【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第一章空间向量与立体几何 单元测试（含答案）

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人教A版（2019）选修一第一章空间向量与立体几何
（共21题）

一、选择题（共12题）
1. 已知 λ，μ∈R，给出以下命题：
① λ<0，a≠0 时，λa 与 a 的方向一定相反；
② λ≠0，a≠0 时，λa 与 a 是共线向量；
③ λμ>0，a≠0 时，λa 与 μa 的方向一定相同；
④ λμ<0，a≠0 时，λa 与 μa 的方向一定相反．
其中正确的个数是   
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

2. 空间直角坐标系中，已知 A1,−2,3，B3,2,−5，则线段 AB 的中点坐标为   
A． −1,−2,4 B． −2,0,1
C． 2,0,−2 D． 2,0,−1

3. 已知向量 a=1,2,−1，则下列向量 b 与 a 垂直的是   
A． 0,0,1 B． −2,1,0 C． 1,1,2 D． 4,−1,1

4. 直三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱为 3，M，N 分别为 A1C1，BC 的中点，则 AB⋅NM=   
A． 2 B． −2 C． 10 D． −10

5. 已知 O 为原点，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，点 Q 在直线 OP 上运动，则 QA⋅QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为   
A． 12,34,13 B． 12,23,34 C． 43,43,83 D． 43,43,73

6. 若 A，B，C，D 为空间中不同的四点，则下列各式为零向量的是   
① AB+2BC+2CD+DC；
② 2AB+2BC+3CD+3DA+AC；
③ AB+CA+BD；
④ AB−CB+CD−AD．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④

7. 已知两个向量 a=2,−1,3，b=4,m,n，且 a∥b，则 m+n 的值为   
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8

8. 已知向量 a=3,−1,2，b=x,y,−4，且 a∥b，则 x+y=   
A． 4 B． 8 C． −4 D． −8

9. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是   

A． 2AB⋅CA B． 2AC⋅FG C． 2AD⋅DC D． 2EF⋅DB

10. 已知 a=1,5,−2，b=m,2,m+1，若 a⊥b，则 m 的值为   
A． −6 B． −8 C． 6 D． 8

11. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 为 A1D1 的中点，则点 C1 到直线 CE 的距离为   
A． 13 B． 33 C． 53 D． 63

12. 如图，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 为长方体，AA1=AB=2AD，点 E，F 分别为 C1D1，A1B 的中点，则二面角 B1−A1B−E 的余弦值为   

A． −33 B． −32 C． 33 D． 32

二、填空题（共5题）
13. 如图，在四棱锥 S−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A，B，C，D 的距离都等于 2．给出以下结论：
① SA+SB+SC+SD=0；
② SA+SB−SC−SD=0；
③ SA−SB+SC−SD=0；
④ SA⋅SB=SC⋅SD；
⑤ SA⋅SC=0．
其中正确结论的序号是 ．


14. 已知向量 a=2,−1,3，b=−4,2,x，且 a⊥b，则 x 的值为 ．

15. 已知 a=3λ,6,λ+6，b=λ+1,3,2λ 为两平行平面的法向量，则实数 λ= ．

16. 设 e1，e2 是两个不共线的空间向量，若 AB=2e1−ke2，CB=3e1+3e2，CD=ke1+e2，且 A，B，D 三点共线，则实数 k 的值为 ．

17. 如图所示矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，分别将边 BC 与 DC 等分成 8 份，并将等分点自下而上依次记作 E1，E2，⋯，E7，自左到右依次记作 F1，F2，⋯，F7，满足 AEi⋅AFj≤2，（其中 i,j∈N*，1≤i，j≤7）的有序数对 i,j 共有 对．


三、解答题（共4题）
18. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=1，PA=AB=2，E 是棱 PB 的中点．

(1) 求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值；
(2) 求平面 BEC 与平面 ECD 夹角的余弦值．

19. 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，求异面直线 BA1 和 AC 所成的角．


20. 如图，三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥平面ABC，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，且 AB=AA1=2，E，F 分别为 CC1，BC 的中点．

(1) 若 D 是 AA1 的中点，求证：BD∥平面AEF．
(2) 若 M 是线段 AE 上的任意一点，求直线 B1M 与平面 AEF 所成角的正弦的最大值．

21. 如图，在三棱锥 P−ABQ 中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH．

(1) 求证：AB∥GH；
(2) 求二面角 D−GH−E 的余弦值．
答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】D
【解析】由向量的数乘定义及性质可知①②③④均正确．

