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2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最大的是( )
A. −1 B. 0 C. 1.4 D. 2
2. 计算a2⋅a4的结果是( )
A. a8 B. a4 C. a6 D. a2
3. 计算 12− 3的结果是( )
A. 9 B. 2 C. 2 3 D. 3
4. 已知A(2,0)，B(0,2)，下列四个点中与A、B在同一条直线上的是( )
A. (1,2) B. (−1,3) C. (−2,−3) D. (3,−2)
5. 如图，在⊙O中，C是AB上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA=DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是( )
A. ∠C=13∠AOC
B. ∠C=12∠AOC
C. ∠C=23∠AOC
D. ∠C=34∠AOC
6. 小明、小红在微信里互相给对方发红包.小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了.若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是( )
A. 赚了99元 B. 赚了100元 C. 亏了99元 D. 亏了100元
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 式子 x−2有意义，则x的取值范围是______ ．
8. 若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是______．
9. 一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为______．
10. 方程1x+2=1x2−4的解是______ ．
11. 淋巴细胞是人体内最小的白细胞，直径为6微米，即0.000006米，用科学记数法表示0.000006是______ ．
12. 已知a、b是一元二次方程2x2+3x−4=0的两个根，那么ab2+a2b的值是______ ．
13. 把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②.若剪开的三条棱中有两条是AB、AC，则剪开的另一条棱是______ (写出所有正确的答案)．
14. 如图，在▱ABCD中，E是线段AB的中点，DE交AC于点F，则AFAC= ______ ．
15. 已知整式M=a2−2a，下列关于整式M的值的结论：
①M的值可能为4；
②当a为小于0的实数时，M的值大于0；
③不存在这样的实数a，使得M的值小于−1．
其中所有正确结论的序号是______ ．
16. 如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作一个等边△ABC，则OC长的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)，其中a=2，b=1．
18. (本小题8.0分)
解方程：x(x−6)=−4(x−6)．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，D、D′分别是BC、B′C′的中点，且AD=A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′．
20. (本小题8.0分)
如图所示是某地区2018−2022年汽车进、出口量统计图．
(1)与上一年相比，出口量增长率最高的年份是(______ )
A.2019年
B.2020年
C.2021年
D.2022年
(2)根据图提供的信息，请写出两个不同于(1)的结论．
21. (本小题8.0分)
如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从A站上车，随机从B，C，D，E中的某站下车．
(1)甲从C站下车的概率是______ ；
(2)若乙与甲乘坐同一趟地铁从A站上车，随机从B、C、D、E中的某一站下车，求甲、乙两人
恰好从同一站下车的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等.为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m高的C处，此时测得B的仰角为20°.求两楼的高度和两楼之间的距离．
(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60.)
23. (本小题8.0分)
甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．
(1)求甲、乙商品的售价；
(2)某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍.要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？
24. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE=OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)若OF=10，则正方形ABCD的面积是______ ．
25. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+(k−2)x+3．
(1)该抛物线经过一个定点：______ (写出坐标)；
(2)点P(m,n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．
①若N=3，求k的值；
②若−1
在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题：“一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”.小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例．
(1)小明：如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，把△ABC沿AB翻折，得到△ABD，再以D为圆心，DB长为半径作弧，交射线CB于点E，连接DE，过点A、E分别作AC、BC的垂线，交于点F.则四边形AFED是该命题的一个反例．
请你说明此反例的合理性．
(2)小丽：作出图②，在△ABC中，∠B=90°，∠NMB=∠A.她发现四边形ABMN已满足一组对角相等，一个角是直角，但无法保证MN恰好与AB相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作图作出符合要求的M′N′，使四边形ABM′N′是该命题的一个反例(保留作图的痕迹，写出必要的文字说明)．
27. (本小题8.0分)
在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S1即图中灰色区域的面积，下同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S2．
(1)①S1= ______ S2= ______ ；(结果保留π)
②比较S1与S2的大小.(参考数据：π≈3.14， 3≈1.73.)
