【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第一章 空间向量与立体几何 单元测试（含答案）

这是一份【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第一章 空间向量与立体几何 单元测试（含答案），共5页。

第一章 空间向量与立体几何
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 下列命题正确的是(    )
A. 若a=1,−2,−1，b=−2,4,2，则a//b
B. 若a=1,−2,−1，b=−2,4,2，则a⊥b
C. 若a=1,−2,2，b=2,−4,1，则a//b
D. 若a=1,−2,2，b=2,−4,1，则a⊥b
2. 若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(    )
A. a,b+c,b+b B. a,a+c,a+b C. a+b+c,c,b D. b,a−b,a+b
3. 空间向量a=(1,0,−2)，b=(2,−1,1)，则a与b的夹角为(    )
A. 0° B. 30° C. 60° D. 90°
4. 一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射后到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是(    )
A. 37 B. 33 C. 47 D. 57
5. 若直线l的方向向量为u=(1,−2,3)，平面α的法向量为n=(−2,4,−6)，则．(    )
A. l//α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α相交但不垂直
6. 已知直线l的方向向量a=(2,3,λ)，平面α的法向量n1=(2,1,7)，平面β的法向量n2=(−3,−2,1)，若直线l//平面α，则直线l与平面β所成角的余弦值为
A. 3 314 B. 1314 C. 114 D. 19514
7. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，AA1=2AB=2，∠A1AD=
∠A1AB=60∘，E是棱AD的中点，则直线B1E与直线BD1所成角的余弦值为(    )

A. 3 510 B. 65 C. 3 610 D. 55
8. 已知四面体O−ABC，G是△ABC的重心，P是线段OG上的点，且OP=2PG，若OP=xOA+yOB+zOC，则(x,y,z)为(    )
A. (16,16,16) B. (29,29,29) C. (13,13,13) D. (12,12,12)
9. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=1，AD=2，AA1=3，M为B1C1的中点，则AM的长等于(    )
A. 11 B. 10 C. 3 D. 7
10. 如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则(    )
A. 存在点G，使PG⊥EF成立 B. 存在点G，使FG⊥EP成立
C. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立 D. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
二、多选题
11. 已知四边形ABCD是平行四边形，A(0,0,−1)，B(−2,0,0)，C(0,−2,2)，则(    )
A. 点D的坐标是(−2,−2,3) B. BD= 21
C. cos∠DAB= 1515 D. 四边形ABCD的面积是2 14
12. 若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是
A. b+c，b，b−c B. a→+b，a→−b，c
C. a，a→+b，a→−b D. a→+b，a→+b+c，c
13. 下列结论正确的是(    )
A. 直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量u=(0,−5,0)，则l//α
B. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)，则α⊥β
C. 若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的法向量m=(3,6,k)，若l⊥a，则实数k=15
D. 若AB=(2,−1,−4)，AC=(4,2,0)，AP=(0,−4,−8)，则点P在平面ABC内
14. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(    )
A. AC 1=6 6 B. AC ​1⊥DB
C. 向量B1C与AA1的夹角是60° D. BD ​1与AC所成角的余弦值为 63
15. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1D1，DD1的中点，则以下四个结论正确的是(    )

A. B1C//MN
B. 若p为直线CC1上的动点，则B1P·B1C1为定值
C. 点A到平面C1MN的距离为13
D. 过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 已知向量a=(−1,2,1)，b=(2,−2,0)，则a在b方向上的投影数量为          ．
17. 已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7,−5)，点P(x，−1，3)在平面ABC内，则x=____．
18. 若空间向量a=5,3,m，b=1,−1,−2，c=0,2,−3共面，则m=______________．
19. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上.若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是________．
20. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF=λAD，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3 210，则λ的值为          ．

四、解答题
21. 已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)．
(Ⅰ)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
(Ⅱ)设D(x,1,−1)，若A，B，C，D四点共面，求x的值．
22. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=2，PD=DC=CB=1，∠DCB=∠CBA=∠PDC=90°，平面PBC⊥平面PDC．
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求二面角D−PA−C的余弦值．

23.已知平面π1的法向量为n1=(1,2,3)平面π2的法向量为n2=(−1,0,2)求两个平面夹角的余弦值．
24. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．

(1)证明：EF//平面BCC1B1．
(2)求B1F与平面AEF所成角的正弦值．

25. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA=AB=2，E是棱BC上的动点，F是线段PE的中点：