2. 【答案】D
【解析】设中点坐标为 x,y,z，根据中点坐标公式得 x=1+32=2，y=−2+22=0，z=3−52=−1．

3. 【答案】B
【解析】 a⋅b=1,2,−1⋅0,0,1=−1≠0，a 与 b 不垂直；
a⋅b=1,2,−1⋅−2,1,0=0，a 与 b 垂直；
a⋅b=1,2,−1⋅1,1,2=1≠0，a 与 b 不垂直；
a⋅b=1,2,−1⋅4,−1,1=1≠0，a 与 b 不垂直．
故选B．

4. 【答案】B
【解析】如图，建立空间直角坐标系，
则 A0,0,0，B2,0,0，M12,32,3，N32,32,0，
所以 AB=2,0,0，NM=−1,0,3，
所以 AB⋅NM=2×−1+0+0=−2，
故选B．


5. 【答案】C
【解析】点 Q 在直线 OP 上运动，设 OQ=λOP=λ,λ,2λλ∈R，则 QA=OA−OQ=1−λ,2−λ,3−2λ，QB=OB−OQ=2−λ,1−λ,2−2λ，
所以 QA⋅QB=6λ−432−23，
当 λ=43 时，QA⋅QB 最小，此时，Q43,43,83，
故选C．

6. 【答案】C
【解析】①
AB+2BC+2CD+DC=AB+2BD+DC=AB+BD+BD+DC=AD+BC;
② 2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AC+3CA+AC=0；
③ AB+CA+BD=AD+CA；
④ AB−CB+CD−AD=AB+BC+CD+DA=AC+CA=0．

7. 【答案】C
【解析】因为 a∥b，
所以 ∃λ∈R，使得 b=λa，得 4=2λ,m=−λ,n=3λ,
解得 λ=2,m=−2,n=6,
所以 m+n=4，
故选C．

8. 【答案】C
【解析】因为 a∥b，
所以 x3=y−1=−42，
所以 x=−6,y=2.
所以 x+y=−4．

9. 【答案】B
【解析】由题意易得 AB 与 CA，AD 与 DC 的夹角均为 π−π3=2π3，EF 与 DB 的夹角为 π，AC 与 FG 的夹角为 0，
故 2AB⋅CA=−a2，
2AD⋅DC=−a2，
2EF⋅DB=−a2，
2AC⋅FG=a2，故选B．

10. 【答案】D
【解析】因为 a⊥b，
所以 a⋅b=0，
因为 a=1,5,−2，b=m,2,m+1，
所以 m+10−2m+1=0，解得 m=8，
故选D．

11. 【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系，如图，
则 C1,1,0，C11,1,1，E0,12,1，
所以 EC=1,12,−1，CC1=0,0,1，
所以在 CC1 在 EC 上的投影为 CC1⋅EC∣EC∣=−11+14+1=−23，
所以点 C1 到直线 EC 的距离 d=CC12−CC1⋅EC∣EC∣2=1−49=53．


12. 【答案】C
【解析】设 AD=1，则 A11,0,2，B1,2,0．
因为点 E，F 分别为 C1D1，A1B 的中点，
所以 E0,1,2，F1,1,1，
所以 A1E=−1,1,0，A1B=0,2,−2．
设 m=x,y,z 是平面 A1BE 的法向量，
则 A1E⋅m=0,A1B⋅m=0,
即 −x+y=0,2y−2z=0.
取 x=1，则 y=z=1，
所以平面 A1BE 的一个法向量为 m=1,1,1．
又因为 DA⊥平面A1B1B，
所以 DA=1,0,0 是平面 A1B1B 的一个法向量，
所以 cosm,DA=m⋅DA∣m∣∣DA∣=13=33．
又因为二面角 B1−A1B−E 为锐二面角，
所以二面角 B1−A1B−E 的余弦值为 33．

二、填空题（共5题）
13. 【答案】 ③④
【解析】由题意可得 SA−SB+SC−SD=BA+DC=0，所以③正确；
又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA=SB=SC=SD=2，
所以 SA⋅SB=2×2×cos∠ASB，SC⋅SD=2×2×cos∠CSD，
而 ∠ASB=∠CSD，
于是 SA⋅SB=SC⋅SD，
因此④正确，其余三个都不正确．

