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2022-2023学年山东省菏泽市东明县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省菏泽市东明县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市东明县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知a
3. 将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′的坐标是( )
A. (−1,2) B. (7,2) C. (3,−2) D. (3,6)
4. 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. a=6，b=7，c=8 B. a=5，b=12，c=13
C. (c+b)(c−b)=a2 D. ∠A+∠B=∠C
5. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=60°，AD⊥BC于点D.则CD的长为( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
6. 一元一次不等式年x+5>23−x≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )
A. 65°
B. 70°
C. 75°
D. 80°
8. 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为( )
A. 18
B. 19
C. 22
D. 25
9. 若关于x的不等式组x−23≤mx−12>3−2x无解，则m的取值范围是( )
A. m≤1 B. m<1 C. m≥1 D. m>1
10. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，下列选项中错误的是( )
A. BD=CD且AD⊥BC
B. DE=DF
C. ∠BDE=∠CDF
D. 若点P为AC上任意一点，且DE=3，则DP的取值范围是PD<3
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 已知△ABC是等腰三角形，若∠A=80°，则△ABC的顶角度数是______ ．
12. 小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是______．
13. 若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是______．
14. 如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则D到AB的距离为______．
15. 如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E、连接BD、若CD=2，则AD的长为______ ．
16. 如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，则关于x的不等式x+b
17. 如图．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位，AB=8，DP=3，平移距离为6，则阴影部分的面积为______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，…那么点A20的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解不等式(组)
(1)1+2(x−1)≤5；
(2)5x−1≤3(x+1)x+13−x<3．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE=DF．
21. (本小题8.0分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A、B、C三点在格点上．
(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)求△ABC的面积．
22. (本小题8.0分)
某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同).经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
23. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB//CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．
(1)求证：△ABC≌△ECD；
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
24. (本小题8.0分)
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC分别交AB，AC于点E，F，则线段EF与BE，CF之间有怎样的数量关系？说明你的理由：
(2)如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE//BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF与BE，CF之间的数量关系______ ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵a
B、∵a
故B不符合题意；
C、∵a
故C符合题意；
D、∵a
故选：C．
根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由将点A(3,2)向左平移4个单位长度得点A′，可得点A′的坐标是(−1,2)．
故选：A．
根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”可直接进行求解．
本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移的规律是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、∵62+72≠82，则△ABC不能判断为直角三角形；故选项符合题意；
B、∵52+122=132，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
C、∵(c+b)(c−b)=a2，
∴c2−b2=a2，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
D、∵∠C=∠A+∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∠C=90°，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
故选：A．
利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可
本题主要考查了勾股定理逆定理，解题关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能作出判断．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠B=60°，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∴BD=12AB=5，
∵AB=AC=10，AD⊥BC，
∴CD=BD=5，
故选：D．
根据含30°的直角三角形性质得到BD=12AB=5，再根据等腰三角形三线合一的性质得到CD=BD=5．
此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含30°的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由x+5>2得：x>−3，
由3−x≥1得：x≤2，
则不等式组的解集为−3
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
由旋转得：∠BAD=60°，∠C=∠E=70°，
∴∠CAF=90°−∠C=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAF=80°，
故选：D．
根据垂直定义可得∠AFC=90°，然后利用旋转的性质可得：∠BAD=60°，∠C=∠E=70°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAF=20°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴△ABD的周长是19，
故选：B．
根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB=DC，然后即可得到AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】A
【解析】解：由x−23≤m得：x≤3m+2，
由x−12>3−2x得：x>5，
∵不等式组无解，
∴3m+2≤5，
解得m≤1，
