−1)(2−x)
=(−A−B)x+(B+2A)(x−1)(2−x)
=(A+B)x−(B+2A)(x−1)(x−2)，
由题意可知：A+B=2−B−2A=−6，
解得：A=4B=−2，
∴A−B=4+2=6，
故答案为6．  
16.【答案】1 
【解析】解：去分母得：
y(y+m)−2(y+1)=y(y+1)，
去括号得：
y2+my−2y−2=y2+y，
移项，合并同类项得：
(m−3)y=2，
∴y=2m−3．
∵关于y的方程y+my+1−2y=1无解，2m−3≠0，
∴2m−3=−1．
解得：m=1．
故答案为：1．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，利用题意列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，利用分式方程无解即原方程有增根−1和0列出关于m的方程是解题的关键．

17.【答案】解：图①正方形框中阴影部分的面积为：
a2−b2，
图②平行四边形的面积为：
(a+b)ℎ，
∵图①正方形框中阴影部分的面积与图②平行四边形的面积相等，
∴a2−b2=(a+b)ℎ，
∴ℎ=a2−b2a+b，
∴ℎ=a−b． 
【解析】本题主要考查了正方形和平行四边形面积的求法，同时考查了分式的约分，首先用含有a、b的代数式表示图①中阴影部分的面积，然后根据平行四边形的面积为底乘高进而求得高ℎ即可．

18.【答案】解：由题意可得，
混合后的什锦糖的单价应定为10a+16ba+b元/千克
当a=10，b=15时，10a+16ba+b=10×10+16×1510+15=13.6(元/千克)，
即混合后的什锦糖的单价应定为10a+16ba+b元，当a=10，b=15时，混合后什锦糖的单价是13.6元． 
【解析】本题考查列代数式(分式)，解答本题的关键是明确题意．
根据题意和题目中的数据，可以计算出混合后的什锦糖的单价应定为多少元;再将a=10，b=15代入求出的代数式，即可得到混合后什锦糖的单价．

19.【答案】解：(1)A=a−1a+2⋅(a−2)(a+2)(a−1)2⋅(a−1)
=a−2；

(2)∵a2−a=a(a−1)=0，
∴a=0或a=1，
而要使得A有意义，则a+2≠0，a2−2a+1=(a−1)2≠0，a−1≠0，
∴a≠−2，1，
∴a=0，
将a=0代入a−2，得A=a−2=0−2=−2． 
【解析】本题考查了分式的乘除和有意义的条件，关键是根据法则将A化简求值．
(1)根据分式的乘除法法则可将原式化为a−1a+2⋅(a−2)(a+2)(a−1)2⋅(a−1)，再化简即可．
(2)由a2−a=a(a−1)=0，得a=0或a=1，由分式有意义的条件可知a≠−2，1，所以将a=0再代入a−2即可得答案．

20.【答案】解：(1)根据单价=售价÷重量，得
甲筐水果的单价是：50x−12元/千克；
乙筐的单价是：50x2−1元/千克，
∵(x−1)2−(x2−1)
=x2−2x+1−x2+1
=2−2x
=2(1−x)，
又∵x>1，
∴1−x<0，
∴(x−1)2−(x2−1)<0，
∴(x−1)2 ∴50x−12>50x2−1，
∴甲筐水果的单价高于乙筐水果的单价，
∴乙筐水果的单价低；
(2)50x−12÷50x2−1
=50x−12×x2−150
=50x−12×x+1x−150
=x+1x−1，
即高的单价是低的单价的x+1x−1倍．
 
【解析】本题考查列分式及分式的乘除法法则，理解题意列出正确的式子并比较大小是解答本题的关键．根据单价=售价÷重量，列出甲筐水果的单价和乙筐水果的单价，然后根据作差法结合x>1比较两个单价的高低，并相除即可．
(1)根据公式：单价=售价÷重量，列出甲筐和乙筐水果的单价，利用做差法比较(x−1)2和x2−1的大小，从而得到两个单价的高低；
(2)利用分式的除法法则即可得到答案．


21.【答案】解：飞机的速度为：sa，火车的速度为：msb，
sa÷msb=bam．
所以机的速度是火车速度的bam倍． 
【解析】因为速度=路程时间，根据两地之间的空中航线全程skm，飞行的时间是a小时，铁路全长为航线长的m倍，运行的时间需bℎ，可求出解．
本题考查理解题意的能力，求出飞机的速度和火车的速度，进而求出倍数关系．

22.【答案】=  = 
【解析】解：(1)观察计算结论可得：(23)2=(32)−2，
故答案为：=；
(2)∵(54)3=54×54×54，(45)−3=1(45)3=145×145×145=54×54×54，
∴(54)3=(45)−3．
(3)由(1)(2)中的规律可以发现：
(ba)−m=(ab)m(ab≠0)；
(4)原式=(157)2⋅(75)2
=(157×75)2
=32
=9．
(1)观察计算的结论即可得出结论；
(2)利用有理数的乘方和负整数指数幂的意义进行运算，观察计算的结论即可得出结论；
(3)利用(1)(2)的结论得出即可；
(4)利用上述结论和积的乘方的逆运算解答即可．
本题主要考查了有理数的乘方，有理数的乘法，负整数指数幂的意义，本题是探求规律型题目，反映了由特殊到一般的规律性．

23.【答案】解：原式=(x−1)2x(x−1)÷x2−1x
=x−1x÷(x+1)(x−1)x
=x−1x⋅x(x+1)(x−1)
=1x+1，
当x=2022时，
原式=1x+1=12023． 
【解析】先利用分式的混合运算的法则进行化简，再将x=2022代入运算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，正确利用分式的混合运算的法则进行运算是解题的关键．

24.【答案】解：设普通列车的平均速度为x km/ℎ，则动车的平均速度为(1+50%)x km/ℎ，
由题意得：120x−120(1+50%)x=2060，
解得：x=120，
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意，
则(1+50%)x=1.5×120=180．
答：该趟动车的平均速度为180km/ℎ． 
【解析】设普通列车的平均速度为x km/ℎ，则动车的平均速度为(1+50%)x km/ℎ，由题意：从泰州市到A市路程120km，某趟动车所需时间比普通列车少20min，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

25.【答案】解：(1)设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为(1+20%)x元，
依题意得：3600x−3600(1+20%)x=10，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为60元．
(2)第一次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷60=60(件)，
第二次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷[60×(1+20%)]=50(件)．
80×(60+50)−3600−3600=1600(元)．
答：两次的总利润为1600元． 
【解析】(1)设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为(1+20%)x元，利用数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)利用数量=总价÷单价，可求出两次购进“冰墩墩”玩具的数量，再利用总利润=销售单价×两次购进“冰墩墩”玩具的数量之和−两次购进“冰墩墩”玩具的总价，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．