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【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第二章《三角形》单元测试卷（较易）（含答案）
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这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第二章《三角形》单元测试卷（较易）（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湘教版初中数学八年级上册第二章《三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在三角形的三个外角中，锐角的个数最多有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
2. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 6对
3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为( )
A. 85° B. 75° C. 65° D. 60°
4. 下列命题：①当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加180°；②三角形的外角和小于四边形的外角和；③边形共有(n−3)条对角线；④四边形至少有一个内角不小于90°.其中是真命题的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5. 下列命题中的假命题是( )
A. 数轴上的点与实数一一对应
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 对顶角相等
D. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6. 如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为( )
A. 逆时针，30° B. 逆时针，105° C. 顺时针，30° D. 顺时针，105°
7. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，连接BD，且BD=AB.若∠ABC=130°，∠C=30°，则∠A的度数为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
8. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC与点M.若AC=9cm，BC=5cm，则△MBC的周长是cm．( )
A. 23 B. 19 C. 14 D. 12
9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACE的度数为( )
A. 48°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
10. 如图所示，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是( )
A. B.
C. D.
11. 如上图，直线l//m//n，三角形ABC中∠A=∠ABC=∠ACB=60°，点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°，则a的度数为( )
A. 25°
B. 45°
C. 30°
D. 35°
12. 已知，点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN//OA，作图痕迹如图所示，下列对弧FG的描述，正确的是( )
A. 以点C为圆心，OD的长为半径的弧
B. 以点C为圆心，OM的长为半径的弧
C. 以点E为圆心，DM的长为半径的弧
D. 以点E为圆心，CE的长为半径的弧
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，AD//BC，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是______．
14. 如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，且DB′⊥AC，若B′C=6cm，则AE=______cm．
15. 如图，点E，C分别在线段AB和AD上，且∠B=∠D.要使△ABC≌△ADE，需添加一个条件是______.(只需写出一个条件)
16. 用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b(a>b)，∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知：如图1，直线AB//CD，EF分别交AB，CD于E，F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．
(1)求∠M的度数；
(2)如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线相交于点M3，依此类推，作∠AEM2021，∠CFM2021的平分线相交于点M2022，请直接写出∠M2022的度数．
18. 如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①∠A=∠C，②OA=OC，③∠B=∠D，④OE=OF.请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明．
(1)条件：______，结论：______；(填序号)
(2)写出你的证明过程．
19. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8.求∠ADC的度数．
20. 如图，已知AD垂直平分线段BC，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，截取线段AE=AF，连接EF并延长交BC于点G．
(1)若∠B=65°，求∠AEF的度数．
(2)求证：AD//EG．
21. 如图，∠A=∠B，AE=BE，∠1=∠2，点D在AC边上．
(1)求证：△AEC≌△BED．
(2)若∠1=40°，求∠BDE的度数．
22. 如图，已知△ABC≌△DEC，点E在AB边上，若∠B=70°，求∠BCE的度数．
23. 如图，在△ABC和△DEF中，A，F，C，D在同一直线上，且AF=CD，∠A=∠D．
(1)请你添加一个条件：______，使△ABC≌△DEF；(只添一个即可)
(2)根据(1)中你所添加的条件，试说明△ABC≌△DEF的理由．
24. 如图，直线AB是某天然气公司的主输气管道，点C、D是在AB异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设管道．有以下两个方案：
方案一：只取一个连接点P，使得像两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中标出点P的位置，保留画图痕迹；
方案二：取两个连接点M和N，使得点M到C小区铺设的支管道最短，使得点N到D小区铺设的管道最短．在途中标出M、N的位置，保留画图痕迹；
设方案一中铺设的支管道总长度为L1，方案二中铺设的支管道总长度为L2，则L1与L2的大小关系为：L1______L2(填“>”、“<”或“=”)理由是______．
25. 如图，点A是∠MON边OM上一点，点P是∠MON边ON上一点．
(1)尺规作图：过点P作PQ//OM(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AE//ON且AE与PQ交于点B，试判断∠MON与∠ABP边的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据三角形的内角和是180度可知：三角形的三个内角中最多可有1个钝角，
所以对应的在三角形的三个外角中，锐角的个数最多有1个．
故选：C．
在锐角三角形的外角中，有0个锐角；在直角三角形外角中，有0个锐角；在钝角三角形外角中，有1个锐角．即可解答．
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
(2)三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形的概念，新定义．
以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
【解答】
解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，
∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=60°−45°=15°，
∠α=180°−∠D−∠ACD=180°−90°−15°=75°，
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：由n边形内角和公式(n−2)×180°知，当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加180°，故①是真命题；
三角形的外角和，四边形的外角和都等腰360°，故②是假命题；
n边形共有n(n−3)2条对角线，故③是假命题；
若四边形每个内角都小于90°，则与四边形内角和为360°矛盾，故四边形至少有一个内角不小于90°，④是真命题；
∴真命题有①④，共2个，
故选：C．
根据n边形内角和，外角和定理，n边形的对角线等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握n边形的内角和，外角和定理．
5.【答案】B
【解析】解：A、数轴上的点与实数一一对应，正确，是真命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
利用实数的性质、平行线的性质、对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、平行线的性质、对顶角的性质等知识，难度不大．
6.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−75°=105°，
∴旋转方向为顺时针，旋转角为105°，
故选：D．
根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB=CD，BD=AB，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=30°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ABD=100°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=12×(180°−100°)=40°，
故选：D．
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵MD是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长为BM+MC+BC=AM+CM+BC=AC+BC=14(cm)．
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠CBD=∠ABD=24°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−60°−48°=72°，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠CBD=24°，
∴∠ACE=∠ACB−∠ECB=72°−24°=48°，
故选：A．
根据角平分线的定义求出∠ABC、∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，证明∠ECB=∠CBD=24°，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A.不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
B.∠C=180°−50°−72°=58°，不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
C.不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
D.∠C=180°−50°−72°=58°，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出与△ABC全等，故本选项符合题意；
故选：D．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
11.【答案】D
【解析】解：如图，
∵l//m//n，∠β=25°，
∴∠α=∠1，∠2=∠β=25°，
∵∠1+∠2=∠ABC=60°，
∴∠1=60°−∠2=60°−25°=35°，
∴∠α=35°，
故选：D．
由∠β=25°及平行线的性质得出∠α=∠1，∠2=∠β=25°，再由∠1+∠2=∠ABC=60°，可求出∠α=35°，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平行线的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：C．
根据同位角相等两直线平行，要想得到CN//OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．
本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：∵AD//BC，
∴B点到AD的距离等于D点到BC的距离，
∴S△DCB：S△ABD=BC：AD=6：2=3：1，
∵△ABD的面积等于4，
∴S△DCB=3×4=12．
故答案为：12．
先根据平行线间的距离处处相等得到B点到AD的距离等于D点到BC的距离，然后根据三角形面积公式得到S△DCB：S△ABD=BC：AD，从而可计算出△DCB的面积．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高．也考查了平行线之间的距离．
14.【答案】(33+3)
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵DB′⊥AC，
∴∠DB′C=90°，
∴CD=2B′C=12cm，DB′=3B′C=63cm，
由翻折可得BD=B′D=63cm，∠EB′D=∠B=60°，
∴BC=AC=(63+12)cm，
∴AB′=(63+6)cm，
∵∠AB′E=180°−∠EB′D−∠DB′C=30°，∠A=60°，
∴∠AEB′=90°，
∴AE=12AB′=(33+3)cm．
故答案为：(33+3)．
由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，结合DB′⊥AC，可得CD=2B′C=12cm，DB′=3B′C=63cm，由翻折可得BD=B′D=63cm，∠EB′D=∠B=60°，则BC=AC=(63+12)cm，AB′=(63+6)cm，易得∠AB′E=180°−∠EB′D−∠DB′C=30°，则∠AEB′=90°，则AE=12AB′=(33+3)cm．
本题考查翻折变换(折叠问题)、等边三角形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
15.【答案】AB=AD(答案不唯一)
【解析】解：添加条件：AB=AD，理由如下：
在△ABC和△ADE中，
∠A=∠AAB=AD∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
故答案为：AB=AD(答案不唯一)．
添加条件AB=AD，根据ASA即可得证．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16.【答案】12a
故答案为12a
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF=12∠AEF，∠EFM=12∠CFE，
∴∠MEF+∠EFM=12(∠AEF+∠CFE)=90°，
∴∠M=180°−90°=90°；
(2)结论：∠M1=12∠M，
理由：如图，过点M1作M1J//AB，
∵AB//CD，M1J//AB，
∴M1J//CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=12∠AEM，∠CFM1=12∠CFM，
∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1，
∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=12(∠AEM+∠CFM)=12×90°=45°，
由(1)知，∠M=90°，
∴∠EM1F=12∠M；
(3)由(2)可知，∠M1=12∠M，
∴∠M2=12∠M1=14∠M，
…，
∠Mn=(12)n∠M，
当n=2022时，
∠M2022=(12)2022∠M=(12)2022×90°．
【解析】(1)利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
(2)过点M1作M1J//AB，利用平行线的性质解决问题；
