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【单元测试】湘教版数学九年级上册--第四章《锐角三角函数》单元测试卷（困难）（含解析）
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这是一份【单元测试】湘教版数学九年级上册--第四章《锐角三角函数》单元测试卷（困难）（含解析），共36页。
湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点M(−sin60∘,cos60∘)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. 32,12 B. −32,12 C. −32,−12 D. −12,−32
2. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AC=8，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转45°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是( )
A. 先变大再变小 B. 先变小再变大 C. 逐渐变大 D. 不变
3. 如图，在反比例函数y=32x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为( )
A. −3 B. −6 C. −9 D. −12
4. 如图1，Rt▵ABC绕点A逆时针旋转180°，在此过程中A、B、C的对应点依次为A、B′、C′，连接B′C，设旋转角为x∘，y=B′C2，y与x之间的函数关系图象如图2，当x=150∘时，y的值为( )
A. 3 B. 3 C. 4 D. 13
5. 如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=2，EC=1，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F.下列结论：①△ADF≌△EAB；②AF=BE；③DF平分∠ADC；④sin∠CDF=23.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72∘，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为( )
A. 5−12 B. 5−14
C. 5+14 D. 5+12
7. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP=2OP；④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14.其中正确的结论是( )
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
8. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①QB=QF；②AE⊥BF；③BG=55AD；④cos∠BQP=45；⑤S四边形BCFP=10S△BGE，其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9. 如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是( )
A. 0.9
B. 1.2
C. 1.5
D. 1.8
10. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB.其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有( )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
11. 春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为米．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )
A. 34.2 B. 32.7 C. 31.2 D. 22.7
12. 一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，他们首先在A测得楼房顶部E的仰角为37°，然后沿着斜坡AB走了7.8米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为45°，身高忽略不计已知斜坡AB的坡度1:2.4，楼房EF所离BC高度CD为1.8米，.则请问楼房自身高度EF大约为米．(参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)( )
A. 40.8 B. 33.6 C. 31.8 D. 30.6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，在由10个完全相同的等边三角形构成的图形中，α、β如图所示，则sin(α+β)= ．
14. 如图，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，则∠HPN的正切值为 ．
15. 如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，且AD=2BD，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F.如果△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，那么tan∠BAE的值为______．
16. 如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE=12cm.当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为______cm．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图①，等边三角形纸片ABC中，AB=12，点D在BC上，CD=4，过点D折叠该纸片，得点C′和折痕DE(点E不与点A、C重合)．
(1)当点C′落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC′ // AB；
(2)设△ABC′的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)当B，C′，E三点共线时，EC的长为__________．
18. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF．
(2)当BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，求证：四边形AECF是菱形．
19. 如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，E是AD的中点，过点A作AF // BC交BE的延长线于点F，连结CF．
(1)求证：四边形ADCF为菱形．
(2)若AE=13，tan∠ ABC=23，求菱形ADCF的面积．
20. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°=______．
(2)sad90°=______．
(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
21. 如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90∘,∠ADC=90∘,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
(1)若∠A=60∘，求BC的长；
(2)若sinA=45，求AD的长．
22. 如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=34，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)当DE//AB时(如图2)，求AE的长；
(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
23. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1:3，AB=10米，AE=15米.(i=1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
24. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．
(1)连结DE，求线段DE的长．
(2)求点A，B之间的距离．
(结果精确到0.1cm.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
25. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
(1)求点P到海岸线l的距离(结果保留根号)；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(结果精确到0.1km，2≈1.41，3≈1.73)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是对称中的坐标变换，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标的特征是解题的关键.首先结合特殊角的三角函数值得到点M的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标的特征求得其对称点的坐标即可．
【解答】
解：∵点M的坐标为(−32,12)
∴点M关于x轴对称的点的坐标是(−32,−12).
