【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--空间向量与立体几何单元 练习题（含解析）

这是一份【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--空间向量与立体几何单元 练习题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高中数学空间向量与立体几何单元练习题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（    ）
A． B． C．5 D．7
3．已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）．
A． B． C． D．
4．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（    ）

A．6 B．12 C． D．
5．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（    ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
6．已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（    ）
A． B． C． D．
7．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ）
A．、、共线 B．、共线
C．、共线 D．O、A、B、C四点共面
8．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
9．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）
A． B． C．1 D．
10．在正方体中，，分别为，的中点，则（    ）
A．平面 B．异面直线与所成的角为30°
C．平面平面 D．平面平面
二、填空题
11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.
12．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．

14．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
三、解答题
15．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点．

(1)求证：∥平面．
(2)若平面ABC，，求证：平面．

16．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：（1）EH∥平面BCD；

（2）BD∥平面EFGH.

17．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点O，E为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面.

18．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

高中数学空间向量与立体几何单元练习题答案
1．A
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
2．D
【解析】求出，，利用与数量积为0，求解即可.
【详解】，


可得，，
故选：D
3．B
【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.
【详解】设为空间坐标原点，
.
故选：B
4．B
【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原是一个直角三角形，其中直角边，直接求解其面积即可．
【详解】解：由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边，
∴．
故选：B．
5．C
【分析】由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
6．D
【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积
【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，
所以该圆柱的侧面积为.
故选：D
7．D
【解析】根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.
【详解】因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，
所以O、A、B、C四点共面，
故选：D
8．B
【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.
【详解】在正方体中，连接，，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
即为异面直线与所成角，
不妨设，则，，
取的中点，因为，所以，
在直角中，可得.
故选：B.

9．C
【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
10．D
【分析】A项反证法可得；
B项由平移法计算异面直线所成角；
C项由面面平行的判断和性质可得结果；
D项建立空间直角坐标系可得结果.
【详解】对于选项A，假设面 ，则，这与已知与不垂直相矛盾，所以假设不成立.

故选项A错误；
对于选项B，连接，，

因为，所以为异面直线与所成的角或补角，
又因为△为等边三角形，所以，故选项B错误；
对于选项C，

因为，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面与平面相交，所以平面与平面也相交，故选项C错误；
对于选项D，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体的棱长为1，则，，，，可得，，，设平面的法向量为，
则 ，可取，则，，即，
设平面的法向量为，则，
可取，则，，可得平面的一个法向量为，
由，所以，即平面平面，故选项D正确.
故选：D.
11．135°
【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB∥CD，可得，进而得出结论.
【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB∥CD，
，
即.
故答案为：135°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.
12．-1
【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
13．
【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．
【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，
从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，
而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，
所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．
，，
所以所求表面积为．
故答案为：．

14．
【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.
【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，
当时的最小值是，

取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.
取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.
故答案为：.
15．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.

【分析】(1)连接，交于点，连接，用中位线证明即可；
(2)证明CD⊥AB，CD⊥即可.
【详解】（1）连接，交于点，连接
∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点.
∵点是的中点，∴是的中位线，∴，
又平面，平面，∴∥平面.

（2）∵平面，平面，∴，
∵，，∴，
∵，平面，
∴平面.
16．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；
（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.
【详解】（1）∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴EH∥平面BCD；
（2）∵FG为△CBD的中位线，
∴FG∥BD，
∴FG∥EH，
∴E、F、G、H四点共面，
∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点，
∵E为的中点，∴，
又∵平面平面，∴平面；
（2）证明：∵四边形为正方形，∴，
∵平面，且平面，所以，
又∵平面，且，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
18．(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,

所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．

如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.