(3)探究规律，利用规律解决问题．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，本题是探究型试题，要由特殊情况到一般规律，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
18.【答案】②④ ①
【解析】解：(1)②④，①.(答案不唯一)
故答案为：②④，①；
(2)证明：∵OE=OF，点E、F分别为OB、OD的中点，
∴OB=OD．
在△OAB和△OCD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△OAB≌△OCD(SAS)，
∴∠A=∠C．
(1)根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性；
(2)要证结论的正确性，例如由①②⇒④，则只需证△OAB≌△OCD(SAS)即可．
考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是证明三角形全等，难度不大．
19.【答案】解：∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BD=4，
∵BC=45，CD=8．
∴BD2+CD2=42+82=16+64=80=(45)2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°，
即∠ADC的度数是150°．
【解析】根据AB=AD=4，∠A=60°，可以得到△ABD的形状，再根据勾股定理的逆定理可以判断△BDC的形状，从而可以求得∠ADC的度数．
本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的性质，解答本题的关键是求出∠ADB和∠BDC的度数．
20.【答案】(1)解：∵AD垂直平分线段BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=65°，
∴∠BAC=180°−65°−65°=50°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×50°=25°，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，
∴∠AEF=∠BAD=25°；
(2)证明：由(1)得∠AEF=∠BAD，
∴AD//EG．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根据外角的性质即可求出∠AEF的度数；
(2)根据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF=∠BAD，进而可证明AD//EG．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
21.【答案】解：(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
∴∠AEC=∠BED，
在△AEC和△BED中
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED
∴△AEC≌△BED(ASA)；
(2)∵△AEC≌△BED，
∴ED=EC，∠ACE=∠BDE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵∠1=40°，
∴∠ECD=∠EDC=70°，
∴∠ECA=70°，
∴∠BDE=70°，
即∠BDE是70°．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)要证明△AEC≌△BED，根据题目中的条件，先证明∠AEC=∠BED即可，由∠1=∠2，即可得到∠AEC=∠BED，然后写出全等的条件，即可证明结论成立；
(2)根据(1)中的结论和等腰三角形的性质，可以求得∠BDE的度数．
22.【答案】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE=CB，
∵∠B=70°，
∴∠CEB=70°，
∴∠BCE=180°−70°−70°=40°．
【解析】根据全等三角形的性质可得CE=CB，进一步可得∠CEB=∠B=70°，再根据三角形内角和定理即可求出∠BCE的度数．
本题考查了全等三角形的性质，涉及等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上这些知识是解题的关键．
23.【答案】∠E=∠B(答案不唯一)
【解析】解：(1)添加∠E=∠B，
∵AF=CD，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
∠E=∠B∠D=∠ADF=AC，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
故答案为：∠E=∠B(答案不唯一)；
(2)理由见(1)．
(1)添加∠E=∠B，可根据AAS证明△ABC≌△DEF；
(2)证明过程见(1)．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
24.【答案】>；垂线段最短
【解析】解：图形如右图所示，
由题意可得，
支管道总长度为L1为线段CD的长，支管道总长度为L2为线段CM与线段DN的长，
∴L1>L2(垂线段最短)，
故答案为：>，垂线段最短．
根据题意可以作出合适的图形，并得到L1与L2的大小关系和相应的理由，本题得以解决．
本题考查作图−应用与设计作图，最短路径，解答本题的关键是明确题意，作出相应的图形．
25.【答案】解：(1)如图，
射线PQ即为所求；
(2)∠MON=∠ABP，理由如下：
∵PQ//OM，
∴∠MON=∠QPN，
又∵AE//ON
∴∠ABP=∠QPN，
∴∠MON=∠ABP．
【解析】(1)根据尺规作图过点P作∠QPN=∠MON，即可得PQ//OM；
(2)根据AE//ON且AE与PQ交于点B，即可判断∠MON与∠ABP边的数量关系．
本题考查了作图−复杂作图、平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角．
湘教版初中数学八年级上册第二章《三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在三角形的三个外角中，锐角的个数最多有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
2. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 6对
3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为( )
A. 85° B. 75° C. 65° D. 60°
4. 下列命题：①当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加180°；②三角形的外角和小于四边形的外角和；③边形共有(n−3)条对角线；④四边形至少有一个内角不小于90°.其中是真命题的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5. 下列命题中的假命题是( )
A. 数轴上的点与实数一一对应
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 对顶角相等
D. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6. 如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为( )
A. 逆时针，30° B. 逆时针，105° C. 顺时针，30° D. 顺时针，105°
7. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，连接BD，且BD=AB.若∠ABC=130°，∠C=30°，则∠A的度数为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
8. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC与点M.若AC=9cm，BC=5cm，则△MBC的周长是cm．( )
A. 23 B. 19 C. 14 D. 12
9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACE的度数为( )
A. 48°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
10. 如图所示，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是( )
