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【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第三章圆锥曲线的方程 单元复习题
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这是一份【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第三章圆锥曲线的方程 单元复习题，共10页。
人教A版（新课标）高中选择性必修第一册
第三章圆锥曲线的方程单元复习题
一、单选题
1. 已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(1,-1)，则抛物线的焦点坐标为 ( )
A. (0,1) B. (0,2) C. (1,0) D. (2,0)
2. 椭圆x211+y216=1上任意一点到两焦点的距离之和为( )
A. 25 B. 8 C. 211 D. 4
3. 已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=0，该双曲线的焦点为( )
A. ±23,0 B. ±43,0 C. ±25,0 D. ±45,0
4. 党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管(水管半径忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为32m处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为( )
A. 83m B. 94m C. 258m D. 145m
5. 已知椭圆x2+my2=1的长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值是( )
A. 2 B. 14或4 C. 12 D. 12或2
6. 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2-x2=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=( )
A. 22 B. 23 C. 2 D. 3
7. 如图所示，F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若AB :BF2 :AF2=3 :4 :5，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 15 C. 13 D. 3
8. 已知椭圆x216+y28=1的左，右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点M，使(OM+OF2)⋅F2M=0(O为坐标原点)，且|F1M|=t|F2M|，则实数t的值为( )
A. 2 B. 22 C. 3 D. 1
二、多选题
9. 若方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是( )
A. 若1
D. 若C为双曲线，则t<1
10. 已知双曲线C:x2m-y2m+7=1(m∈R)的一条渐近线方程为4x-3y=0，则( )
A. (7,0)为C的一个焦点
B. 双曲线C的离心率为53
C. 过点5,0作直线与C交于A,B两点，则满足AB=15的直线有且只有两条
D. 设A,B,M为C上三点且A,B关于原点对称，则MA,MB斜率存在时其乘积为169
11. 已知曲线C上任意一点到直线x=-4的距离比它到点F(2,0)的距离大2，则下列结论正确的是( )
A. 曲线C的方程为y2=8x
B. 若曲线C上的一点A到点F的距离为4，则点A的纵坐标是±4
C. 已知曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，则线段MN的中点横坐标是5
D. 已知A(3,2)，P是曲线C上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为5
12. 已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 存在P使得∠F1PF2=π2 B. cos∠F1PF2的最小值为-725
C. PF1⊥PF2，则▵F1PF2的面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值925
三、填空题
13. 设F1、F2为双曲线C：x24-y2b=1左右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2=30°，则b= ．
14. 抛物线y2=2px的焦点为F，点A(1,4)和点B，C在抛物线上，且FA+FB+FC=0，则过点B，C的直线方程为 ．
15. 已知双曲线的方程为x24-y25=1，如图，点A的坐标为-3,0，B是圆x2+y-32=1上的点，点M在双曲线的右支上，则MA+MB的最小值为 ．
16. 如图，椭圆E的左右焦点为F1，F2，以F2为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P，若过P、F1的直线l与圆F2相切，则直线l的斜率k= ；椭圆E的离心率e= ．
四、解答题
17. 求下列圆锥曲线方程：
(1)焦点在y轴上的椭圆过点(92,3)离心率e=12，求椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线与(1)中的椭圆有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的标准方程．
18. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，c=2a，且过点M(4,-10).
(1)求双曲线的方程;
(2)求△F1MF2的面积．
19. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2．
(1)求C的方程；并求其焦点坐标；
(2)过点(2,0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．
20. 给定椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F2,0，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求AB⋅AD的取值范围，
21. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到点T(0,32)的距离等于它到直线l:y=-32的距离．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点T的直线l与动点P的轨迹C交于A，B两点，求1|AT|+1|BT|的值．
22. 已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以椭圆长轴，短轴四个端点为顶点的四边形的面积为43．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设点M(t,4)，记椭圆的上下顶点分别为A和B，直线AM交椭圆于A,P两点，直线BM交椭圆于B,Q两点，记ΔAPB和ΔAQB的面积分别为S1和S2，当t∈1,3时，求S1S2的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.B
7.C
8.D
9.AD
10.BD
11.ABD
12.ABC
13.12+83
14.4x+y-20=0
15.32+3
16.33
17.解：(1)由题意设椭圆方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，
∵椭圆过点(92,3)，且离心率e=12，
∴9a2+814b2=1ca=12a2-b2=c2，解得a=6b=33c=3,
∴椭圆的标准方程为y236+x227=1；
(2)由题意设双曲线方程为y2m2-x2n2=1m>0,n>0，
∵(1)中的椭圆焦点为(0,3)，(0,-3)，
∴m2+n2=32=9，
将y=4代入y236+x227=1可得x=±15，
∴16m2-15n2=1，
联立16m2-15n2=1m2+n2=9，解得m2=4n2=5,
∴双曲线的标准方程为y24-x25=1．