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，解题关键是证明△AFC的AC边上高是定值.解题时，作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，先证明△FCH≌△CEG，得出FH=CG，在Rt△ACG中，求出CG=42，则FH=42，根据三角形面积公式即可求出△AFC的面积，由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC始终保持不变，因此△AFC的面积也保持不变．
【解答】
解：作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，则∠CGE=∠FHC=90°，
∵∠BAC=∠ECF=45°，∠ECF+∠FCH=∠BAC+∠AEC，
∴∠FCH=∠AEC，
由旋转可知：CE=CF，
∴△FCH≌△CEG，
∴FH=CG，
在Rt△ACG中，
∴CG=22AC=8×22=42
∴FH=CG=42，
∴S△AFC=12AC·FH=12×8×42=162，
由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC的长度始终保持不变，
因此△AFC的面积也保持不变．
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF⋅OF=6.解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合∠AEO=90°，∠CFO=90°可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF⋅OF的值，进而得到k的值．
【解答】
解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由反比例函数y=32x的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴AECF=OEOF=AOCO，
∵tan∠CAB= OCOA=2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE⋅OE=32，
∴CF⋅OF=|k|=4× 32，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=−6，
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查图像旋转问题，做题的关键要读懂题，看懂图形2所给的信息，充分利用所给的信息解题，同时考查了勾股定理的应用和锐角三角函数的知识，基本三角形的边角关系．
首先由题知BC=5，当x=90∘时，利用旋转性质和勾股定理AB=AB′=3，从而求出AC=AB′+B′C=4；然后当x=150∘时，过点B′作B′D⊥AC于点D，利用锐角三角函数知识和勾股定理求解即可．
【解答】：
解：由题知BC=5，
当x=90∘，如下图，根据旋转性质知B′C=BC=5，AB=AB′，
根据图2可知，此时B′C2=1，则B′C=1，设AB=AB′=x，
在Rt△ABC中，AC2+AB2=CB2，
即：(x+1)2+x2=52，
解得x=3，x=−4(舍去)，
即AB=AB′=3，
则AC=AB′+B′C=4，
当x=150∘时，过点B′作B′D⊥AC于点D，如下图，
由题意∠B′AD=∠B′AB−∠CAB=60°，
∵AB′=3，
∴AD=AB′cos60°=3×12=32，B′D=AB′sin60°=3×32=332
∴CD=AC−AD=4−32=52，
∴在Rt△B′DC中，B′C2=B′D2+DC2=(332)2+(52)2=13=y．
故选：D
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，∠B=90°，
∵BE=2，EC=1，
∴AE=AD=BC=3，AB=AE2−BE2=5，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△EAB≌△ADF，
∴AF=BE=2，DF=AB=5，故①②正确，
不妨设DF平分∠ADC，则△ADF是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∴∠CDF=∠AEB，
∴sin∠CDF=sin∠AEB=53，故④错误，
∴正确的结论有①②.共2个．
故选：B．
根据矩形的性质证明△EAB≌△ADF，∠CDF=∠AEB，利用勾股定理求出AB，然后逐一进行判断即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC.再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式CEBC=BEAC，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
【解答】
解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=36°，
∠BEC=180°−∠EBC−∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4−x．
在△BCE与△ABC中，∠CBE=∠BAC，∠C=∠ABC，
∴△BCE∽△ABC，
∴CEBC=BEAC，
即4−xx=x4，
解得x=−2±25(负值舍去)，
∴AE=−2+25，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=ADAE=2−2+25=5+14．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ABD=∠DBC=∠ACD=45°．
∴∠BOE+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC=90°．
∴∠BOE=∠COF．
在△BOE和△COF中，
∠OBE=∠OCF=45°OB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴BE=CF．
在△BAE和△CBF中，
AB=BC∠ABC=∠BCF=90°BE=CF，
∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB=90°，∠AOB=90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO=45°，OH⊥OP，
∴OH=OP=22HP，
∴HP=2OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB=90°．
∴∠AOH=∠BOP．
∵∠OAH+BAE=45°，∠OBP+∠CBF=45°，，∠BAE=∠CBF，
∴∠OAH=∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
∠OAH=∠OBPOA=OB∠AOH=∠BOP，
∴△AOH≌△BOP(ASA)，
∴AH=BP．
∴AP−BP=AP−AH=HP=2OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE=2：3，
∴设BE=2x，则CE=3x，
∴AB=BC=5x，
∴AE=AB2+BE2=29x.
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB=45°，
∴EG=GC=22EC=322x，
∴AG=AE2−GE2=722x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE=EGAG，
∴tan∠CAE==322x722x=37．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA(SAS)．
∴S△OBC=14S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC=14S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE=S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC=14S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵将△BCF沿BF对折，得到△BPF，
∴∠BFC=∠BFP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴∠BFC=∠FBQ，
∴∠BFP=∠FBQ，
∴QB=QF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵E，F分别为BC、CD的中点，
∴BE=12BC=12CD=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；故②正确；
设正方形ABCD边长为m，则BE=12m，
∴AE=AB2+BE2=5m2，
∴sin∠EAB=BEAE=12m52m=55=BGAB，
∴BG=55AB=55AD，故③正确；
∵PF=CF=12m，PB=BC=m，在Rt△BPQ中，设QF=QB=x，
∴x2=(x−12m)2+m2，
∴x=54m，
∴PQ=QF−PF=54m−12m=34m，
∴cos∠BQP=PQQB=m54m34m54m=35，故④错误；