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、−1为负数，小于选项C、D中的正数，故A选项不符合题意；
B、0小于选项C、D中的正数，故B选项不符合题意；
C、比较1.4和 2的大小，计算1.42=1.96<2，所以1.4< 2，故C选项不符合题意；
C、比较1.4和 2的大小，计算1.42=1.96<2，所以1.4< 2，故D选项符合题意；
故选：D．
选项中有负数，有0，有正数，要选出最大的数，可直接排除A，B.再利用平方法比较1.4和 2的大小．
本题考查实数的大小比较，负数<0<正数，可利用平方法比较有理数和无理数的大小．
2.【答案】C
【解析】解：a2⋅a4=a2+4=a6．
故选C．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解： 12− 3=2 3− 3= 3．
故选：D．
先化简 12=2 3，再合并同类二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
4.【答案】B
【解析】解：设AB：y=kx+b，
把A(2,0)，B(0,2)代入关系式得，
0=2 k+b2=b，
∴k=−1b=2，
∴y=−x+2，
把x=1代入关系式得，y=1，故A不满足题意；
把x=−1代入关系式得，y=3，故B满足题意；
把x=−2代入关系式得，y=4，故C不满足题意；
把x=3代入关系式得，y=−1，故D不满足题意；
故选：B．
求出AB的函数关系式，依次代入各点判断即可．
本题考查了点的坐标的位置的判断，准确求出一次函数关系式是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接OD，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA=90°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=90°−∠AOC，
∵OD=OC，
∴∠D=∠C，
∵OD=OA，OA=DE，
∴OD=DE，
∴∠DEO=∠DOE=180°−∠D2=180°−∠C2，
∵∠DEO是△EOC的一个外角，
∴∠DEO=∠C+∠BOC，
∴180°−∠C2=∠C+90°−∠AOC，
∴3∠C=2∠AOC，
∴∠C=23∠AOC，
故选：C．
连接OD，根据垂直定义可得∠BOA=90°，从而可得∠BOC=90°−∠AOC，再根据等腰三角形的性质可得∠D=∠C，然后根据已知和等量代换可得OD=DE，从而可得∠DEO=∠DOE=180°−∠C2，再利用三角形是外角性质可得∠DEO=∠C+∠BOC，最后利用等量代换进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：1−2+3−4+5−6+...+197−198+199
=(−1)×1982+...+199
=(−1)×99+...+199
=(−99)+...+199
=100(元)，
则小红赚了100元，
故选：B．
根据题意小红收到的用正数表示，小红发出的用负数表示，列式求值．
本题考查了代数式的相关概念及列代数式，理解题意，确定收入为正，支出为负，进行列式计算，找到题目中的数量关系是解决问题的关键．
7.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似多边形面积比为4：9，
∴两个相似多边形相似比为2：3，
∴两个相似多边形周长比为2：3，
故答案为：2：3．
根据相似多边形周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
9.【答案】8
【解析】解：多边形的外角的个数是360÷45=8，
所以多边形的边数是8．
故答案为：8．
利用任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
10.【答案】x=3
【解析】解：1x+2=1x2−4，
方程两边都乘(x+2)(x−2)，得x−2=1，
解得：x=3，
检验：当x=3时，(x+2)(x−2)≠0，
所以分式方程的解是x=3．
故答案为：x=3．
方程两边都乘(x+2)(x−2)得出x−2=1，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
11.【答案】6×10−6
【解析】解：将数0.000006用科学记数法表示正确的是6×10−6．
故答案为：6×10−6．
对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】3
【解析】解：∵a、b是一元二次方程2x2+3x−4=0的两个根，
∴a+b=−32，ab=−2，
∴ab2+a2b=ab(a+b)=−2×(−32)=3，
故答案为：3．
由a、b是一元二次方程2x2+3x−4=0的两个根，得a+b=−32，ab=−2，把所求式子变形后代入计算即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和及两根之积，用整体代入法解决问题．
13.【答案】BD或CD
【解析】解：把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②.若剪开的三条棱中有两条是AB、AC，则剪开的另一条棱是BD或CD．
故答案为：BD或CD．
亲自动手具体操作，或根据三棱锥的图形特点作答．
本题考查了几何体的展开图的知识，动手具体操作的同时，注意培养空间想象能力．
14.【答案】13
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠CDE=∠AED，∠DCA=∠CAB，
∴△AEF∽△CDF，
∴AFCF=AECD，
∵E是AB的中点，
∴AE=12AB，
∴AE=12CD，
∴AECD=AFCF=12，
∴AFAC=13．
故答案为：13．
先根据平行四边形的性质得到CD=AB，AB//CD，则AB=CD=2AE，再利用AE//CD得到△AEF∽△CDF，然后利用比例性质求出答案．
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
15.【答案】①②③
【解析】解：①当M=4时，a2−2a=4，
整理得：a2−2a−4=0，
∵Δ=(−2)2−4×1×(−4)=4+16=20>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴M的值可能为4，
故①正确；
②M=a2−2a=a(a−2)，
∵a<0，
∴a−2<0，
∴a(a−2)>0，
∴M>0，
∴当a为小于0的实数时，M的值大于0，