(1)求证：PB⊥平面ADF;
(2)是否存在点E，使得平面DEP与平面ADF所成的二面角E−DF−A的余弦值为 63?若存在，请求出线段BE的长;若不存在，请说明理由．


1、A ； 2、D ； 3、D ； 4、D ； 5、B ； 6、A ； 7、B ； 8、B ； 9、A ； 10、B ；
11、BD ； 12、ACD ； 13、BD ； 14、AB ； 15、ABD ； 16、−3 22 ； 17、11 ； 18、−22 ；
19、 3 ； 20、13 
21、解：(Ⅰ)AB=(−2，−1，3)，AC=(1,−3,2)，
cosA=AB⋅AC|AB||AC|=7 14× 14=12，
S▱ABCD=ABACsinA= 14× 14× 32=7 3．
(Ⅱ)AB=(−2，−1，3)，AC=(1,−3,2)，AD=(x,−1,−4)，
∵A，B，C，D四点共面，
∴存在唯一一对实数m，n，使得AD=mAB+nAC，
∴x=−2m+n−1=−m−3n−4=3m+2n，解得x=5m=−2n=1，
∴x=5． 
22、解：(1)证明：取PC中点E，连接DE，如图所示：
∵PD=CD=1，
∴DE⊥PC，
∵平面PBC⊥平面PDC，DE⊂平面PDC，
∴DE⊥平面PBC，
∵BC⊂平面PBC，
∴BC⊥PD，
又PD⊥CD，BC∩CD=C，BC⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD；
(2)由(1)得取AB中点F，连接DF，DC=BC=1，∠DCB=∠CBA=90°，则四边形DCFB为正方形，
则建议以D为坐标原点，以DF、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示：
AB=2，PD=DC=CB=1，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，C(0,1,0)，A(1,−1,0)，
设平面DPA的一个法向量为n=(x,y,z)，且DA=(1,−1,0)，DP=(0,0,1)
则n⋅DA=0n⋅DP=0，即x−y=0z=0，
∴平面DPA的一个法向量为n=(1,1,0)，
设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z)，且CA=(1,−2,0)，PC=(0,1,−1)，
则m⋅CA=0m⋅PC=0，即x−2y=0y−z=0，取y=1，则z=1，x=2，
∴平面PAC的一个法向量为m=(2,1,1)，
设二面角D−PA−C为θ，且θ为锐角，
∴cosθ=|cos|=|m⋅n||m|⋅|n|=3 2× 6= 32，
故二面角D−PA−C的余弦值为 32． 
23、解：∵平面π1的法向量为n1=(1,2,3)平面π2的法向量为n2=(−1,0,2)，
∴cos=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=−1+0+6 14⋅ 5= 7014．
∴两个平面夹角的余弦值为 7014． 
24、(1)证明：如图，连接AC1，BC1．
因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
所以E为AC1的中点，
又因为F为AB的中点，
所以EF/​/BC1．
又EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1．
所以EF/​/平面BCC1B1．
(2)解：以A1为原点建立如图所示的空间直角坐标系A1−xyz，

则A(0,0,6)，B1(0,4,0)，E(2,0,3)，F(0,2,6)．
所以B1F=(0,−2,6)，AE=(2,0,−3)，AF=(0,2,0)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=2x−3z=0n⋅AF=2y=0,
令x=3，得n=(3,0,2).记B1F与平面AEF所成角为θ，
则sinθ=|cos⟨B1F→,n→⟩|=|B1F→⋅n→|B1F→|·|n→||=313065． 
25、解：(1)证明：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
又设E(2,t,0)，F(1,t2,1)，
∴AD=(0,2,0)，AF=(1,t2,1)，BP=(−2,0,2)，
∴BP⋅AD=0，BP⋅AF=0，
∴BP⊥AD，BP⊥AF，
又AD∩AF=A，AD⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，
因此PB⊥平面ADF．
(2)由(1)平面ADF的一个法向量为BP=(−2,0,2)，
又DE=(2,t−2,0)，PD=(0,2,−2)，设平面DEP的一个法向量为n=(x,y,z)，
则2x+(t−2)y=02y−2z=0，不妨令y=2，则x=2−t，z=2，
故平面DEP的一个法向量为n=(2−t,2,2)，
设平面DEP与平面ADF所成的二面角为θ，则cosθ=BP⋅n|BP|n=|2t| 8 t2−4t+12= 63，
解得t=4或t=12，此时点E在线段BC的延长上，
所以，不存在这样的点E．