∵∠EBG=∠FBC，∠BGE=90°=∠BCF，
∴△BGE∽△BCF，
∴S△BGES△BCF=(BGBC)2=(BGAB)2=(55)2=15，
∴S△BGE=15S△BCF，
∵S△BCF=12S四边形BCFP，
∴S△BGE=110S四边形BCFP，即S四边形BCFP=10S△BGE，故⑤正确，
∴正确的结论有①②③⑤共4个，
故选：C．
根据将△BCF沿BF对折，得到△BPF，得∠BFC=∠BFP，而∠BFC=∠FBQ，即可得QB=QF，判断①正确；证明△ABE≌△BCF(SAS)，得∠BAE=∠CBF，即可证∠AGB=90°，判断②正确；设正方形ABCD边长为m，则BE=12m，可得sin∠EAB=BEAE=55=BGAB，即可判断③正确；在Rt△BPQ中，设QF=QB=x，由勾股定理可得x=54m，可求得cos∠BQP=PQQB=35，判断④错误；由△BGE∽△BCF，有S△BGES△BCF=(BGBC)2=(BGAB)2=15，S△BCF=12S四边形BCFP，可判断⑤正确．
本题考查正方形中的翻折变换，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理应用等，解题的关键是掌握翻折的性质．
9.【答案】B
【解析】解：点P在正方形边AD上运动，
当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，
此时tan∠BPC=tan45°=1；
当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，
如图，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，
设正方形的边长为1，则AP′=DP′=12，
∴BP′=AB2+AP′2=12+(12)2=52，
同理CP′=CD2+DP′2=12+(12)2=52，
∵BE⊥CP′，
∴∠BEC=∠CDP′=90°，
∵∠BCE+∠DCP′=DCP′+∠CP′D=90°，
∴∠BCE=∠CP′D，
∴△BCE∽△CP′D，
∴BCCP′=BECD=CEDP′，
∴152=BE1=CE12，
∴BE=255，CE=55，
∴P′E=CP′−CE=52−55=3510，
∴tan∠BP′C=BEP′E=255×1035=43，
∴1≤tan∠BPC≤43，
∴tan∠BPC的值可能是1.2，
故选B．
点P在正方形边AD上运动，当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，此时tan∠BPC=tan45°=1；当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，证明△BCE∽△CP′D，然后得到1≤tan∠BPC≤43，进而可以进行判断．
本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BCE∽△CP′D．
10.【答案】C
【解析】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=xtan∠ACB，AB=x+CDtan∠ADB；
因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
故选：C．
根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于(1)(3)，根据AB=EF⋅ACCE即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
11.【答案】D
【解析】解：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，
过点G作GM平行于地面交AE于点M，
坡度为1：2.4，BC=26，则BC=10，SC=24，BS=10，
∵AN//SC，∴ANCS=NBBS，
即：AN24=1.510，解得：AN=3.6=RS，
AR=NS=BS+NB=10+1.5=11.5，则AM=10，
RD=RS+SC+CD=3.6+24+16=43.6=MG，
EM=MGtan37°=32.7，
AE=EM−AM=32.7−10=22.7，
故选：D．
AN//SC，则ANCS=NBBS，求出：AN=3.6=RS，AR=NS=BS+NB=10+1.5=11.5，则AM=10，RD=RS+SC+CD=3.6+24+16=43.6=MG，EM=MGtan37°=32.7，AE=EM−AM，即可求解．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作AH⊥BC交BC的延长线于H，延长EF交BC的延长线于T，作AJ⊥AT于J.设ET=BC=x，在Rt△EAJ中，根据tan∠EAJ=EJAF构建方程解决问题即可．
【解答】解：如图，作AH⊥BC交CB的延长线于H，延长BC交EF的延长线于T，作AJ⊥EF于J．
由题意四边形EFTB四边形DHTJ是矩形，
∴FT=DC=1.8米，JT=AH，
在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，
DH
CH
=
1
2.4
，
∴AH=1.8(米)，BH=7.6(米)，
∵∠EBC=45°，∠T=90°，
∴ET=TB，
设ET=TB=x.则AJ=TH=(x+2.4)米，EJ=(x−1)米，
在Rt△EAJ中，∵tan∠EAJ=
EJ
AJ
=0.75，
∴
x−1.8
x+7.6
=0.75，
解得x=30，
∴EF=ET−FT=ET−DC=30−1.8=31.8(米)，
故选：C．
13.【答案】277
【解析】如图所示，连接DE，
易知在△ABC中，∠ABC=120∘，BA=BC，
∴α=30∘，同理得∠CDE=∠CED=30∘=α．
又∵∠AEC=60∘，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90∘．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=3a，
∴AD=AE2+DE2=(2a)2+(3a)2=7a，
∴sin(α+β)=sin∠ADE=AEAD=2a7a=277．
14.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理、平行线的判定和性质性质、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
连接HN并延长到F，连接GF，则PN//GF，由平行线的性质得出∠HPN=∠HGF，由勾股定理求出GF和HF，由三角函数的定义即可得出答案．
【解答】
解：连接HN并延长到F，连接GF．
则∠NHA=45°，∠MND=45°，∠HFC=45°，∠GFB=45°，
∴∠HFG=∠MNH=90∘，
∴PN//GF．
∴∠HPN=∠HGF，
根据勾股定理可得：GF=22+22=22，HF=42+42=42，
∴tan∠HGF=HFGF=4222=2，
∴tan∠HPN=tan∠HGF=2．
15.【答案】337
【解析】解：如图，取AD中点G，连接FG，过点F作FH⊥AB于点H，
设等边△ABC的边长为12a，则高为63a，
∴S△ABC=12×12a×63a=363a2，
∵AB=AC=12a，
∴AD=8a，AG=4a，
∴S△ACD=12×8a×63a=243a2，
∵△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，
∴S△ACF=13×363a2=123a2，
∴S△ADF=S△ACD−S△ACF=123a2，
∵S△ADF=12×8a×HF，
∴12×8a×HF=123a2，
∴HF=33a，
∴点F为CD中点，
∴FG为△ACD的中位线，
∴FG=6a，
在Rt△HFG中，由勾股定理可得：
HG=FG2−HF2，
即HG=(6a)2−(33a)2=3a，
∴AH=AG+HG=7a，
∴tan∠BAE=HFAH=33a7a=337，
故答案为：337．
取AD中点G，连接FG，过点F作FH⊥AB于点H，根据△ABC和△ACF的面积关系可得点F为CD中点，从而可得FG为△ACD的中位线，设等边△ABC的边长为12a，可得高为63a，从而可得GF=6a，HF=33a，在Rt△HFG中，利用勾股定理可得HG，从而可得AH，即可求解．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，得出各边之间的关系．
16.【答案】(24−122)
【解析】解：当点D沿DA方向下滑时，得△E′C′D′，过点C′作C′N⊥AD于点N，作C′M⊥AF于点M．
∵DE=12cm，CD=CE，∠ACE=90°，
∴CD=CE=62cm，
∵∠MAN=∠C′NA=∠C′MA=90°，
∴四边形AMC′N是矩形，
∴∠MC′N=∠D′C′E′=90°，
∴∠D′C′N=∠E′C′M，
∵C′D′=C′E′，∠C′ND′=∠C′ME′=90°，
∴△C′ND′≌△C′ME′(AAS)，
∴C′N=C′M，
∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，
∴AC′平分∠BAF，
∴点C在射线AC′上运动，
当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，
当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′=2(12−62)=(24−122)cm．
故答案为：(24−122).