故②正确；
③M=a2−2a=a2−2a+1−1=(a−1)2−1，
∵(a−1)2≥0，
∴(a−1)2−1≥−1，
∴M≥−1，
∴不存在这样的实数a，使得M的值小于−1，
故③正确；
所以，上列关于整式M的值的结论，其中所有正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
当M=4时，a2−2a=4，然后整理得：a2−2a−4=0，再计算出Δ的值，即可判断①；根据已知可得M=a2−2a=a(a−2)，再根据有理数的乘法法则进行计算，即可判断②；利用完全平方公式进行计算，即可判断③．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】2≤OC≤4
【解析】解：AB为弦、△ABC是等边角形
连接：AO、OC、OB，
在OC下方作等边三角形OCD，
则OC=OD=CD，∠OCD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠OCD，
∴∠ACO=∠BCD，
∴△CAO≌△CBD( SAS)，
∴BD=OA=2，
∴OD=4，
∴2≤OC≤4，
故答案为：2≤OC≤4，
连接OC下方作等边三角形OCD后，连接OB，BD，利用三角形三边之间的关系求得结论．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形三边之间的关系，读懂题意，运用相关知识是解决问题的关键．
17.【答案】解：(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)
=4a2+4ab+b2−4a2+b2
=4ab+2b2，
当a=2，b=1时，原式=4×2×1+2×12=10．
【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的混合运算进行化简是解此题的关键．
18.【答案】解：x(x−6)=−4(x−6)，
x(x−6)+4(x−6)=0，
(x−6)(x+4)=0，
∴x−6=0或x+4=0
∴x1=6，x2=−4．
【解析】先移项得到x(x−6)+4(x−6)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
19.【答案】证明：∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，BC=B′C′，
∴BD=B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
AB=A′B′ BD=B′D′ AD=A′D′ ，
∴△ABD≌△A′B′D′(SSS)，
∴∠B=∠B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′ ∠B=∠B′ BC=B′C′ ，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
【解析】依据BD=B′D′，AB=A′B′，AD=A′D′，即可判定△ABD≌△A′B′D′，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′，结合AB=A′B′，BC=B′C′，即可得判定△ABC≌△A′B′C′．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键．
20.【答案】D
【解析】解：(1)由统计图可知，与上一年相比，出口量增长率最高的年份是2022年，其增长率超过100%，
故答案为：D；
(2)由统计图可知，①2018年和2019年出口量比进口量低；②每年的出口量呈现上升趋势．
(1)根据统计图数据解答即可；
(2)根据统计图数据解答即可(答案不唯一)．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)甲从C出口出站的概率为14；
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，甲、乙两人从同一个出口出站的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好从同一站下车的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两人恰好从同一站下车的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：过点C作CF⊥BD，垂足为F，
由题意得：AC=DF=12m，CF=AD，
设AD=CF=x m，
在Rt△ABD中，∠BAD=31°，
∴BD=AD⋅tan31°≈0.6x(m)，
在Rt△CFB中，∠BCF=20°，
∴BF=CF⋅tan20°≈0.36x(m)，
∴BD=BF+DF=(0.36x+12)m，
∴0.6x=0.36x+12，
解得：x=50，
∴AD=50m，BD=30m，
∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．
【解析】过点C作CF⊥BD，垂足为F，根据题意可得：AC=DF=12m，CF=AD，然后设AD=CF=x m，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△CFB中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出BD的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲商品的售价是x元/千克，乙商品的售价是y元/千克，
根据题意得：x−y=6020(x−55)=60(y−15)，
解得：x=85y=25．
答：甲商品的售价是85元/千克，乙商品的售价是25元/千克；
(2)设购进甲商品m千克，则购进乙商品(120−m)千克，
根据题意得：m≤2(120−m)，
解得：m≤80．
设购进的两种商品销售完后获得的总利润为w元，则w=(85−55)m+(25−15)(120−m)，
即w=20m+1200，
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=80时，w取得最大值，此时120−m=120−80=40．
答：要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲商品80千克，乙商品40千克．