18.解：(1)双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)．
∴16a2-10b2=1c=2a得a2=b2=6，
∴双曲线方程为x26-y26=1．
(2)∵c2=a2+b2=12，
∴c=23，
∴|F1F2|=2c=43，
又∵M(4,-10)，
∴△F1MF2的边F1F2上的高为10，
∴△F1MF2的面积S=12×43×10=230．
19.解：(1)由抛物线的方程可得其准线方程为x=-p2，
由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以1-(-p2)=2，解得p=2，
所以抛物线的方程为：y2=4x，焦点F(1,0)．
(2)由题意可得直线l的方程为：y=x-2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y2=4xy=x-2，整理可得：x2-8x+4=0，则x1+x2=8，x1x2=4，
所以弦长|AB|=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2=1+1⋅82-4×4=46，
所以弦AB的长为46．
20.解：(1)由题意知c=2，且a=b2+c2=3，可得b=a2-c2=1，
故椭圆C的方程为x23+y2=1，则a2+b2=2，
所以其“准圆”方程为x2+y2=4．
(2)由题意，可设Bm,n、Dm,-n-3
所以AB⋅AD=m-22-n2=m2-4m+4-1-m23
=43m2-4m+3=43m-322，
又-3
21.解：(1)由题意知动点P到点T(0,32)的距离与它到直线l：y=-32的距离相等．
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以T(0,32)为焦点的抛物线，
设轨迹C的方程为x2=2py(p>0)，则p2=32，p=3，
动点P的轨迹C的方程为x2=6y．
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+32，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
代入曲线C的方程，整理得x2-6kx-9=0，
则x1+x2=6k，x1x2=-9．
所以y1+y2=6k2+3，y1y2=94，
所以1|AT|+1|BT|=1y1+32+1y2+32=y1+y2+3(y1+32)(y2+32)
=y1+y2+3y1y2+32(y1+y2)+94=6k2+694+32×(6k2+3)+94=6k2+69k2+9=23，
所以1|AT|+1|BT|为定值，值为23．
22.解：(Ⅰ)由题意ca=122ab=43，解得a=2b=3，
所以椭圆C的方程y24+x23=1．
(Ⅱ)因为A(0,2)，则直线AM:y=2tx+2代入椭圆方程y24+x23=1，
得(t2+3)x2+6tx=0，则xp=-6tt2+3，
同理可得xQ=18tt2+27，
所以S1=12×|AB|×|xP|=12|t|t2+3，
S2=12×|AB|×|xQ|=36|t|t2+27，
所以S1S2=t2+273(t2+3)=13+8t2+3在区间[1,3]单调递减，
所以S1S2∈[1,73]．
人教A版（新课标）高中选择性必修第一册
第三章圆锥曲线的方程单元复习题
一、单选题
1. 已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(1,-1)，则抛物线的焦点坐标为 ( )
A. (0,1) B. (0,2) C. (1,0) D. (2,0)
2. 椭圆x211+y216=1上任意一点到两焦点的距离之和为( )
A. 25 B. 8 C. 211 D. 4
3. 已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=0，该双曲线的焦点为( )
A. ±23,0 B. ±43,0 C. ±25,0 D. ±45,0
4. 党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管(水管半径忽略不计)，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为32m处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为( )
A. 83m B. 94m C. 258m D. 145m
5. 已知椭圆x2+my2=1的长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值是( )
A. 2 B. 14或4 C. 12 D. 12或2
6. 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2-x2=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=( )
A. 22 B. 23 C. 2 D. 3
7. 如图所示，F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若AB :BF2 :AF2=3 :4 :5，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 15 C. 13 D. 3
8. 已知椭圆x216+y28=1的左，右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点M，使(OM+OF2)⋅F2M=0(O为坐标原点)，且|F1M|=t|F2M|，则实数t的值为( )
A. 2 B. 22 C. 3 D. 1
二、多选题
9. 若方程x23-t+y2t-1=1所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是( )
A. 若1
D. 若C为双曲线，则t<1
10. 已知双曲线C:x2m-y2m+7=1(m∈R)的一条渐近线方程为4x-3y=0，则( )
A. (7,0)为C的一个焦点
B. 双曲线C的离心率为53
C. 过点5,0作直线与C交于A,B两点，则满足AB=15的直线有且只有两条
D. 设A,B,M为C上三点且A,B关于原点对称，则MA,MB斜率存在时其乘积为169
11. 已知曲线C上任意一点到直线x=-4的距离比它到点F(2,0)的距离大2，则下列结论正确的是( )
A. 曲线C的方程为y2=8x
B. 若曲线C上的一点A到点F的距离为4，则点A的纵坐标是±4
C. 已知曲线C上的两点M，N到点F的距离之和为10，则线段MN的中点横坐标是5
D. 已知A(3,2)，P是曲线C上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为5
12. 已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 存在P使得∠F1PF2=π2 B. cos∠F1PF2的最小值为-725
C. PF1⊥PF2，则▵F1PF2的面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值925
三、填空题
13. 设F1、F2为双曲线C：x24-y2b=1左右焦点，点A在双曲线C上，若AF1⊥AF2，且∠AF1F2=30°，则b= ．
14. 抛物线y2=2px的焦点为F，点A(1,4)和点B，C在抛物线上，且FA+FB+FC=0，则过点B，C的直线方程为 ．
15. 已知双曲线的方程为x24-y25=1，如图，点A的坐标为-3,0，B是圆x2+y-32=1上的点，点M在双曲线的右支上，则MA+MB的最小值为 ．
16. 如图，椭圆E的左右焦点为F1，F2，以F2为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P，若过P、F1的直线l与圆F2相切，则直线l的斜率k= ；椭圆E的离心率e= ．
四、解答题
17. 求下列圆锥曲线方程：
(1)焦点在y轴上的椭圆过点(92,3)离心率e=12，求椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线与(1)中的椭圆有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的标准方程．
18. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，c=2a，且过点M(4,-10).
