高中2.4 圆的方程精品单元测试课后测评

这是一份高中2.4 圆的方程精品单元测试课后测评，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）选修一第二章直线和圆的方程
（共20题）

一、选择题（共11题）
1. 直线ax-by=0与圆 x2+y2−ax+by=0 的位置关系是（）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

2. 已知过两点 A4,y，B2,−3 的直线的倾斜角为 45∘，则 y=   
A． −32 B． 32 C． −1 D． 1

3. 若直线 l 的倾斜角等于 135∘，则下列向量中不是直线 l 的方向向量的是   
A． 2,2 B． −3,3
C． 2,−2 D． 14,−14

4. 若 ac<0，bc<0，则直线 ax+by+c=0 的图形可能是   
A． B．
C． D．

5. 直线 3x−y+3=0 的倾斜角是   
A． 30∘ B． 45∘ C． 60∘ D． 150∘

6. 直线 ax+by=1ab≠0 与两坐标轴围成的三角形的面积是   
A． 12ab B． 12∣ab∣ C． 12ab D． 12∣ab∣

7. 已知三角形的三个顶点 A2,4，B3,−6，C5,2，则过 A 点的中线长为   
A． 10 B． 210 C． 112 D． 310

8. 两内切圆的半径长是方程 x2+px+q=0 的两根，已知两圆的圆心距为 1，其中一圆的半径为 3，则 p+q=   
A． 2 或 4 B． 4 C． 1 或 5 D． 5

9. 若直线 l:y=kx−3 与直线 x+y−3=0 相交，且交点在第一象限，则直线 l 的倾斜角 θ 的取值范围是   
A． θ0<θ<60∘ B． θ30∘<θ<60∘
C． θ30∘<θ<90∘ D． θ60∘<θ<90∘

10. 已知圆 C1:x2+y2=4 和圆 C2:x2+y2+2ay−6=0a>0 的公共弦长为 2，则实数 a 的值为   
A． 33 B． 3 C． 22 D． 2

11. 经过点 A−1,4 且在 x 轴上的截距为 3 的直线方程是   
A． y=−x−3 B． y=x+3 C． y=−x+3 D． y=−x+5

二、填空题（共5题）
12. 已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为 ．

13. 若直线 x+y+a=0 与圆 x2+y2=2 有公共点，则 a 的取值范围为 ．

14. 若 A4,3，B5,a，C6,5 三点共线，则 a 的值为 ．

15. 已知圆 C1:x2+y2=r2，圆 C2:x−a2+y−b2=r2r>0 交于不同的两点 Ax1,y1，Bx2,y2，给出下列结论：① ax1−x2+by1−y2=0；② 2ax1+2by1=a2+b2；③ x1+x2=a，y1+y2=b．其中正确的结论是 ．（填序号）

16. 如果直线 y=kx+2 不经过点 cosθ,sinθ，其中 θ∈R，那么实数 k 的取值范围是 ．

三、解答题（共4题）
17. 已知点 M3,1，直线 ax−y+4=0 及圆 C:x−12+y−22=4．
(1) 若直线 ax−y+4=0 与圆 C 相切，求实数 a 的值；
(2) 求过点 M 的圆 C 的切线方程．

18. 已知直线 l:2mx−y−8m−3=0 和圆 C:x2+y2−6x+12y+20=0．
(1) 求圆 C 的圆心、半径；
(2) 求证：无论 m 为何值，直线 l 总与圆 C 有交点；
(3) m 为何值时，直线 l 被圆 C 截得的弦最短？求出此时的弦长．

19. 已知直线 l 的倾斜角为 30∘，点 P2,1 在直线 l 上，直线 l 绕点 P2,1 按逆时针方向旋转 30∘ 后到达直线 l1 的位置，此时直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A1,m−1，Bm,2，试求实数 m 的值．

20. 已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线 x+y−1=0 上，且圆心在第二象限，半径为 2，求圆的一般方程．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】B
【解析】将圆的方程化为 x−a22+y+b22=a2+b24，∴圆心坐标为 a2,−b2，半径 r=a2+b22，
∵圆心到直线ax-by=0的距离 d=a2+b22a2+b2=a2+b22=r，则圆与直线的位置关系是相切．

2. 【答案】C
【解析】依题意，直线 AB 的斜率为 tan45∘=1，即 −3−y2−4=1，解得 y=−1．

3. 【答案】A
【解析】由于直线 l 的倾斜角等于 135∘，所以其斜率 k=tan135∘=−1，因此直线 l 的方向向量是 m1,−1m∈R,m≠0．

4. 【答案】C
【解析】由题意知，直线方程可化为 y=−abx−cb，
∵ac<0，bc<0，
∴ab>0，−cb>0，
∴−ab<0，
故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0．
故选C．

5. 【答案】C
【解析】设直线 3x−y+3=0 的倾斜角为 θ．
由直线 3x−y+3=0 化为 y=3x+3，所以 tanθ=3，
因为 θ∈0,π，所以 θ=60∘．

6. 【答案】D
【解析】将方程化为截距式为 x1a+y1b=1，
所以三角形的面积 S=121a1b=12∣ab∣．

7. 【答案】B
【解析】根据题意，设 BC 的中点为 D，
又由 B3,−6，C5,2，则 BC 的中点 D 坐标为 4,−2，
则 ∣AD∣=4+36=210．

8. 【答案】C
【解析】由 x2+px+q=0，得 x1+x2=−p,x1x2=q.
有一圆半径为 3，不妨设 x2=3，
因为两圆内切，
所以 ∣x1−3∣=1，
所以 x1=4 或 x1=2．
当 x1=4 时，p=−7，q=12，p+q=5；
当 x1=2 时，p=−5，q=6，p+q=1．