当点D沿DA方向下滑时，得△E′C′D′，过点C′作C′N⊥AD于点N，作C′M⊥AF于点M.证明C′N=C′M，推出AC′平分∠BAF，推出点C在射线AC′上运动，当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12，当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′．
本题考查点的运动轨迹，熟练掌握直角三角形、正方形的性质，能够根据点的运动确定D点的运动轨迹是线段是解题的关键．
17.【答案】解：(1)补全图形，如图 ②
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘
由折叠可知，∠DC′C=∠C=60∘，
∴∠DC′C=∠A
∴DC′//AB；
(2)存在最小值，
如图，过点D作DF⊥AB垂足为F，
∵AB=BC=12，CD=4，
∴BD=8
由折叠可知DC′=DC=4，
∴点C′在以D为圆心，4为半径的圆上，
∴当点C′在DF上时，点C′到AB距离最小，S△ABC′最小，
∵Rt△BDF中，DF=DB⋅sin∠ABD=8⋅sin60∘=8×32=43，
∴S最小值=12×12×(43−4)=243−24；
(3)213−2．
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积、平行线的判定等知识．
(1)根据题意可补全图，利用等边三角形的性质和折叠的性质即可求证；
(2)过点D作DF⊥AB垂足为F，通过分析知点C′在以D为圆心，4为半径的圆上，当点C′在DF上时，点C′到AB距离最小，S△ABC′最小，利用相关知识求解即可；
(3)过点D作DG⊥BE于点G，过点E作EH⊥CD于点H，首先求出C′G，DG，从而求出BG=213，将CH、EH用CE表示出来；然后证明△BGD∽△BHE进行求解即可．
【解答】
(1)(2)见答案；
(3)解：如图，过点D作DG⊥BE于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
由折叠性质可知C′D=CD=4，∠EC′D=∠C=60°，
∵DG⊥BE，
∴C′G=C′Dcos60°=2，DG=C′Dsin60°=23，
∴BG=BD2−DG2=82−(23)2=213，
∵EH⊥CD，∠C=60°，
∴CH=CEcos60°=12CE，EH=CEsin60°=32CE，
在RtΔBGD和RtΔBHE中，∠BGD=∠BHE=90°，∠GBD=∠HBE，
∴△BGD∽△BHE，
∴GDHE=BGBH，即2332CE=21312−12CE，解得CE=213−2．
故答案为213−2．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=12DA，BE=12CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．
(2)解法一、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，
∴BE=AB=2，12×EB×AH=3，
∴AH=3，
∴sinB=32，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．
解法二、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，
∴BE=AB=2，12×EB×AH=3，
∴AH=3，
∴由勾股定理得：BH=1，
HE=2−1=1=BH，
∵AH⊥BE，
∴AB=AE=BE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；
(2)过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴△AEF≌△DEB，
∴AF=BD．
∵AD是Rt△ABC边BC上的中线，
∴BD=CD=AD=AF，
∵AF//BC，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵tan∠ABC=ACAB=23，
∴设AC=2x，AB=3x，则BC=13x，
∵BC=2AD=4AE=413，
∴13x=413，
∴x=4，
∴AC=2x=8，AB=3x=12．
连DF，
由(1)可知：AF//BC，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∴S菱形ADCF=12DF⋅AC=12AB⋅AC=12×8×12=48.