A. B.
C. D.
11. 如上图，直线l//m//n，三角形ABC中∠A=∠ABC=∠ACB=60°，点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°，则a的度数为( )
A. 25°
B. 45°
C. 30°
D. 35°
12. 已知，点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN//OA，作图痕迹如图所示，下列对弧FG的描述，正确的是( )
A. 以点C为圆心，OD的长为半径的弧
B. 以点C为圆心，OM的长为半径的弧
C. 以点E为圆心，DM的长为半径的弧
D. 以点E为圆心，CE的长为半径的弧
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，AD//BC，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是______．
14. 如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，且DB′⊥AC，若B′C=6cm，则AE=______cm．
15. 如图，点E，C分别在线段AB和AD上，且∠B=∠D.要使△ABC≌△ADE，需添加一个条件是______.(只需写出一个条件)
16. 用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b(a>b)，∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知：如图1，直线AB//CD，EF分别交AB，CD于E，F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．
(1)求∠M的度数；
(2)如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线相交于点M3，依此类推，作∠AEM2021，∠CFM2021的平分线相交于点M2022，请直接写出∠M2022的度数．
18. 如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①∠A=∠C，②OA=OC，③∠B=∠D，④OE=OF.请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明．
(1)条件：______，结论：______；(填序号)
(2)写出你的证明过程．
19. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8.求∠ADC的度数．
20. 如图，已知AD垂直平分线段BC，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，截取线段AE=AF，连接EF并延长交BC于点G．
(1)若∠B=65°，求∠AEF的度数．
(2)求证：AD//EG．
21. 如图，∠A=∠B，AE=BE，∠1=∠2，点D在AC边上．
(1)求证：△AEC≌△BED．
(2)若∠1=40°，求∠BDE的度数．
22. 如图，已知△ABC≌△DEC，点E在AB边上，若∠B=70°，求∠BCE的度数．
23. 如图，在△ABC和△DEF中，A，F，C，D在同一直线上，且AF=CD，∠A=∠D．
(1)请你添加一个条件：______，使△ABC≌△DEF；(只添一个即可)
(2)根据(1)中你所添加的条件，试说明△ABC≌△DEF的理由．
24. 如图，直线AB是某天然气公司的主输气管道，点C、D是在AB异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设管道．有以下两个方案：
方案一：只取一个连接点P，使得像两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中标出点P的位置，保留画图痕迹；
方案二：取两个连接点M和N，使得点M到C小区铺设的支管道最短，使得点N到D小区铺设的管道最短．在途中标出M、N的位置，保留画图痕迹；
设方案一中铺设的支管道总长度为L1，方案二中铺设的支管道总长度为L2，则L1与L2的大小关系为：L1______L2(填“>”、“<”或“=”)理由是______．
25. 如图，点A是∠MON边OM上一点，点P是∠MON边ON上一点．
(1)尺规作图：过点P作PQ//OM(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AE//ON且AE与PQ交于点B，试判断∠MON与∠ABP边的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据三角形的内角和是180度可知：三角形的三个内角中最多可有1个钝角，
所以对应的在三角形的三个外角中，锐角的个数最多有1个．
故选：C．
在锐角三角形的外角中，有0个锐角；在直角三角形外角中，有0个锐角；在钝角三角形外角中，有1个锐角．即可解答．
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
(2)三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形的概念，新定义．
以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
【解答】
解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，
∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=60°−45°=15°，
∠α=180°−∠D−∠ACD=180°−90°−15°=75°，
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：由n边形内角和公式(n−2)×180°知，当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加180°，故①是真命题；
三角形的外角和，四边形的外角和都等腰360°，故②是假命题；
n边形共有n(n−3)2条对角线，故③是假命题；
若四边形每个内角都小于90°，则与四边形内角和为360°矛盾，故四边形至少有一个内角不小于90°，④是真命题；
∴真命题有①④，共2个，
故选：C．
根据n边形内角和，外角和定理，n边形的对角线等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握n边形的内角和，外角和定理．
5.【答案】B
【解析】解：A、数轴上的点与实数一一对应，正确，是真命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