9. 【答案】C
【解析】由题可知 k≠−1，联立 y=kx−3,x+y−3=0, 解得 x=3+31+k，y=3k−31+k，
所以两直线的交点坐标为 3+31+k,3k−31+k．
因为两直线的交点在第一象限，所以 3+31+k>0,3k−31+k>0, 解得 k>33．又直线 l 的倾斜角为 θ，则 tanθ>33，所以 30∘<θ<90∘．

10. 【答案】A
【解析】联立 x2+y2=4,x2+y2+2ay−6=0, 得 y=1a，
即两圆公共弦所在直线的方程为 y=1a，
圆 C1:x2+y2=4，圆心为 0,0，半径 r=2，
若公共弦的弦长为 2，则圆 C1 的圆心 C1 到公共弦的距离 d=4−1=3，
又 a>0，所以 1a=3，解得 a=33．

11. 【答案】C
【解析】解法一：所求直线过点 A−1,4 且在 x 轴上的截距为 3，故可设直线方程为 y−4=kx+1，k≠0，令 y=0，得 x=−4k−1=3，即 k=−1，故所求直线的方程为 y=−x+3．
解法二：因为所求直线在 x 轴上的截距为 3，所以经过点 3,0．又因为该直线也经过点 A−1,4，所以该直线的斜率 k=4−0−1−3=−1，故所求直线的方程为 y=−x+3．

二、填空题（共5题）
12. 【答案】 π4 或 3π4
【解析】由 k=tanα=1 知 tanα=±1，所以 α=π4 或 3π4．

13. 【答案】 [−2,2]
【解析】直线 x+y+a=0 与圆 x2+y2=2 有公共点等价于圆心 0,0 到直线 x+y+a=0 的距离小于等于圆的半径，即 ∣a∣2≤2，解得 −2≤a≤2．

14. 【答案】 4
【解析】由题意知 kAB=kAC，
即 a−35−4=5−36−4=1，解得 a=4．

15. 【答案】①②③
【解析】公共弦所在直线的方程为 2ax+2by−a2−b2=0，
所以有 2ax1+2by1−a2−b2=0，②正确；
又 2ax2+2by2−a2−b2=0，
所以 ax1−x2+by1−y2=0，①正确；
AB 的中点为直线 AB 与直线 C1C2 的交点，
又 AB:2ax+2by−a2−b2=0，
C1C2:bx−ay=0．
由 2ax+2by−a2−b2=0,bx−ay=0, 得 x=a2,y=b2.
故有 x1+x2=a，y1+y2=b，③正确．

16. 【答案】 −3,3

三、解答题（共4题）
17. 【答案】
(1) 圆 C 的圆心坐标 C1,2，半径 r=2．
由题意可知 ∣a−2+4∣a2+1=2，
解得 a=0 或 a=43．
(2) 因为 ∣CM∣2=3−12+1−22=4+1>4=r2，
所以点 M 在圆 C 的外部，过点 M 的圆 C 的切线有两条．
设过点 M 且斜率存在的直线方程为 y−1=kx−3，即 kx−y−3k+1=0，
所以 ∣k−2−3k+1∣k2+1=2，
解得 k=34，
所以切线方程为 34x−y−54=0，即 3x−4y−5=0．
又过点 M 且斜率不存在的直线 x=3 与圆 C 也相切，
所以所求切线方程为 x=3 或 3x−4y−5=0．

18. 【答案】
(1) 因为 D=−6，E=12，F=20，
所以 −D2=−−62=3，−E2=−122=−6，
半径 R=12D2+E2−4F=1236+144−80=5，
所以 C3,−6．
(2) 由 2mx−y−8m−3=0 得 2x−8m−y+3=0，
由 2x−8=0,y+3=0, 得 x=4,y=−3,
所以直线 l 经过定点 M4,−3，
因为 ∣CM∣=4−32+−3+62=10<5，
所以定点 M4,−3 在圆 C 内，
所以无论 m 为何值，直线 l 总与圆 C 有交点．
(3) 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，直线 l 被圆 C 截得的弦为 AB，
则 ∣AB∣=2R2−d2，则当 d 最大时，弦长 ∣AB∣ 最小，
因为 d≤∣CM∣=4−32+−3+62=10，当且仅当 CM⊥l 时，d 取最大值 10，∣AB∣ 取最小值 225−10=215，
此时 2m=−1kCM=−1−3+64−3=−13，
所以 m=−16，
当 m=−16 时，直线 l 被圆 C 截得的弦最短，弦长为 215．

19. 【答案】如图，
易知直线 l1 的侦斜角为 30∘+30∘=60∘，
所以直线 l1 的斜率 k1=tan60∘=3．
当 m=1 时，直线 AB 的斜率不存在，此时 l2 的斜率为 0，不满足 l1∥l2．
当 m≠1 时，直线 AB 的斜率 kAB=m−1−21−m=m−31−m，
所以线段 AB 的垂直平分线 l2 的斜率 k2=m−1m−3．
因为 l1 与 l2 平行，
所以 k1=k2，
即 3=m−1m−3，
解得 m=4+3．
综上，实数 m 的值为 4+3．

20. 【答案】由题知圆心 C−D2,−E2，
因为圆心在直线 x+y−1=0 上，
所以 −D2−E2−1=0，即 D+E=−2, ⋯⋯①
因为半径 r=D2+E2−122=2，
所以 D2+E2=20, ⋯⋯②
由①②可得 D=2,E=−4 或 D=−4,E=2.
又圆心在第二象限，
所以 −D2<0，即 D>0，则 D=2,E=−4.
故圆的一般方程为 x2+y2+2x−4y+3=0．