【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第 3 章圆锥曲线的方程（单元测试）含解析

第 3 章圆锥曲线的方程（单元测试）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．双曲线＝1的焦点坐标是（　　）

A．（0，±1） B．（±1，0） C． D．

2．椭圆+＝1的离心率是（　　）

A． B． C． D．

3．抛物线y2＝﹣2x的准线方程为（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．

4．已知平面α和两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（　　）

A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

5．设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直于l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（　　）

A． B． C． D．

6．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（　　）

A． B．3 C． D．

7．已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（　　）

A．＝1 B．y2﹣＝1 C．＝1 D．y2﹣＝1

8．已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△AF1F2的内切圆的半径的最大值是（　　）

A．1 B． C． D．

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．下列有关双曲线2x2﹣y2＝8的性质说法正确的是（　　）

A．离心率为 B．顶点坐标为（0，±2） 

C．实轴长为4 D．虚轴长为

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率，则下列结论正确的是（　　）

A．准线方程为x＝﹣3 B．焦点坐标 

C．点P的坐标为 D．PF的长为3

11．已知椭圆C：内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．椭圆的焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0） 

B．椭圆C的长轴长为4 

C．直线l的方程为x+y﹣3＝0 

D．|AB|＝

12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（　　）

A．与共轭的双曲线是 

B．互为共轭的双曲线渐近线不相同 

C．互为共轭的双曲线的离心率为e1，e2，则e1e2≥2 

D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．已知O为坐标原点，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 　   　．

14．若关于x，y的方程＝1表示的是曲线C，给出下列四个命题：

①若C为椭圆，则1＜t＜3；

②若C为双曲线，则t＞3或t＜1；

③曲线C不可能是圆；

④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2．

其中正确的命题是 　   　．（把所有正确命题的序号都填在横线上）

15．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲

线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为　   　．

16．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为　   　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．求适合下列条件的椭圆标准方程：

（1）与椭圆+y2＝1有相同的焦点，且经过点（1，）；

（2）经过A（2，﹣），B（﹣，﹣）两点．

18．求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；

（2）与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点．

19．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点．

①求弦长|AB|；

②求证：OA⊥OB．

20．如图，椭圆C：x2+3y2＝a2（a＞0）．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若a＝，M，N是椭圆C上两点，且|MN|＝2，求△MON面积的最大值．

21．如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，短轴长为2，椭圆的左、右顶点为A1、A2.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．

（1）求椭圆C和抛物线E的方程；

（2）记△ABA1的面积为S1，△MA2Q的面积为S2，若S1≥3S2，求直线l在y轴上截距的范围．

22．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为y＝x．

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS|•|OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）．