利用实数的性质、平行线的性质、对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、平行线的性质、对顶角的性质等知识，难度不大．
6.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−75°=105°，
∴旋转方向为顺时针，旋转角为105°，
故选：D．
根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB=CD，BD=AB，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠C=30°，
∵∠ABC=130°，
∴∠ABD=100°，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=12×(180°−100°)=40°，
故选：D．
根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵MD是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长为BM+MC+BC=AM+CM+BC=AC+BC=14(cm)．
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠CBD=∠ABD=24°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−60°−48°=72°，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠CBD=24°，
∴∠ACE=∠ACB−∠ECB=72°−24°=48°，
故选：A．
根据角平分线的定义求出∠ABC、∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，证明∠ECB=∠CBD=24°，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A.不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
B.∠C=180°−50°−72°=58°，不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
C.不符合全等三角形的判定定理，不能推出与△ABC全等，故本选项不符合题意；
D.∠C=180°−50°−72°=58°，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出与△ABC全等，故本选项符合题意；
故选：D．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
11.【答案】D
【解析】解：如图，
∵l//m//n，∠β=25°，
∴∠α=∠1，∠2=∠β=25°，
∵∠1+∠2=∠ABC=60°，
∴∠1=60°−∠2=60°−25°=35°，
∴∠α=35°，
故选：D．
由∠β=25°及平行线的性质得出∠α=∠1，∠2=∠β=25°，再由∠1+∠2=∠ABC=60°，可求出∠α=35°，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平行线的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：C．
根据同位角相等两直线平行，要想得到CN//OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．
本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：∵AD//BC，
∴B点到AD的距离等于D点到BC的距离，
∴S△DCB：S△ABD=BC：AD=6：2=3：1，
∵△ABD的面积等于4，
∴S△DCB=3×4=12．
故答案为：12．
先根据平行线间的距离处处相等得到B点到AD的距离等于D点到BC的距离，然后根据三角形面积公式得到S△DCB：S△ABD=BC：AD，从而可计算出△DCB的面积．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高．也考查了平行线之间的距离．
14.【答案】(33+3)
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵DB′⊥AC，
∴∠DB′C=90°，
∴CD=2B′C=12cm，DB′=3B′C=63cm，
由翻折可得BD=B′D=63cm，∠EB′D=∠B=60°，
∴BC=AC=(63+12)cm，
∴AB′=(63+6)cm，
∵∠AB′E=180°−∠EB′D−∠DB′C=30°，∠A=60°，
∴∠AEB′=90°，
∴AE=12AB′=(33+3)cm．
故答案为：(33+3)．
由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，结合DB′⊥AC，可得CD=2B′C=12cm，DB′=3B′C=63cm，由翻折可得BD=B′D=63cm，∠EB′D=∠B=60°，则BC=AC=(63+12)cm，AB′=(63+6)cm，易得∠AB′E=180°−∠EB′D−∠DB′C=30°，则∠AEB′=90°，则AE=12AB′=(33+3)cm．
本题考查翻折变换(折叠问题)、等边三角形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
15.【答案】AB=AD(答案不唯一)
【解析】解：添加条件：AB=AD，理由如下：
在△ABC和△ADE中，
∠A=∠AAB=AD∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
故答案为：AB=AD(答案不唯一)．
添加条件AB=AD，根据ASA即可得证．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16.【答案】12a
故答案为12a
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF=12∠AEF，∠EFM=12∠CFE，
∴∠MEF+∠EFM=12(∠AEF+∠CFE)=90°，
∴∠M=180°−90°=90°；
(2)结论：∠M1=12∠M，
理由：如图，过点M1作M1J//AB，
∵AB//CD，M1J//AB，
∴M1J//CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=12∠AEM，∠CFM1=12∠CFM，
∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1，
∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=12(∠AEM+∠CFM)=12×90°=45°，