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集情况得出关于m的不等式，解之即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD且AD⊥BC(三线合一)，
故A正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线．DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF(角平分线的性质)，
故B正确，不符合题意；
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BDE=∠CDF(等角的余角相等)，
故C正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线．DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∴DP的取值范围是PD≥3(垂线段最短)，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
利用等腰三角形的三线合一，角平分线的性质，等角的余角相等，垂线段最短逐一判断即可解题．
本题考查等腰三角形的三线合一，角平分线的性质，等角的余角相等，垂线段最短，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】80°或20°
【解析】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是80°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°−2×80°=20°；
综上，△ABC的顶角度数是80°或20°．
故答案为：80°或20°．
分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，此类题目，难点在于要分情况讨论．
12.【答案】5x+2(30−x)≤100
【解析】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30−x)本笔记本，
根据题意得：5x+2(30−x)≤100．
故答案为：5x+2(30−x)≤100．
设小张买了x支钢笔，则买了(30−x)本笔记本，根据总价=单价×购买数量结合费用不超过100元钱，即可得出关于x的一元一次不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】3
解得：3
此题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
14.【答案】4
【解析】解：∵BC=10，BD=6，
∴CD=4，
∵∠C=90°，∠1=∠2，
∴点D到边AB的距离等于CD=4，
故答案为：4．
由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB的距离等于CD的大小，问题可解．
此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=2，
∴AD=BD=2CD=4，
故答案为：4．
根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=∠A=30°，求得∠CBD=30°，即可求出答案．
此题考查线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】x<−1
【解析】解：由图象可知两直线的交点坐标为(−1,12)，且当x<−1，函数y1=x+b的图象在函数y2=kx−1图象的上方，
∴关于x的不等式x+b
观察函数图象得到，当x<−1，函数y1=x+b的图象都在函数y2=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b
17.【答案】39
【解析】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=8，
∴PE=DE−DP=8−3=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+PE)⋅BE=12(8+5)×6=39，
故答案为：39．
根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出OE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
18.【答案】(10,0)
【解析】解：∵A1(0,1)，
A2(1,1)，
A3(1,0)，
A4(2,0)，
A5(2,1)，…
∴纵坐标每四个点一个循环，
∵20=4×5，
∴A20是第5个周期的最后一个点，
∵每一个周期最后一点的坐标为：A4(2,0)，A8(4,0)，……
∴可推导一般性规律：第n个周期最后一点的坐标为A4n(2n,0)，
∴A20(10,0)，
故答案为：(10,0)．
结合图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而20=4×5，故A 20的纵坐标与A4(2,0)的纵坐标相同，根据每一个周期最后一点的坐标可推导一般性规律为：第n个周期最后一点的坐标为A4n(2n,0)，然后计算求解即可．
本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于正确的推导一般性规律．
19.【答案】解：(1)1+2(x−1)≤5，
1+2x−2≤5，
2x≤5+2−1，
2x≤6，
x≤3．
(2)5x−1≤3(x+1)①x+13−x<3②，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
(2)先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键．
20.【答案】证明：如图，连接AD．
因为AB=AC，
所以△ABC是等腰三角形
因为点D是BC边上的中点，
所以AD平分∠BAC，
因为DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
所以DE=DF．
【解析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质的有关知识，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键。
由AB=AC得到△ABC是等腰三角形，连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．
21.【答案】解：(1)如图△A1B1C1为所求，
因为关于原点对称，
所以C1坐标为(−3,−2)；
(2)S△ABC=2×3−12×2×1−12×2×1−12×3×1=6−1−1−32
=52．
【解析】(1)利用关于原点O对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22.【答案】解：(1)设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．
根据题意得：x+2y=2102x+3y=340，
解得：x=50y=80，
所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．
(2)设购买气排球n个，则购买篮球(50−n)个．
根据题意得：50n+80(50−n)≤3200n<30，
解得2623≤n<30，
又∵n为正整数，
∴排球的个数可以为27，28，29，
∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，
②购买排球28个，篮球22个，
③购买排球27个，篮球23个．
【解析】(1)设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解；
(2)设购买气排球n个，则购买篮球(50−n)个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：在Rt△ABC和Rt△ECD中，
AC=DEAB=EC，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD(HL)，
(2)解：AC⊥DE.理由如下：
∵△ABC≌△ECD，
∴∠BCA=∠CDE，
∵∠B=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
∴∠DFC=180°−(∠CDE+∠ACD)=90°，
∴AC⊥DE．
【解析】(1)根据HL即可证明△ABC≌△ECD．
(2)根据△ABC≌△ECD得到∠BCA=∠CDE，结合∠B=∠DCE=90°得到∠DFC=90°，即可得结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24.【答案】EF=BE−CF
【解析】解：(1)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，FC=FO，
∵EF=EO+FO，
∴EF=EB+FC，
(2)EF=BE−CF，
理由是：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO，
同理可得：FO=CF，
∵EF=EO−FO，
∴EF=BE−CF．
故答案为：EF=BE−CF．
(1)利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；