【解析】此题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，掌握好相关知识是解题的关键．
(1)先证明△AEF≌△DEB，得出AF=BD，判定四边形ADCF是平行四边形，利用AD=CD，即可得出结果；
(2)设AC=2x，AB=3x，则BC=13x，利用BC=2AD=4AE=413， 求出x，进而求出AC和AB，然后证明出四边形ABDF是平行四边形，可得DF=AB，利用S菱形ADCF=12DF⋅AC=12AB⋅AC，即可得出结果．
20.【答案】1 2
【解析】解：(1)sad60°=1；
(2)sad90°=2；
(3)设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，
在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E，如图所示：
则DE=AD⋅sinA=4a⋅35=125a，AE=AD⋅cosA=4a⋅45=165a，
CE=4a−165a=45a，CD=CE2+DE2=(45a)2+(125a)2=4510，
∴sadA=CDAC=105．
(1)顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，从而可得sad60°；
(2)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形，从而可得sad90°=2；
(3)在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E，分别表示出DE、AE，CE、CD，继而可求出sadA的值．
本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题关键是理解“sad”的定义，难度一般．
21.【答案】解：(1)∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=BEAB，
∴∠E=30°，BE=tan60°⋅6=63，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CDCE，∠E=30°，
∴CE=412=8，
∴BC=BE−CE=63−8；
(2))∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=45=BEAE，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE=ABBE=68=CDDE=4DE，
解得，DE=163，
∴AD=AE−DE=10−163=143，
即AD的长是143．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．
(1)要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；
(2)要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
(2)解：如图2中，作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，设BM=4k，则AM=BM⋅tanB=4k×34=3k，
由勾股定理，得到AB2=AM2+BM2，
∴202=(3k)2+(4k)2，
∴k=4或−4(舍弃)，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BC=2BM=2⋅4k=32，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，
∴∠BAD=∠ACB，
∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABCB=DBAB，
∴DB=AB2CB=20232=252，
∵DE//AB，
∴AEAC=BDBC，
∴AE=AC⋅BDBC=20×25232=12516．
(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．
理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，
∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN=90°，MH=AN，
∵AB=AC=20，AM⊥BC，tanB=34，
∴BM=CM=16，
∴BC=32，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=AB2−BM2=202−162=12，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF=90°=∠AMD，
∵∠DAF=90°=∠MAN，
∴∠NAF=∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴ANAM=AFAD=tan∠ADF=tanB=34，
∴AN=34AM=34×12=9，
∴CH=CM−MH=CM−AN=16−9=7，
当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD=2CH=14，
∴BD=BC−CD=32−14=18，
∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF，此时BD=18．
【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
(2)解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出ABCB=DBAB，可得DB=AB2CB=20232=252，由DE//AB，推出AEAC=BDBC，求出AE即可．
(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF.作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，由△AFN∽△ADM，可得ANAM=AFAD=tan∠ADF=tanB=34，推出AN=34AM=34×12=9，推出CH=CM−MH=CM−AN=16−9=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．
23.【答案】解：(1)过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH=13=33，
∴∠BAH=30°，
∴BH=12AB=5；
(2)∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由(1)得：BH=5，AH=53，
∴BG=AH+AE=53+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=53+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=3AE=153．
∴CD=CG+GE−DE=53+15+5−153=20−103≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
【解析】(1)过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE−DE即可求出宣传牌的高度．
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°．
∴∠DCF=20°，
∴DF=CD⋅sin20°≈5×0.34≈1.7(cm)，
∴DE=2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
(2)∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE//AB，
∴∠A=∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC=90°，
∵∠DCF+∠FDC=90°，
∴∠GDF=∠DCF=20°，
∴∠A=20°，
∴DG=DFcos20∘≈1.70.94≈1.8(cm)，
∴AG=AD+DG=10+1.8=11.8(cm)，
∴AB=2AG⋅cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2(cm)．
∴点A，B之间的距离22.2cm．
【解析】(1)过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰三角形的性质可得∠DCF=20°，利用锐角三角函数即可解决问题；
(2)根据横截面是一个轴对称图形，延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，所以DE//AB，根据直角三角形两个锐角互余可得∠A=∠GDE=20°，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
25.【答案】解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D.设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°−45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°−60°=30°，
∴AD=3PD=3xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+3x=4，
x=23−2，