由(1)知，∠M=90°，
∴∠EM1F=12∠M；
(3)由(2)可知，∠M1=12∠M，
∴∠M2=12∠M1=14∠M，
…，
∠Mn=(12)n∠M，
当n=2022时，
∠M2022=(12)2022∠M=(12)2022×90°．
【解析】(1)利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
(2)过点M1作M1J//AB，利用平行线的性质解决问题；
(3)探究规律，利用规律解决问题．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，本题是探究型试题，要由特殊情况到一般规律，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
18.【答案】②④ ①
【解析】解：(1)②④，①.(答案不唯一)
故答案为：②④，①；
(2)证明：∵OE=OF，点E、F分别为OB、OD的中点，
∴OB=OD．
在△OAB和△OCD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△OAB≌△OCD(SAS)，
∴∠A=∠C．
(1)根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性；
(2)要证结论的正确性，例如由①②⇒④，则只需证△OAB≌△OCD(SAS)即可．
考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是证明三角形全等，难度不大．
19.【答案】解：∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BD=4，
∵BC=45，CD=8．
∴BD2+CD2=42+82=16+64=80=(45)2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°，
即∠ADC的度数是150°．
【解析】根据AB=AD=4，∠A=60°，可以得到△ABD的形状，再根据勾股定理的逆定理可以判断△BDC的形状，从而可以求得∠ADC的度数．
本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的性质，解答本题的关键是求出∠ADB和∠BDC的度数．
20.【答案】(1)解：∵AD垂直平分线段BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=65°，
∴∠BAC=180°−65°−65°=50°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×50°=25°，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，
∴∠AEF=∠BAD=25°；
(2)证明：由(1)得∠AEF=∠BAD，
∴AD//EG．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根据外角的性质即可求出∠AEF的度数；
(2)根据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF=∠BAD，进而可证明AD//EG．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
21.【答案】解：(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED，
∴∠AEC=∠BED，
在△AEC和△BED中
∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED
∴△AEC≌△BED(ASA)；
(2)∵△AEC≌△BED，
∴ED=EC，∠ACE=∠BDE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵∠1=40°，
∴∠ECD=∠EDC=70°，
∴∠ECA=70°，
∴∠BDE=70°，
即∠BDE是70°．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)要证明△AEC≌△BED，根据题目中的条件，先证明∠AEC=∠BED即可，由∠1=∠2，即可得到∠AEC=∠BED，然后写出全等的条件，即可证明结论成立；
(2)根据(1)中的结论和等腰三角形的性质，可以求得∠BDE的度数．
22.【答案】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE=CB，
∵∠B=70°，
∴∠CEB=70°，
∴∠BCE=180°−70°−70°=40°．
【解析】根据全等三角形的性质可得CE=CB，进一步可得∠CEB=∠B=70°，再根据三角形内角和定理即可求出∠BCE的度数．
本题考查了全等三角形的性质，涉及等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上这些知识是解题的关键．
23.【答案】∠E=∠B(答案不唯一)
【解析】解：(1)添加∠E=∠B，
∵AF=CD，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
∠E=∠B∠D=∠ADF=AC，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
故答案为：∠E=∠B(答案不唯一)；
(2)理由见(1)．
(1)添加∠E=∠B，可根据AAS证明△ABC≌△DEF；
(2)证明过程见(1)．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
24.【答案】>；垂线段最短
【解析】解：图形如右图所示，
由题意可得，
支管道总长度为L1为线段CD的长，支管道总长度为L2为线段CM与线段DN的长，
∴L1>L2(垂线段最短)，
故答案为：>，垂线段最短．
根据题意可以作出合适的图形，并得到L1与L2的大小关系和相应的理由，本题得以解决．
本题考查作图−应用与设计作图，最短路径，解答本题的关键是明确题意，作出相应的图形．
25.【答案】解：(1)如图，
射线PQ即为所求；
(2)∠MON=∠ABP，理由如下：
∵PQ//OM，
∴∠MON=∠QPN，
又∵AE//ON
∴∠ABP=∠QPN，
∴∠MON=∠ABP．
【解析】(1)根据尺规作图过点P作∠QPN=∠MON，即可得PQ//OM；
(2)根据AE//ON且AE与PQ交于点B，即可判断∠MON与∠ABP边的数量关系．
本题考查了作图−复杂作图、平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角．
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