【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第五章《二次根式》单元测试卷（困难）（含答案）

这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第五章《二次根式》单元测试卷（困难）（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湘教版初中数学八年级上册第五章《二次根式》单元测试卷
考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使代数式x−2有意义，则x的取值范围是(    )
A. x≠2 B. x≥2 C. x>2 D. x≤2
2. 如果a2=−a，那么a一定是  (    )
A. 负数或零 B. 正数或零 C. 正数 D. 负数
3. a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简a−b−a2的结果是(    )

A. 2a−b B.      b C. −b D. −2a+b
4. 化简二次根式−8a3的结果为(    )
A. −2a−2a B. 2a2a C. 2a−2a D. −2a2a
5. 若b>0，把−4ab化成最简二次根式为(    )
A. 2b−ab B. −2bab C. −2b−ab D. 2−ab
6. 已知a=13+2，b=3-2，则有(    )
A. a=b B. a=−b C. a=1b D. a=-1b
7. 计算(3+2)2018(3–2)2019的结果是(    )
A. 2+3 B. 3–2 C. 2–3 D. 3
8. 下列各式的运算或变形中，用到分配律的是
A. 23×32=66 B. (ab)2=a2b2
C. 由x+2=5得x=5−2 D. 3a+2a=5a
9. 如果f(x)=x21+x2并且f(1)表示当x=1时的值，即f(1)=(1)21+(1)2=12，f(12)表示当x=12时的值，即f(12)=(12)21+(12)2=13，那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(n)+f(1n)的值是(    )
A. n−12 B. n−32 C. n−52 D. n+12
10. 下列运算正确的是(    )
A. (x−y)2=x2−y2 B. |3−2|=2−3
C. 8−3=5 D. −(−a+1)=a+1
11. 3−1−1−32的值为(    )
A. 0 B. −2 C. −23 D. 以上都不对
12. 已知m=1+3，n=1−3，则代数式m2+n2−4mn的值为(    )
A. 16 B. ±4 C. 4 D. 5
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如果代数式x+1x−2有意义，那么字母x的取值范围是______．
14. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2−(c−a+b)2+|b+c|−3b3=______．

15. 在20、23、1a、−0.1、x3中，是最简二次根式的是______ ．
16. 当x=2+3，y=2−3时，x+1+y+1x+1−y+1的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
观察下列各等式：
32+42=5①
52+122=13②
72+242=25③
92+402=41④
(1)按以上等式规律，请完成第⑤个等式112+602=______；
(2)按以上等式规律，请完成第n个等式(2n+1)2+(2n2+2n)2=______，并证明这个等式的正确性；
(3)直接写出等式右边等于20201的等式．
18. (本小题8.0分)
如图，实数a、b、c在数轴上的位置，化简：a2−a−b+b+c2．

19. (本小题8.0分)
a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简a2+(b−c)2−(a−c)2−|a+b|．

20. (本小题8.0分)
阅读下列过程：
计算：3223×(−1815)÷1225．
解：原式=383×(−1815)×225
=−3×18×2×83×15×25
=−3416
=−3．
上述解答过程有错误吗?如果有错误请改正．
21. (本小题8.0分)
先化简，再求值：1x−3−x+1x2−1x−3，其中x=2+1．
22. (本小题8.0分)
先化简，再求值：1−1a−1÷a2−4a+4a2−a，其中a=2+2．
23. (本小题8.0分)
如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=202cm.要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为52cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边(纸条不重叠).图1和图2是两种不同裁法的示意图．

(1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
(2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；
(3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
24. (本小题8.0分)
已知x=1a−a，求x+2+4x+x2x+2−4x+x2的值．
25. (本小题8.0分)
已知二次根式−x−2．
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
(2)已知−x−2为最简二次根式，且与52为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：根据题意，得
x−2≥0，
解得，x≥2；
故选：B．
二次根式的被开方数x−2是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性是解题的关键，根据a2≥0，即可得出−a≥0，解得a≤0.
【解答】
解：∵a2=−a，a2≥0
∴−a≥0，解得a≤0
∴a是负数或零．
故选A．  
3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键.根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．
【解答】
解：∵a<0 ∴a−b<0
∴a−b−a2
=b−a+a
=b．
故选B．  
4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键.原式利用二次根式的性质化简即可得到结果．
【解答】
解：∵−8a3≥0，
∴a≤0，
∴−8a3=−2a−2a．
故选A．  
5.【答案】A 
【解析】试题分析：根据b的符号得出，a<0，进而化简得出即可．
∵b>0，
∴−4ab=−4abb2=2−abb．
故选：A．