(1)求双曲线的方程;
(2)求△F1MF2的面积．
19. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2．
(1)求C的方程；并求其焦点坐标；
(2)过点(2,0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．
20. 给定椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F2,0，其短轴的一个端点到点F的距离为3．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求AB⋅AD的取值范围，
21. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到点T(0,32)的距离等于它到直线l:y=-32的距离．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点T的直线l与动点P的轨迹C交于A，B两点，求1|AT|+1|BT|的值．
22. 已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以椭圆长轴，短轴四个端点为顶点的四边形的面积为43．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设点M(t,4)，记椭圆的上下顶点分别为A和B，直线AM交椭圆于A,P两点，直线BM交椭圆于B,Q两点，记ΔAPB和ΔAQB的面积分别为S1和S2，当t∈1,3时，求S1S2的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.B
6.B
7.C
8.D
9.AD
10.BD
11.ABD
12.ABC
13.12+83
14.4x+y-20=0
15.32+3
16.33
17.解：(1)由题意设椭圆方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，
∵椭圆过点(92,3)，且离心率e=12，
∴9a2+814b2=1ca=12a2-b2=c2，解得a=6b=33c=3,
∴椭圆的标准方程为y236+x227=1；
(2)由题意设双曲线方程为y2m2-x2n2=1m>0,n>0，
∵(1)中的椭圆焦点为(0,3)，(0,-3)，
∴m2+n2=32=9，
将y=4代入y236+x227=1可得x=±15，
∴16m2-15n2=1，
联立16m2-15n2=1m2+n2=9，解得m2=4n2=5,
∴双曲线的标准方程为y24-x25=1．
18.解：(1)双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)．
∴16a2-10b2=1c=2a得a2=b2=6，
∴双曲线方程为x26-y26=1．
(2)∵c2=a2+b2=12，
∴c=23，
∴|F1F2|=2c=43，
又∵M(4,-10)，
∴△F1MF2的边F1F2上的高为10，
∴△F1MF2的面积S=12×43×10=230．
19.解：(1)由抛物线的方程可得其准线方程为x=-p2，
由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以1-(-p2)=2，解得p=2，
所以抛物线的方程为：y2=4x，焦点F(1,0)．
(2)由题意可得直线l的方程为：y=x-2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y2=4xy=x-2，整理可得：x2-8x+4=0，则x1+x2=8，x1x2=4，
所以弦长|AB|=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1x2=1+1⋅82-4×4=46，
所以弦AB的长为46．
20.解：(1)由题意知c=2，且a=b2+c2=3，可得b=a2-c2=1，
故椭圆C的方程为x23+y2=1，则a2+b2=2，
所以其“准圆”方程为x2+y2=4．
(2)由题意，可设Bm,n、Dm,-n-3
所以AB⋅AD=m-22-n2=m2-4m+4-1-m23
=43m2-4m+3=43m-322，
又-3
21.解：(1)由题意知动点P到点T(0,32)的距离与它到直线l：y=-32的距离相等．
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以T(0,32)为焦点的抛物线，
设轨迹C的方程为x2=2py(p>0)，则p2=32，p=3，
动点P的轨迹C的方程为x2=6y．
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+32，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
代入曲线C的方程，整理得x2-6kx-9=0，
则x1+x2=6k，x1x2=-9．
所以y1+y2=6k2+3，y1y2=94，
所以1|AT|+1|BT|=1y1+32+1y2+32=y1+y2+3(y1+32)(y2+32)
=y1+y2+3y1y2+32(y1+y2)+94=6k2+694+32×(6k2+3)+94=6k2+69k2+9=23，
所以1|AT|+1|BT|为定值，值为23．
22.解：(Ⅰ)由题意ca=122ab=43，解得a=2b=3，
所以椭圆C的方程y24+x23=1．
(Ⅱ)因为A(0,2)，则直线AM:y=2tx+2代入椭圆方程y24+x23=1，
得(t2+3)x2+6tx=0，则xp=-6tt2+3，
同理可得xQ=18tt2+27，
所以S1=12×|AB|×|xP|=12|t|t2+3，
S2=12×|AB|×|xQ|=36|t|t2+27，
所以S1S2=t2+273(t2+3)=13+8t2+3在区间[1,3]单调递减，
所以S1S2∈[1,73]．
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