∴点P到海岸线l的距离为(23−2)km；
(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=12AB=2km．
在△ABC中，∠C=180°−∠BAC−∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=2BF=22km≈2.8km，
∴点C与点B之间的距离大约为2.8km．
【解析】(1)过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=12AB=2km，再解Rt△BCF，得出BC=2BF=22km．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点M(−sin60∘,cos60∘)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. 32,12 B. −32,12 C. −32,−12 D. −12,−32
2. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AC=8，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转45°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是( )
A. 先变大再变小 B. 先变小再变大 C. 逐渐变大 D. 不变
3. 如图，在反比例函数y=32x的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=kx的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为( )
A. −3 B. −6 C. −9 D. −12
4. 如图1，Rt▵ABC绕点A逆时针旋转180°，在此过程中A、B、C的对应点依次为A、B′、C′，连接B′C，设旋转角为x∘，y=B′C2，y与x之间的函数关系图象如图2，当x=150∘时，y的值为( )
A. 3 B. 3 C. 4 D. 13
5. 如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=2，EC=1，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F.下列结论：①△ADF≌△EAB；②AF=BE；③DF平分∠ADC；④sin∠CDF=23.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72∘，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为( )
A. 5−12 B. 5−14
C. 5+14 D. 5+12
7. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP−BP=2OP；④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14.其中正确的结论是( )
A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
8. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①QB=QF；②AE⊥BF；③BG=55AD；④cos∠BQP=45；⑤S四边形BCFP=10S△BGE，其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9. 如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是( )
A. 0.9
B. 1.2
C. 1.5
D. 1.8
10. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB.其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有( )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
11. 春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为米．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )
A. 34.2 B. 32.7 C. 31.2 D. 22.7
12. 一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，他们首先在A测得楼房顶部E的仰角为37°，然后沿着斜坡AB走了7.8米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为45°，身高忽略不计已知斜坡AB的坡度1:2.4，楼房EF所离BC高度CD为1.8米，.则请问楼房自身高度EF大约为米．(参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)( )
A. 40.8 B. 33.6 C. 31.8 D. 30.6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，在由10个完全相同的等边三角形构成的图形中，α、β如图所示，则sin(α+β)= ．
14. 如图，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，则∠HPN的正切值为 ．
15. 如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，且AD=2BD，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F.如果△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，那么tan∠BAE的值为______．
16. 如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE=12cm.当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为______cm．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图①，等边三角形纸片ABC中，AB=12，点D在BC上，CD=4，过点D折叠该纸片，得点C′和折痕DE(点E不与点A、C重合)．
(1)当点C′落在AC上时，依题意补全图②，求证：DC′ // AB；
(2)设△ABC′的面积为S，S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)当B，C′，E三点共线时，EC的长为__________．
18. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF．
(2)当BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，求证：四边形AECF是菱形．
19. 如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，E是AD的中点，过点A作AF // BC交BE的延长线于点F，连结CF．
(1)求证：四边形ADCF为菱形．
(2)若AE=13，tan∠ ABC=23，求菱形ADCF的面积．
20. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°=______．
(2)sad90°=______．
(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
21. 如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90∘,∠ADC=90∘,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
(1)若∠A=60∘，求BC的长；
(2)若sinA=45，求AD的长．
22. 如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=34，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)当DE//AB时(如图2)，求AE的长；
(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
23. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1:3，AB=10米，AE=15米.(i=1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
24. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．
(1)连结DE，求线段DE的长．
(2)求点A，B之间的距离．
(结果精确到0.1cm.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
25. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