6.【答案】B 
【解析】解：因为a=13+2=−(3−2)，
所以a=−b．
故选B．
本题可先将a分母有理化，然后再判断a、b的关系．
本题考查分母有理化的知识，找出分母的有理化因式是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式的运算，关键是熟练掌握二次根式的乘法.利用二次根式的乘法进行j简便运算即可得出结果．
【解答】
解：原式=3+23−220183−2
=3−42018×3−2
=1×3−2
=3−2．
故选B．  
8.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的乘法，积的乘方，等式的性质，合并同类项，熟练掌握相应的运算法则是关键.对各个选项依次分析即可．
【解答】
解：A．23×32=66，运用有理数的乘法；
B.(ab)2=a2b2 ，运用了有理数的乘方；
C.由x+2=5得x=5−2，运用等式的性质；
D.3a+2a=5a，运用了分配律，
故选D．  
9.【答案】A 
【解析】解：代入计算可得，f(2)+f(12)=1，f(3)+f(13)=1，…，f(n)+f(1n)=1，
所以，原式=12+(n−1)=n−12．
故选：A．
认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．

10.【答案】B 
【解析】解：A、原式=x2−2xy+y2，故本选项错误；
B、原式=2−3，故本选项正确；
C、原式=22−3，故本选项错误；
D、原式=a−1，故本选项错误；
故选：B．
根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答．
本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基础题，难度不大．

11.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的运算，涉及绝对值的性质，二次根式的性质．根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【解答】
解：原式=(3−1)−|1−3|
=3−1+(1−3)
=0，
故选A．

  
12.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．原式变形为m+n2−6mn，由已知易得m+n=2，mn=−2，然后整体代入计算即可．
【解答】
解：m+n=2，mn=(1+3)(1−3)=−2，
原式=m+n2−6mn=22−6×−2=4+12=4．
故选C．  
13.【答案】x≥−1且x≠2 
【解析】解：∵代数式x+1x−2有意义，
∴x+1≥0x−2≠0，解得x≥−1且x≠2．
故答案为：x≥−1且x≠2．
先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

14.【答案】−b 
【解析】解：∵从数轴可知：a|a|>|b|，
∴原式=|a|−|c−a+b|+|b+c|−b
=−a−c+a−b+b+c−b
=−b，
故答案为：−b．
根据数轴得出|a|>|b|，根据二次根式的性质得出|a|−|c−a+b|+|b+c|−b，去掉绝对值符号后合并即可．
本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴的应用，主要考查学生的计算和化简能力．

15.【答案】23 
【解析】解：在20、23、1a、−0.1、x3中，只有23是最简二次根式．
故答案为：23．
直接利用最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．

16.【答案】3+2 
【解析】解：由题意，知：x+y=4，x−y=23，(x+1)(y+1)=6；
原式=(x+1+y+1)2(x+1−y+1)(x+1+y+1)
=x+y+2(x+1)(y+1)+2x−y
=4+26+223
=3+63
=3+2．
首先求出x+y=4，x−y=23，(x+1)(y+1)=6，再将所给的式子分母有理化，然后再代值求解．
此题考查二次根式的化简求值，关键是正确的对分式进行分母有理化，然后根据化简的结果，代值计算．

17.【答案】61  2n2+2n+1 
【解析】解：(1)112+602=61；
故答案为：61；
(2)(2n+1)2+(2n2+2n)2=2n2+2n+1．
证明：左边=(2n2+2n)2+4n2+4n+1
=(2n2+2n)2+2(2n2+2n)+1
=(2n2+2n+1)2
=|2n2+2n+1|，
∵n为大于或等于1的整数，
∴2n2+2n+1>0．
∴左边=2n2+2n+1=右边．
∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=2n2+2n+1成立；
故答案为：2n2+2n+1；
(3)等式右边等于20201的等式为：2012+202002=20201.理由：
由题意得：
2n2+2n+1=20201．
∴n2+n−10100=0．
∴(n−100)(n+101)=0．
解得：n=100或n=−101．
∵n为大于或等于1的整数，
∴n=100．
∴等式右边等于20201的等式为：2012+202002=20201．
(1)按以上等式规律即可得出结论；
(2)利用配方法和二次根式的性质解答即可；
(3)利用(2)中的规律解答即可．
本题主要考查了二次根式的化简与计算，配方法，数字的变形规律，观察数字的变化从中发现规律是解题的关键．

18.【答案】解：由实数a，b，c在数轴上的位置可得a<−1，−11；
∴a−b<0，b+c>0，
∴a2−a−b+b+c2
=−a−(b−a)+b+c
=c． 
【解析】本题主要考查数轴，绝对值，二次根式的性质，整式的加减.解答本题关键是要从数轴上a，b，c的位置判断出a，b，c的取值范围．先由实数a、b、c在数轴上的位置，得出a，b，c的取值范围，再判断a，(a−b)，(b+c)的正负，根据式子的符号去绝对值，根据二次根式的性质化简，然后去括号，合并同类项即得结果．