14. 【答案】 103
【解析】若 a⊥b，则 2×−4+−1×2+3x=0，解得 x=103．

15. 【答案】 2

16. 【答案】 4 或 −1

17. 【答案】 18

三、解答题（共4题）
18. 【答案】
(1) 因为 PA⊥底面ABCD，且底面 ABCD 为矩形，
所以 AB，AD，AP 两两互相垂直．
以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 B2,0,0，C2,1,0，D0,1,0，P0,0,2，E22,0,22，
所以 EC=22,1,−22，PD=0,1,−2，
所以 cosEC,PD=1+112+1+12×1+2=63，
所以异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值为 63．
(2) 由 1 得 BC=0,1,0，DC=2,0,0．
设平面 BEC 的法向量为 n1=x1,y1,z1，
则 EC⋅n1=0,BC⋅n1=0,
即 22x1+y1−22z1=0,y1=0,
令 x1=1，则 z1=1，
所以平面 BEC 的一个法向量为 n1=1,0,1．
设平面 ECD 的法向量为 n2=x2,y2,z2，
则 EC⋅n2=0,DC⋅n2=0,，
即 22x2+y2−22z2=0,2x2=0,
令 z2=2，则 y2=1，
所以平面 ECD 的一个法向量为 n2=0,1,2，
设平面 BEC 和平面 ECD 的夹角为 θ，
则 cosθ=cosn1,n2=21+1×1+2=33，
所以平面 BEC 和平面 ECD 的夹角的余弦值为 33．

19. 【答案】方法一：因为 BA1=BA+BB1，AC=AB+BC，
所以 BA1⋅AC=BA+BB1⋅AB+BC=BA⋅AB+BA⋅BC+BB1⋅AB+BB1⋅BC．
因为 AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以 BA⋅BC=0，BB1⋅AB=0，BB1⋅BC=0，而 BA⋅AB=−a2，
所以 BA1⋅AC=−a2．
所以 cosBA1,AC=BA1⋅ACBA1 AC=−a22a×2a=−12，
所以 BA1,AC=120∘，所以异面直线 BA1 和 AC 所成的角为 60∘．
方法二：
分别以 DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 Aa,0,0，Ba,,a,0，C0,a,0，
A1a,0,a，所以 BA1=0,−a,a，AC=−a,a,0．
所以 cosBA1,AC=BA1⋅ACBA1 AC=−a22a×2a=−12，
所以 BA1,AC=120∘，
所以异面直线 BA1 和 AC 所成的角为 60∘．

20. 【答案】
(1) 连接 DC1，BC1．
因为 D，E 分别是 AA1，CC1 的中点，
所以 AD=C1E，
又 AD∥C1E，
所以四边形 ADC1E 是平行四边形，
所以 AE∥DC1，
因为 E，F 分别是 CC1，BC 的中点，
所以 EF∥BC1，
所以 平面AEF∥平面BDC1．
又 BD⊂平面BDC1，
所以 BD∥平面AEF．
(2) 以 A 为坐标原点，AB，AC，AA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则 A0,0,0，B12,0,2，E0,2,1，F1,1,0，
所以 AE=0,2,1，AF=1,1,0．
设平面 AEF 的法向量为 n=x,y,z，
由 n⋅AE=0,n⋅AF=0, 得 2y+z=0,x+y=0.
令 z=2，得 x=1，y=−1，
所以平面 AEF 的一个法向量为 n=1,−1,2．
设 Ma,b,c，AM=λAE0≤λ≤1，则 AM=0,2λ,λ，
所以 M0,2λ,λ，
所以 B1M=−2,2λ,λ−2，
设直线 B1M 与平面 AEF 所成角为 θ，
则
sinθ=cosn,B1M=n⋅B1M∣n∣⋅B1M=∣1×−2+−1×2λ+2×λ−2∣12+−12+22⋅−22+2λ2+λ−22=66×5λ2−4λ+8=65λ2−4λ+8=65λ−252+3650≤λ≤1.
易知当 λ=25 时，sinθmax=306．
故直线 B1M 与平面 AEF 所成角的正弦的最大值为 306．

21. 【答案】
(1) 因为 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，
所以 EF∥AB，DC∥AB．
所以 EF∥DC．
又因为 EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以 EF∥平面PCD．
又因为 EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，
所以 EF∥GH．
又因为 EF∥AB，
所以 AB∥GH．
(2) 在 △ABQ 中，
因为 AQ=2BD，AD=DQ，
所以 ∠ABQ=90∘．
又因为 PB⊥平面ABQ，
所以 BA，BQ，BP 两两垂直．
以点 B 为坐标原点，分别以 BA，BQ，BP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设 AB=2，则 D1,1,0，C0,1,0，P0,0,2．
DP=−1,−1,2，CP=0,−1,2．
设平面 PDC 的法向量为 n=x,y,z，
由 n⋅DP=0,n⋅CP=0,
得 −x−y+2z=0,−y+2z=0.
取 z=1，得 n=0,2,1．
同理可得平面 EFQ 的一个法向量为 m=0,1,2．
所以 cosm,n=m⋅n∣m∣∣n∣=45．
因为二面角 D−GH−E 为钝角，
所以二面角 D−GH−E 的余弦值为 −45．