(1)求点P到海岸线l的距离(结果保留根号)；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(结果精确到0.1km，2≈1.41，3≈1.73)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是对称中的坐标变换，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标的特征是解题的关键.首先结合特殊角的三角函数值得到点M的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标的特征求得其对称点的坐标即可．
【解答】
解：∵点M的坐标为(−32,12)
∴点M关于x轴对称的点的坐标是(−32,−12).
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，解题关键是证明△AFC的AC边上高是定值.解题时，作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，先证明△FCH≌△CEG，得出FH=CG，在Rt△ACG中，求出CG=42，则FH=42，根据三角形面积公式即可求出△AFC的面积，由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC始终保持不变，因此△AFC的面积也保持不变．
【解答】
解：作FH⊥射线AC，垂足为H点，作CG⊥AB，垂足为G点，则∠CGE=∠FHC=90°，
∵∠BAC=∠ECF=45°，∠ECF+∠FCH=∠BAC+∠AEC，
∴∠FCH=∠AEC，
由旋转可知：CE=CF，
∴△FCH≌△CEG，
∴FH=CG，
在Rt△ACG中，
∴CG=22AC=8×22=42
∴FH=CG=42，
∴S△AFC=12AC·FH=12×8×42=162，
由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG(即FH)和AC的长度始终保持不变，
因此△AFC的面积也保持不变．
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF⋅OF=6.解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合∠AEO=90°，∠CFO=90°可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF⋅OF的值，进而得到k的值．
【解答】
解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由反比例函数y=32x的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴AECF=OEOF=AOCO，
∵tan∠CAB= OCOA=2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE⋅OE=32，
∴CF⋅OF=|k|=4× 32，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=−6，
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查图像旋转问题，做题的关键要读懂题，看懂图形2所给的信息，充分利用所给的信息解题，同时考查了勾股定理的应用和锐角三角函数的知识，基本三角形的边角关系．
首先由题知BC=5，当x=90∘时，利用旋转性质和勾股定理AB=AB′=3，从而求出AC=AB′+B′C=4；然后当x=150∘时，过点B′作B′D⊥AC于点D，利用锐角三角函数知识和勾股定理求解即可．
【解答】：
解：由题知BC=5，
当x=90∘，如下图，根据旋转性质知B′C=BC=5，AB=AB′，
根据图2可知，此时B′C2=1，则B′C=1，设AB=AB′=x，
在Rt△ABC中，AC2+AB2=CB2，
即：(x+1)2+x2=52，
解得x=3，x=−4(舍去)，
即AB=AB′=3，
则AC=AB′+B′C=4，
当x=150∘时，过点B′作B′D⊥AC于点D，如下图，
由题意∠B′AD=∠B′AB−∠CAB=60°，
∵AB′=3，
∴AD=AB′cos60°=3×12=32，B′D=AB′sin60°=3×32=332
∴CD=AC−AD=4−32=52，
∴在Rt△B′DC中，B′C2=B′D2+DC2=(332)2+(52)2=13=y．
故选：D
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，∠B=90°，
∵BE=2，EC=1，
∴AE=AD=BC=3，AB=AE2−BE2=5，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△EAB≌△ADF，
∴AF=BE=2，DF=AB=5，故①②正确，
不妨设DF平分∠ADC，则△ADF是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∴∠CDF=∠AEB，
∴sin∠CDF=sin∠AEB=53，故④错误，
∴正确的结论有①②.共2个．
故选：B．
根据矩形的性质证明△EAB≌△ADF，∠CDF=∠AEB，利用勾股定理求出AB，然后逐一进行判断即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC.再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式CEBC=BEAC，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
【解答】
解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=36°，
∠BEC=180°−∠EBC−∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4−x．
在△BCE与△ABC中，∠CBE=∠BAC，∠C=∠ABC，
∴△BCE∽△ABC，
∴CEBC=BEAC，
即4−xx=x4，
解得x=−2±25(负值舍去)，
∴AE=−2+25，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=ADAE=2−2+25=5+14．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ABD=∠DBC=∠ACD=45°．
∴∠BOE+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC=90°．
∴∠BOE=∠COF．
在△BOE和△COF中，
∠OBE=∠OCF=45°OB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴BE=CF．
在△BAE和△CBF中，
AB=BC∠ABC=∠BCF=90°BE=CF，
∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB=90°，∠AOB=90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO=45°，OH⊥OP，
∴OH=OP=22HP，
∴HP=2OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB=90°．
∴∠AOH=∠BOP．
∵∠OAH+BAE=45°，∠OBP+∠CBF=45°，，∠BAE=∠CBF，
∴∠OAH=∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
∠OAH=∠OBPOA=OB∠AOH=∠BOP，
∴△AOH≌△BOP(ASA)，
∴AH=BP．
∴AP−BP=AP−AH=HP=2OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE=2：3，
∴设BE=2x，则CE=3x，
∴AB=BC=5x，
∴AE=AB2+BE2=29x.
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB=45°，
∴EG=GC=22EC=322x，
∴AG=AE2−GE2=722x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE=EGAG，
∴tan∠CAE==322x722x=37．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA(SAS)．
∴S△OBC=14S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC=14S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE=S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC=14S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵将△BCF沿BF对折，得到△BPF，
∴∠BFC=∠BFP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴∠BFC=∠FBQ，
∴∠BFP=∠FBQ，
∴QB=QF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵E，F分别为BC、CD的中点，
∴BE=12BC=12CD=CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；故②正确；
设正方形ABCD边长为m，则BE=12m，
∴AE=AB2+BE2=5m2，
∴sin∠EAB=BEAE=12m52m=55=BGAB，
∴BG=55AB=55AD，故③正确；
∵PF=CF=12m，PB=BC=m，在Rt△BPQ中，设QF=QB=x，