(2)利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．
2022-2023学年山东省菏泽市东明县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知a
3. 将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′的坐标是( )
A. (−1,2) B. (7,2) C. (3,−2) D. (3,6)
4. 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. a=6，b=7，c=8 B. a=5，b=12，c=13
C. (c+b)(c−b)=a2 D. ∠A+∠B=∠C
5. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=60°，AD⊥BC于点D.则CD的长为( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
6. 一元一次不等式年x+5>23−x≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )
A. 65°
B. 70°
C. 75°
D. 80°
8. 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为( )
A. 18
B. 19
C. 22
D. 25
9. 若关于x的不等式组x−23≤mx−12>3−2x无解，则m的取值范围是( )
A. m≤1 B. m<1 C. m≥1 D. m>1
10. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，下列选项中错误的是( )
A. BD=CD且AD⊥BC
B. DE=DF
C. ∠BDE=∠CDF
D. 若点P为AC上任意一点，且DE=3，则DP的取值范围是PD<3
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 已知△ABC是等腰三角形，若∠A=80°，则△ABC的顶角度数是______ ．
12. 小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是______．
13. 若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是______．
14. 如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则D到AB的距离为______．
15. 如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E、连接BD、若CD=2，则AD的长为______ ．
16. 如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，则关于x的不等式x+b
17. 如图．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位，AB=8，DP=3，平移距离为6，则阴影部分的面积为______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，…那么点A20的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解不等式(组)
(1)1+2(x−1)≤5；
(2)5x−1≤3(x+1)x+13−x<3．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE=DF．
21. (本小题8.0分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A、B、C三点在格点上．
(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)求△ABC的面积．
22. (本小题8.0分)
某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同).经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
23. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB//CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．
(1)求证：△ABC≌△ECD；
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
24. (本小题8.0分)
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC分别交AB，AC于点E，F，则线段EF与BE，CF之间有怎样的数量关系？说明你的理由：
(2)如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE//BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF与BE，CF之间的数量关系______ ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵a
B、∵a
故B不符合题意；
C、∵a
故C符合题意；
D、∵a
故选：C．
根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由将点A(3,2)向左平移4个单位长度得点A′，可得点A′的坐标是(−1,2)．
故选：A．
根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”可直接进行求解．
本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移的规律是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、∵62+72≠82，则△ABC不能判断为直角三角形；故选项符合题意；
B、∵52+122=132，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
C、∵(c+b)(c−b)=a2，
∴c2−b2=a2，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
D、∵∠C=∠A+∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∠C=90°，则△ABC能判断为直角三角形；故选项不符合题意；
故选：A．
利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可
本题主要考查了勾股定理逆定理，解题关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能作出判断．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠B=60°，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∴BD=12AB=5，
∵AB=AC=10，AD⊥BC，
∴CD=BD=5，
故选：D．
根据含30°的直角三角形性质得到BD=12AB=5，再根据等腰三角形三线合一的性质得到CD=BD=5．
此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含30°的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由x+5>2得：x>−3，
由3−x≥1得：x≤2，
则不等式组的解集为−3
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
由旋转得：∠BAD=60°，∠C=∠E=70°，
∴∠CAF=90°−∠C=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAF=80°，
故选：D．
根据垂直定义可得∠AFC=90°，然后利用旋转的性质可得：∠BAD=60°，∠C=∠E=70°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAF=20°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴△ABD的周长是19，
故选：B．
根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB=DC，然后即可得到AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】A
【解析】解：由x−23≤m得：x≤3m+2，
由x−12>3−2x得：x>5，
∵不等式组无解，
∴3m+2≤5，
解得m≤1，
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集情况得出关于m的不等式，解之即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD且AD⊥BC(三线合一)，
故A正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线．DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF(角平分线的性质)，