【解析】(1)设甲商品的售价是x元/千克，乙商品的售价是y元/千克，根据“每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进甲商品m千克，则购进乙商品(120−m)千克，根据购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种商品销售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】10
【解析】(1)证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形，
∴AC是⊙O的直径，
∵EF与⊙O相切于点C，
∴AC⊥EF，
∵OE=OF，
∴CF=CE，∠FOC=∠EOC，
∴∠AOF=∠AOE，
∵OA=OA，
∴△AOF≌△AOE(SAS)，
∴AF=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE=90°，
∴AC=12EF=CF=CE，
∴∠CAE=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=CB，
∴矩形ABCD是正方形；
(2)解：∵OC=12AC，AC=CF，
∴CF=2OC，
∵OF=10，OF2=OC2+CF2，
∴102=OC2+4OC2，
∴OC=2 5，
∴AB= 22OC= 10，
∴AB2=10，
∴正方形ABCD的面积是10．
故答案为：10．
(1)连接AC，证明△AOF≌△AOE(SAS)，可得AF=AE，然后证明AB=CB，即可解决问题；
(2)根据勾股定理求出OC=2 5，进而可以求出正方形ABCD的面积．
本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
25.【答案】(0,3)
【解析】(1)解：∵y=x2+(k−2)x+3，
∴y=x(x+k−2)+3，
∴当x=0时，y=3，
∴无论k取何值，抛物线经过(0,3)．
故答案为：(0,3)．
(2)①∵y=x2+(k−2)x+3，a=1>0，
∴二次函数的图象是开口向上的，点P为顶点时的n最小，
∵N=3，
∴4×3−(k−2)24=3，
解得k=2，
答：k的值为2．
②∵−1
∴−9<−(k−2)2≤0，
∵N=4×3−(k−2)24≤3，
∴34
(2)①由二次函数图象的顶点公式可求得k值；
②已知k的取值范围，可求得顶点纵坐标的取值范围，也就得到N的取值范围．
本题考查了二次函数的性质及最值，解题的关键是掌握二次函数的性质及最值的求法．
26.【答案】解：(1)∵△ABD由Rt△ABC翻折得到，
∴AC=AD，∠C=∠ADB=90°，
∵EF⊥CE，AC⊥AF，
∴∠CAF=∠CEF=∠C=90°，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AC=EF，
∴AD=EF，在四边形ACBD中，∠DAC=180°−∠DBC，∠DBE=180°−∠DBC，
∴∠DAE=∠DBE，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DAC=∠DEB，
∵∠FAD=90°−∠DAC，∠FED=90°−∠DEB，
∴∠FAD=∠FED<90°，
∴四边形ADEF满足一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形，但是它不是矩形；
(2)如图所示，
①在射线MN上截取MD=AB；
②作DN′//BC，交AC于点N′；
③在BC上截取MM=DN′，连接MN′，四边形ABM′N′即为所求．
【解析】(1)根据条件证明“四边形ADEF是一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形”即可得到答案；
(2)根据①在射线MN上截取MD=AB；②作DN//BC，交AC于点N；③在BC上截取MM=DN′，连接MN′，四边形ABMN即为所求．
本题考查命题与定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
27.【答案】4π 8π−8 3
【解析】解：(1)①方案1：∵将小棒绕AB中点O旋转180°到B′A′，
∴小棒扫过区域是以AB为直径的圆，
∴S1=π×22=4π，
方案2：∵扇形ABC的面积=60×π×16360=83π，
∴S2=3×83π− 34×16×2=8π−8 3，
故答案为：4π；8π−8 3；
②∵S1=4π=4×3.14=12.56，S2=8×3.14−8×1.73=11.28，且12.56>11.28，
∴S1>S2；
(2)①依题意补全方案3的示意图如下：
②连接EM，M为切点，则M为AA′的中点，EM=4，
设AM=x，则AE=2x，
由勾股定理得：AM2+EM2=AE2，即：x2+42=4x2，
解得：x=4 33，
∴AA′=AE=2x=8 33，
∴S3=12AA′⋅EM=12×8 33×4=16 33．
(3)设计方案4：如图，△ABC是等边三角形，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到AC( A′B′)边，接着两次同样的方式旋转到BC( A′B′)边和AB( B′A′)边，最终小棒扫过的区域是如图所示．
对于第一次旋转，当旋转AB旋转到DH时，此时DH⊥BC，
又作DE//AB，则S△CDE=S3=S△ABC+S梯形ABED，
依题意得：扫过的区域比等边三角形ABC多三块全等的图形，记每块面积为a，
则有a
∴a
②利用参考数据计算近似值再比较大小即可；
(2)①依据题意补全方案3的示意图即可；
②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；
(3)作等边△ABC，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调到AC(A′B′)边，接着两次同样的方式旋转到BC(A′B′)边和AB(B′A′)边，从而得到最终小棒搜索的区域，由于所得区域非常不规则，因此可得用放缩法证明S4
2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最大的是( )
A. −1 B. 0 C. 1.4 D. 2
2. 计算a2⋅a4的结果是( )
A. a8 B. a4 C. a6 D. a2
3. 计算 12− 3的结果是( )
A. 9 B. 2 C. 2 3 D. 3
4. 已知A(2,0)，B(0,2)，下列四个点中与A、B在同一条直线上的是( )
A. (1,2) B. (−1,3) C. (−2,−3) D. (3,−2)
5. 如图，在⊙O中，C是AB上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA=DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是( )