19.【答案】解：由数轴可知：a<0 b−c<0，a−c<0，a+b<0，
原式=|a|+|b−c|−|a−c|−|a+b|
=−a+c−b+a−c+a+b
=a
 
【解析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是根据数轴判断a、b−c、a−c，a+b与0的大小关系，本题属于基础题型． 根据数轴判断a、b−c、a+b、a−c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质进行化简．

20.【答案】解：有错误，第一步除以1225，乘以它的倒数，结果算错，下面步骤接着错，
纠正如下，
3223×(−1815)÷1225
=383×(−1815)×252
=−3×18×2×83×15×52
=−34×100
=−152． 
【解析】本题考查了二次根式的性质和化简，属于基础题．
根据二次根式的性质和化简方法，可得出结果，注意整体性．

21.【答案】解：原式=1x−3−x+1x+1x−1x−3
=1x−3−1x−1x−3
=1−x−3x−1
=x−1−x+3x−1
=2x−1．
当x=2+1时，原式=22+1−1=2． 
【解析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，首先将括号里的分式进行化简，再直接与括号外的式子进行相乘，再进行加减化为最简形式，最后将x的值代入即可．

22.【答案】.解：原式=a−1a−1−1a−1·aa−1(a−2)2
=a−2a−1·aa−1(a−2)2
=aa−2，
当a=2+2时，
原式=2+22+2−2
=2+1．
 
【解析】此题考查了分式的化简求值，关键是通分，找出最简公分母.分式的乘除运算关键是约分，约分后得到最简结果，再把a=2+2代入进行计算即可．

23.【答案】解：(1)如图3，过点C作CD⊥AB于D，

∵AC=BC=202，∠ACB=90°，
∴AB=2AC=2×202=40cm，
∴CD=12AB=20cm，
2052=20210=22，且2<22<3，
∴如图1裁法最多能得到2条长方形纸条；
202÷52=4，
∴如图2裁法最多能得到3条长方形纸条；
(2)如图1，

∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AF=52cm，
∴EQ=40−52−52=(40−102)cm，
同理得：DP=40−102−102=(40−202)cm，
∴如图1裁法得到长方形纸条的总长度=EQ+DP=40−102+40−202=(80−302)cm；
如图2，

同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE=52cm，
∴PD=202−52=152cm，QG=152−52=102cm，⋅⋅⋅，
∴如图2裁法得到长方形纸条的总长度=152+102+52=302(cm)；
(3)如图4，

如图1裁法：PG=80−3024=(20−1522)cm，
FG=PG−PF=20−1522−52=(20−2522)cm，
如图2裁法：PG=3024=1522cm，
FG=PG−PF=1522−52=522cm，
∵20−2522<522，
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为(522)2=12.5(cm2). 
【解析】(1)如图3，过点C作CD⊥AB于D，利用CD的长÷52可得如图1裁法最多能得到的长方形纸条的条数，利用AC的长÷52可得如图2裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
(2)根据等腰直角三角形的性质分别计算如图1和如图2中长方形纸条的总长度；
(3)因为四边形EFGH是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长可得如图4中的PG的长，最后计算FG的长即可解答．
此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．

24.【答案】解：x+2+4x+x2x+2−4x+x2
=(x+2+4x+x2)(x+2+4x+x2)(x+2−4x+x2)(x+2+4x+x2)
=(x+2)2+2(x+2)4x+x2+4x+x2(x+2)2−(4x+x2)
=x2+4x+4+2(x+2)4x+x2+4x+x2x2+4x+4−4x−x2
=2x2+8x+4+2(x+2)4x+x24
=x2+4x+2+(x+2)4x+x22，
∵x=1a−a，
∴x=1a−2+a，
∴x+2=1a+a，x2+4x+2=a2+1a2，x2+4x=a2+1a2−2，
则原式=a2+1a2+(1a+a)a2+1a2−22
=a2+1a2+(1a+a)(1a−a)22
=a2+1a2+(1a+a)(1a−a)2
=a2+1a2+1a2−a22
=2a22
=1a2． 
【解析】先将所求式子分母有理化，然后化简，再根据x=1a−a，可以用a的代数式表示x，再将关于x的式子代入化简后的式子，整理化简即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法．

25.【答案】解：(1)要使−x−2有意义，必须x−2≥0，
即x≥2，
所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；

(2)52=1210，
所以x−2=10，
解得：x=12，
这两个二次根式的积为−10×52=−5． 
【解析】(1)根据二次根式有意义的条件得出x−2≥0，求出不等式的解集即可；
(2)先求出52=1210，得出x−2=10，求出x即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和同类二次根式的定义等知识点，能根据知识点得出不等式或方程是解此题的关键．