故B正确，不符合题意；
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BDE=∠CDF(等角的余角相等)，
故C正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线．DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∴DP的取值范围是PD≥3(垂线段最短)，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
利用等腰三角形的三线合一，角平分线的性质，等角的余角相等，垂线段最短逐一判断即可解题．
本题考查等腰三角形的三线合一，角平分线的性质，等角的余角相等，垂线段最短，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】80°或20°
【解析】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是80°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°−2×80°=20°；
综上，△ABC的顶角度数是80°或20°．
故答案为：80°或20°．
分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，此类题目，难点在于要分情况讨论．
12.【答案】5x+2(30−x)≤100
【解析】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30−x)本笔记本，
根据题意得：5x+2(30−x)≤100．
故答案为：5x+2(30−x)≤100．
设小张买了x支钢笔，则买了(30−x)本笔记本，根据总价=单价×购买数量结合费用不超过100元钱，即可得出关于x的一元一次不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】3
解得：3
此题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
14.【答案】4
【解析】解：∵BC=10，BD=6，
∴CD=4，
∵∠C=90°，∠1=∠2，
∴点D到边AB的距离等于CD=4，
故答案为：4．
由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB的距离等于CD的大小，问题可解．
此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；题目较为简单，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=2，
∴AD=BD=2CD=4，
故答案为：4．
根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=∠A=30°，求得∠CBD=30°，即可求出答案．
此题考查线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】x<−1
【解析】解：由图象可知两直线的交点坐标为(−1,12)，且当x<−1，函数y1=x+b的图象在函数y2=kx−1图象的上方，
∴关于x的不等式x+b
观察函数图象得到，当x<−1，函数y1=x+b的图象都在函数y2=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b
17.【答案】39
【解析】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=8，
∴PE=DE−DP=8−3=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+PE)⋅BE=12(8+5)×6=39，
故答案为：39．
根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出OE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
18.【答案】(10,0)
【解析】解：∵A1(0,1)，
A2(1,1)，
A3(1,0)，
A4(2,0)，
A5(2,1)，…
∴纵坐标每四个点一个循环，
∵20=4×5，
∴A20是第5个周期的最后一个点，
∵每一个周期最后一点的坐标为：A4(2,0)，A8(4,0)，……
∴可推导一般性规律：第n个周期最后一点的坐标为A4n(2n,0)，
∴A20(10,0)，
故答案为：(10,0)．
结合图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而20=4×5，故A 20的纵坐标与A4(2,0)的纵坐标相同，根据每一个周期最后一点的坐标可推导一般性规律为：第n个周期最后一点的坐标为A4n(2n,0)，然后计算求解即可．
本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于正确的推导一般性规律．
19.【答案】解：(1)1+2(x−1)≤5，
1+2x−2≤5，
2x≤5+2−1，
2x≤6，
x≤3．
(2)5x−1≤3(x+1)①x+13−x<3②，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
(2)先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键．
20.【答案】证明：如图，连接AD．
因为AB=AC，
所以△ABC是等腰三角形
因为点D是BC边上的中点，
所以AD平分∠BAC，
因为DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
所以DE=DF．
【解析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质的有关知识，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键。
由AB=AC得到△ABC是等腰三角形，连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．
21.【答案】解：(1)如图△A1B1C1为所求，
因为关于原点对称，
所以C1坐标为(−3,−2)；
(2)S△ABC=2×3−12×2×1−12×2×1−12×3×1=6−1−1−32
=52．
【解析】(1)利用关于原点O对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22.【答案】解：(1)设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．
根据题意得：x+2y=2102x+3y=340，
解得：x=50y=80，
所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．
(2)设购买气排球n个，则购买篮球(50−n)个．
根据题意得：50n+80(50−n)≤3200n<30，
解得2623≤n<30，
又∵n为正整数，
∴排球的个数可以为27，28，29，
∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，
②购买排球28个，篮球22个，
③购买排球27个，篮球23个．
【解析】(1)设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解；
(2)设购买气排球n个，则购买篮球(50−n)个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：在Rt△ABC和Rt△ECD中，
AC=DEAB=EC，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD(HL)，
(2)解：AC⊥DE.理由如下：
∵△ABC≌△ECD，
∴∠BCA=∠CDE，
∵∠B=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
∴∠DFC=180°−(∠CDE+∠ACD)=90°，
∴AC⊥DE．
【解析】(1)根据HL即可证明△ABC≌△ECD．
(2)根据△ABC≌△ECD得到∠BCA=∠CDE，结合∠B=∠DCE=90°得到∠DFC=90°，即可得结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24.【答案】EF=BE−CF
【解析】解：(1)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，FC=FO，
∵EF=EO+FO，
∴EF=EB+FC，
(2)EF=BE−CF，
理由是：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO，
同理可得：FO=CF，
∵EF=EO−FO，
∴EF=BE−CF．
故答案为：EF=BE−CF．
(1)利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；
(2)利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．
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