A. ∠C=13∠AOC
B. ∠C=12∠AOC
C. ∠C=23∠AOC
D. ∠C=34∠AOC
6. 小明、小红在微信里互相给对方发红包.小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了.若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是( )
A. 赚了99元 B. 赚了100元 C. 亏了99元 D. 亏了100元
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 式子 x−2有意义，则x的取值范围是______ ．
8. 若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是______．
9. 一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为______．
10. 方程1x+2=1x2−4的解是______ ．
11. 淋巴细胞是人体内最小的白细胞，直径为6微米，即0.000006米，用科学记数法表示0.000006是______ ．
12. 已知a、b是一元二次方程2x2+3x−4=0的两个根，那么ab2+a2b的值是______ ．
13. 把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②.若剪开的三条棱中有两条是AB、AC，则剪开的另一条棱是______ (写出所有正确的答案)．
14. 如图，在▱ABCD中，E是线段AB的中点，DE交AC于点F，则AFAC= ______ ．
15. 已知整式M=a2−2a，下列关于整式M的值的结论：
①M的值可能为4；
②当a为小于0的实数时，M的值大于0；
③不存在这样的实数a，使得M的值小于−1．
其中所有正确结论的序号是______ ．
16. 如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作一个等边△ABC，则OC长的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)，其中a=2，b=1．
18. (本小题8.0分)
解方程：x(x−6)=−4(x−6)．
19. (本小题8.0分)
如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，D、D′分别是BC、B′C′的中点，且AD=A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′．
20. (本小题8.0分)
如图所示是某地区2018−2022年汽车进、出口量统计图．
(1)与上一年相比，出口量增长率最高的年份是(______ )
A.2019年
B.2020年
C.2021年
D.2022年
(2)根据图提供的信息，请写出两个不同于(1)的结论．
21. (本小题8.0分)
如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从A站上车，随机从B，C，D，E中的某站下车．
(1)甲从C站下车的概率是______ ；
(2)若乙与甲乘坐同一趟地铁从A站上车，随机从B、C、D、E中的某一站下车，求甲、乙两人
恰好从同一站下车的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等.为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m高的C处，此时测得B的仰角为20°.求两楼的高度和两楼之间的距离．
(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60.)
23. (本小题8.0分)
甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．
(1)求甲、乙商品的售价；
(2)某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍.要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？
24. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE=OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)若OF=10，则正方形ABCD的面积是______ ．
25. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+(k−2)x+3．
(1)该抛物线经过一个定点：______ (写出坐标)；
(2)点P(m,n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．
①若N=3，求k的值；
②若−1
在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题：“一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”.小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例．
(1)小明：如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，把△ABC沿AB翻折，得到△ABD，再以D为圆心，DB长为半径作弧，交射线CB于点E，连接DE，过点A、E分别作AC、BC的垂线，交于点F.则四边形AFED是该命题的一个反例．
请你说明此反例的合理性．
(2)小丽：作出图②，在△ABC中，∠B=90°，∠NMB=∠A.她发现四边形ABMN已满足一组对角相等，一个角是直角，但无法保证MN恰好与AB相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作图作出符合要求的M′N′，使四边形ABM′N′是该命题的一个反例(保留作图的痕迹，写出必要的文字说明)．
27. (本小题8.0分)
在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S1即图中灰色区域的面积，下同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S2．
(1)①S1= ______ S2= ______ ；(结果保留π)
②比较S1与S2的大小.(参考数据：π≈3.14， 3≈1.73.)
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、−1为负数，小于选项C、D中的正数，故A选项不符合题意；
B、0小于选项C、D中的正数，故B选项不符合题意；
C、比较1.4和 2的大小，计算1.42=1.96<2，所以1.4< 2，故C选项不符合题意；
C、比较1.4和 2的大小，计算1.42=1.96<2，所以1.4< 2，故D选项符合题意；
故选：D．
选项中有负数，有0，有正数，要选出最大的数，可直接排除A，B.再利用平方法比较1.4和 2的大小．
本题考查实数的大小比较，负数<0<正数，可利用平方法比较有理数和无理数的大小．
2.【答案】C
【解析】解：a2⋅a4=a2+4=a6．
故选C．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解： 12− 3=2 3− 3= 3．
故选：D．
先化简 12=2 3，再合并同类二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
4.【答案】B
【解析】解：设AB：y=kx+b，
把A(2,0)，B(0,2)代入关系式得，
0=2 k+b2=b，
∴k=−1b=2，
∴y=−x+2，
把x=1代入关系式得，y=1，故A不满足题意；
把x=−1代入关系式得，y=3，故B满足题意；
把x=−2代入关系式得，y=4，故C不满足题意；
把x=3代入关系式得，y=−1，故D不满足题意；
故选：B．
求出AB的函数关系式，依次代入各点判断即可．
本题考查了点的坐标的位置的判断，准确求出一次函数关系式是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接OD，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA=90°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=90°−∠AOC，
∵OD=OC，
∴∠D=∠C，
∵OD=OA，OA=DE，
∴OD=DE，
∴∠DEO=∠DOE=180°−∠D2=180°−∠C2，
∵∠DEO是△EOC的一个外角，
∴∠DEO=∠C+∠BOC，
∴180°−∠C2=∠C+90°−∠AOC，
∴3∠C=2∠AOC，
∴∠C=23∠AOC，
故选：C．
连接OD，根据垂直定义可得∠BOA=90°，从而可得∠BOC=90°−∠AOC，再根据等腰三角形的性质可得∠D=∠C，然后根据已知和等量代换可得OD=DE，从而可得∠DEO=∠DOE=180°−∠C2，再利用三角形是外角性质可得∠DEO=∠C+∠BOC，最后利用等量代换进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：1−2+3−4+5−6+...+197−198+199
=(−1)×1982+...+199
=(−1)×99+...+199
=(−99)+...+199
=100(元)，
则小红赚了100元，
故选：B．
根据题意小红收到的用正数表示，小红发出的用负数表示，列式求值．
本题考查了代数式的相关概念及列代数式，理解题意，确定收入为正，支出为负，进行列式计算，找到题目中的数量关系是解决问题的关键．
7.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似多边形面积比为4：9，
∴两个相似多边形相似比为2：3，
∴两个相似多边形周长比为2：3，
故答案为：2：3．
根据相似多边形周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
9.【答案】8
【解析】解：多边形的外角的个数是360÷45=8，
所以多边形的边数是8．
故答案为：8．
利用任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
10.【答案】x=3
【解析】解：1x+2=1x2−4，
方程两边都乘(x+2)(x−2)，得x−2=1，
解得：x=3，
检验：当x=3时，(x+2)(x−2)≠0，
所以分式方程的解是x=3．
故答案为：x=3．
方程两边都乘(x+2)(x−2)得出x−2=1，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
11.【答案】6×10−6
【解析】解：将数0.000006用科学记数法表示正确的是6×10−6．
故答案为：6×10−6．
对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】3
【解析】解：∵a、b是一元二次方程2x2+3x−4=0的两个根，
∴a+b=−32，ab=−2，
∴ab2+a2b=ab(a+b)=−2×(−32)=3，
故答案为：3．
由a、b是一元二次方程2x2+3x−4=0的两个根，得a+b=−32，ab=−2，把所求式子变形后代入计算即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和及两根之积，用整体代入法解决问题．
13.【答案】BD或CD
【解析】解：把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②.若剪开的三条棱中有两条是AB、AC，则剪开的另一条棱是BD或CD．
故答案为：BD或CD．
亲自动手具体操作，或根据三棱锥的图形特点作答．
本题考查了几何体的展开图的知识，动手具体操作的同时，注意培养空间想象能力．
14.【答案】13
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠CDE=∠AED，∠DCA=∠CAB，
∴△AEF∽△CDF，
∴AFCF=AECD，
∵E是AB的中点，
∴AE=12AB，
∴AE=12CD，
∴AECD=AFCF=12，
∴AFAC=13．
故答案为：13．
先根据平行四边形的性质得到CD=AB，AB//CD，则AB=CD=2AE，再利用AE//CD得到△AEF∽△CDF，然后利用比例性质求出答案．
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
15.【答案】①②③
【解析】解：①当M=4时，a2−2a=4，
整理得：a2−2a−4=0，
∵Δ=(−2)2−4×1×(−4)=4+16=20>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴M的值可能为4，
故①正确；
②M=a2−2a=a(a−2)，
∵a<0，
∴a−2<0，
∴a(a−2)>0，
∴M>0，
∴当a为小于0的实数时，M的值大于0，
故②正确；
③M=a2−2a=a2−2a+1−1=(a−1)2−1，
∵(a−1)2≥0，
∴(a−1)2−1≥−1，
∴M≥−1，
∴不存在这样的实数a，使得M的值小于−1，
故③正确；
所以，上列关于整式M的值的结论，其中所有正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
当M=4时，a2−2a=4，然后整理得：a2−2a−4=0，再计算出Δ的值，即可判断①；根据已知可得M=a2−2a=a(a−2)，再根据有理数的乘法法则进行计算，即可判断②；利用完全平方公式进行计算，即可判断③．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】2≤OC≤4
【解析】解：AB为弦、△ABC是等边角形
连接：AO、OC、OB，
在OC下方作等边三角形OCD，
则OC=OD=CD，∠OCD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠OCD，
∴∠ACO=∠BCD，
∴△CAO≌△CBD( SAS)，
∴BD=OA=2，
∴OD=4，
∴2≤OC≤4，
故答案为：2≤OC≤4，
连接OC下方作等边三角形OCD后，连接OB，BD，利用三角形三边之间的关系求得结论．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形三边之间的关系，读懂题意，运用相关知识是解决问题的关键．
17.【答案】解：(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)
=4a2+4ab+b2−4a2+b2
=4ab+2b2，
当a=2，b=1时，原式=4×2×1+2×12=10．
【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的混合运算进行化简是解此题的关键．
18.【答案】解：x(x−6)=−4(x−6)，
x(x−6)+4(x−6)=0，
(x−6)(x+4)=0，
∴x−6=0或x+4=0
∴x1=6，x2=−4．
【解析】先移项得到x(x−6)+4(x−6)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
19.【答案】证明：∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，BC=B′C′，
∴BD=B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
AB=A′B′ BD=B′D′ AD=A′D′ ，
∴△ABD≌△A′B′D′(SSS)，
∴∠B=∠B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′ ∠B=∠B′ BC=B′C′ ，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
【解析】依据BD=B′D′，AB=A′B′，AD=A′D′，即可判定△ABD≌△A′B′D′，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′，结合AB=A′B′，BC=B′C′，即可得判定△ABC≌△A′B′C′．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键．
20.【答案】D
【解析】解：(1)由统计图可知，与上一年相比，出口量增长率最高的年份是2022年，其增长率超过100%，
故答案为：D；
(2)由统计图可知，①2018年和2019年出口量比进口量低；②每年的出口量呈现上升趋势．
(1)根据统计图数据解答即可；
(2)根据统计图数据解答即可(答案不唯一)．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)甲从C出口出站的概率为14；
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，甲、乙两人从同一个出口出站的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好从同一站下车的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两人恰好从同一站下车的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：过点C作CF⊥BD，垂足为F，
由题意得：AC=DF=12m，CF=AD，
设AD=CF=x m，
在Rt△ABD中，∠BAD=31°，
∴BD=AD⋅tan31°≈0.6x(m)，
在Rt△CFB中，∠BCF=20°，
∴BF=CF⋅tan20°≈0.36x(m)，
∴BD=BF+DF=(0.36x+12)m，
∴0.6x=0.36x+12，
解得：x=50，
∴AD=50m，BD=30m，
∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．
【解析】过点C作CF⊥BD，垂足为F，根据题意可得：AC=DF=12m，CF=AD，然后设AD=CF=x m，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△CFB中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出BD的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲商品的售价是x元/千克，乙商品的售价是y元/千克，
根据题意得：x−y=6020(x−55)=60(y−15)，
解得：x=85y=25．
答：甲商品的售价是85元/千克，乙商品的售价是25元/千克；
(2)设购进甲商品m千克，则购进乙商品(120−m)千克，
根据题意得：m≤2(120−m)，
解得：m≤80．
设购进的两种商品销售完后获得的总利润为w元，则w=(85−55)m+(25−15)(120−m)，
即w=20m+1200，
∵20>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=80时，w取得最大值，此时120−m=120−80=40．
答：要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲商品80千克，乙商品40千克．
【解析】(1)设甲商品的售价是x元/千克，乙商品的售价是y元/千克，根据“每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进甲商品m千克，则购进乙商品(120−m)千克，根据购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种商品销售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】10
【解析】(1)证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形，
∴AC是⊙O的直径，
∵EF与⊙O相切于点C，
∴AC⊥EF，
∵OE=OF，
∴CF=CE，∠FOC=∠EOC，
∴∠AOF=∠AOE，
∵OA=OA，
∴△AOF≌△AOE(SAS)，
∴AF=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE=90°，
∴AC=12EF=CF=CE，
∴∠CAE=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=CB，
∴矩形ABCD是正方形；
(2)解：∵OC=12AC，AC=CF，
∴CF=2OC，
∵OF=10，OF2=OC2+CF2，
∴102=OC2+4OC2，
∴OC=2 5，
∴AB= 22OC= 10，
∴AB2=10，
∴正方形ABCD的面积是10．
故答案为：10．
(1)连接AC，证明△AOF≌△AOE(SAS)，可得AF=AE，然后证明AB=CB，即可解决问题；
(2)根据勾股定理求出OC=2 5，进而可以求出正方形ABCD的面积．
本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
25.【答案】(0,3)
【解析】(1)解：∵y=x2+(k−2)x+3，
∴y=x(x+k−2)+3，
∴当x=0时，y=3，
∴无论k取何值，抛物线经过(0,3)．
故答案为：(0,3)．
(2)①∵y=x2+(k−2)x+3，a=1>0，
∴二次函数的图象是开口向上的，点P为顶点时的n最小，
∵N=3，
∴4×3−(k−2)24=3，
解得k=2，
答：k的值为2．
②∵−1
∴−9<−(k−2)2≤0，
∵N=4×3−(k−2)24≤3，
∴34
(2)①由二次函数图象的顶点公式可求得k值；
②已知k的取值范围，可求得顶点纵坐标的取值范围，也就得到N的取值范围．
本题考查了二次函数的性质及最值，解题的关键是掌握二次函数的性质及最值的求法．
26.【答案】解：(1)∵△ABD由Rt△ABC翻折得到，
∴AC=AD，∠C=∠ADB=90°，
∵EF⊥CE，AC⊥AF，
∴∠CAF=∠CEF=∠C=90°，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AC=EF，
∴AD=EF，在四边形ACBD中，∠DAC=180°−∠DBC，∠DBE=180°−∠DBC，
∴∠DAE=∠DBE，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DAC=∠DEB，
∵∠FAD=90°−∠DAC，∠FED=90°−∠DEB，
∴∠FAD=∠FED<90°，
∴四边形ADEF满足一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形，但是它不是矩形；
(2)如图所示，
①在射线MN上截取MD=AB；
②作DN′//BC，交AC于点N′；
③在BC上截取MM=DN′，连接MN′，四边形ABM′N′即为所求．
【解析】(1)根据条件证明“四边形ADEF是一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形”即可得到答案；
(2)根据①在射线MN上截取MD=AB；②作DN//BC，交AC于点N；③在BC上截取MM=DN′，连接MN′，四边形ABMN即为所求．
本题考查命题与定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
27.【答案】4π 8π−8 3
【解析】解：(1)①方案1：∵将小棒绕AB中点O旋转180°到B′A′，
∴小棒扫过区域是以AB为直径的圆，
∴S1=π×22=4π，
方案2：∵扇形ABC的面积=60×π×16360=83π，
∴S2=3×83π− 34×16×2=8π−8 3，
故答案为：4π；8π−8 3；
②∵S1=4π=4×3.14=12.56，S2=8×3.14−8×1.73=11.28，且12.56>11.28，
∴S1>S2；
(2)①依题意补全方案3的示意图如下：
②连接EM，M为切点，则M为AA′的中点，EM=4，
设AM=x，则AE=2x，
由勾股定理得：AM2+EM2=AE2，即：x2+42=4x2，
解得：x=4 33，
∴AA′=AE=2x=8 33，
∴S3=12AA′⋅EM=12×8 33×4=16 33．
(3)设计方案4：如图，△ABC是等边三角形，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到AC( A′B′)边，接着两次同样的方式旋转到BC( A′B′)边和AB( B′A′)边，最终小棒扫过的区域是如图所示．
对于第一次旋转，当旋转AB旋转到DH时，此时DH⊥BC，
又作DE//AB，则S△CDE=S3=S△ABC+S梯形ABED，
依题意得：扫过的区域比等边三角形ABC多三块全等的图形，记每块面积为a，
则有a
∴a
②利用参考数据计算近似值再比较大小即可；
(2)①依据题意补全方案3的示意图即可；
②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；
(3)作等边△ABC，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调到AC(A′B′)边，接着两次同样的方式旋转到BC(A′B′)边和AB(B′A′)边，从而得到最终小棒搜索的区域，由于所得区域非常不规则，因此可得用放缩法证明S4
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