∴x2=(x−12m)2+m2，
∴x=54m，
∴PQ=QF−PF=54m−12m=34m，
∴cos∠BQP=PQQB=m54m34m54m=35，故④错误；
∵∠EBG=∠FBC，∠BGE=90°=∠BCF，
∴△BGE∽△BCF，
∴S△BGES△BCF=(BGBC)2=(BGAB)2=(55)2=15，
∴S△BGE=15S△BCF，
∵S△BCF=12S四边形BCFP，
∴S△BGE=110S四边形BCFP，即S四边形BCFP=10S△BGE，故⑤正确，
∴正确的结论有①②③⑤共4个，
故选：C．
根据将△BCF沿BF对折，得到△BPF，得∠BFC=∠BFP，而∠BFC=∠FBQ，即可得QB=QF，判断①正确；证明△ABE≌△BCF(SAS)，得∠BAE=∠CBF，即可证∠AGB=90°，判断②正确；设正方形ABCD边长为m，则BE=12m，可得sin∠EAB=BEAE=55=BGAB，即可判断③正确；在Rt△BPQ中，设QF=QB=x，由勾股定理可得x=54m，可求得cos∠BQP=PQQB=35，判断④错误；由△BGE∽△BCF，有S△BGES△BCF=(BGBC)2=(BGAB)2=15，S△BCF=12S四边形BCFP，可判断⑤正确．
本题考查正方形中的翻折变换，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理应用等，解题的关键是掌握翻折的性质．
9.【答案】B
【解析】解：点P在正方形边AD上运动，
当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，
此时tan∠BPC=tan45°=1；
当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，
如图，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，
设正方形的边长为1，则AP′=DP′=12，
∴BP′=AB2+AP′2=12+(12)2=52，
同理CP′=CD2+DP′2=12+(12)2=52，
∵BE⊥CP′，
∴∠BEC=∠CDP′=90°，
∵∠BCE+∠DCP′=DCP′+∠CP′D=90°，
∴∠BCE=∠CP′D，
∴△BCE∽△CP′D，
∴BCCP′=BECD=CEDP′，
∴152=BE1=CE12，
∴BE=255，CE=55，
∴P′E=CP′−CE=52−55=3510，
∴tan∠BP′C=BEP′E=255×1035=43，
∴1≤tan∠BPC≤43，
∴tan∠BPC的值可能是1.2，
故选B．
点P在正方形边AD上运动，当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，此时tan∠BPC=tan45°=1；当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，证明△BCE∽△CP′D，然后得到1≤tan∠BPC≤43，进而可以进行判断．
本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BCE∽△CP′D．
10.【答案】C
【解析】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=xtan∠ACB，AB=x+CDtan∠ADB；
因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
故选：C．
根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于(1)(3)，根据AB=EF⋅ACCE即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
11.【答案】D
【解析】解：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，
过点G作GM平行于地面交AE于点M，
坡度为1：2.4，BC=26，则BC=10，SC=24，BS=10，
∵AN//SC，∴ANCS=NBBS，
即：AN24=1.510，解得：AN=3.6=RS，
AR=NS=BS+NB=10+1.5=11.5，则AM=10，
RD=RS+SC+CD=3.6+24+16=43.6=MG，
EM=MGtan37°=32.7，
AE=EM−AM=32.7−10=22.7，
故选：D．
AN//SC，则ANCS=NBBS，求出：AN=3.6=RS，AR=NS=BS+NB=10+1.5=11.5，则AM=10，RD=RS+SC+CD=3.6+24+16=43.6=MG，EM=MGtan37°=32.7，AE=EM−AM，即可求解．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作AH⊥BC交BC的延长线于H，延长EF交BC的延长线于T，作AJ⊥AT于J.设ET=BC=x，在Rt△EAJ中，根据tan∠EAJ=EJAF构建方程解决问题即可．
【解答】解：如图，作AH⊥BC交CB的延长线于H，延长BC交EF的延长线于T，作AJ⊥EF于J．
由题意四边形EFTB四边形DHTJ是矩形，
∴FT=DC=1.8米，JT=AH，
在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，
DH
CH
=
1
2.4
，
∴AH=1.8(米)，BH=7.6(米)，
∵∠EBC=45°，∠T=90°，
∴ET=TB，
设ET=TB=x.则AJ=TH=(x+2.4)米，EJ=(x−1)米，
在Rt△EAJ中，∵tan∠EAJ=
EJ
AJ
=0.75，
∴
x−1.8
x+7.6
=0.75，
解得x=30，
∴EF=ET−FT=ET−DC=30−1.8=31.8(米)，
故选：C．
13.【答案】277
【解析】如图所示，连接DE，
易知在△ABC中，∠ABC=120∘，BA=BC，
∴α=30∘，同理得∠CDE=∠CED=30∘=α．
又∵∠AEC=60∘，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90∘．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=3a，
∴AD=AE2+DE2=(2a)2+(3a)2=7a，
∴sin(α+β)=sin∠ADE=AEAD=2a7a=277．
14.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理、平行线的判定和性质性质、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
连接HN并延长到F，连接GF，则PN//GF，由平行线的性质得出∠HPN=∠HGF，由勾股定理求出GF和HF，由三角函数的定义即可得出答案．
【解答】
解：连接HN并延长到F，连接GF．
则∠NHA=45°，∠MND=45°，∠HFC=45°，∠GFB=45°，
∴∠HFG=∠MNH=90∘，
∴PN//GF．
∴∠HPN=∠HGF，
根据勾股定理可得：GF=22+22=22，HF=42+42=42，
∴tan∠HGF=HFGF=4222=2，
∴tan∠HPN=tan∠HGF=2．
15.【答案】337
【解析】解：如图，取AD中点G，连接FG，过点F作FH⊥AB于点H，
设等边△ABC的边长为12a，则高为63a，
∴S△ABC=12×12a×63a=363a2，
∵AB=AC=12a，
∴AD=8a，AG=4a，
∴S△ACD=12×8a×63a=243a2，
∵△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，
∴S△ACF=13×363a2=123a2，
∴S△ADF=S△ACD−S△ACF=123a2，
∵S△ADF=12×8a×HF，
∴12×8a×HF=123a2，
∴HF=33a，
∴点F为CD中点，
∴FG为△ACD的中位线，
∴FG=6a，
在Rt△HFG中，由勾股定理可得：
HG=FG2−HF2，
即HG=(6a)2−(33a)2=3a，
∴AH=AG+HG=7a，
∴tan∠BAE=HFAH=33a7a=337，
故答案为：337．
取AD中点G，连接FG，过点F作FH⊥AB于点H，根据△ABC和△ACF的面积关系可得点F为CD中点，从而可得FG为△ACD的中位线，设等边△ABC的边长为12a，可得高为63a，从而可得GF=6a，HF=33a，在Rt△HFG中，利用勾股定理可得HG，从而可得AH，即可求解．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，得出各边之间的关系．
16.【答案】(24−122)
【解析】解：当点D沿DA方向下滑时，得△E′C′D′，过点C′作C′N⊥AD于点N，作C′M⊥AF于点M．
∵DE=12cm，CD=CE，∠ACE=90°，
∴CD=CE=62cm，
∵∠MAN=∠C′NA=∠C′MA=90°，
∴四边形AMC′N是矩形，
∴∠MC′N=∠D′C′E′=90°，
∴∠D′C′N=∠E′C′M，
∵C′D′=C′E′，∠C′ND′=∠C′ME′=90°，
∴△C′ND′≌△C′ME′(AAS)，
∴C′N=C′M，
∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，
∴AC′平分∠BAF，
∴点C在射线AC′上运动，
当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，
当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′=2(12−62)=(24−122)cm．
故答案为：(24−122).
当点D沿DA方向下滑时，得△E′C′D′，过点C′作C′N⊥AD于点N，作C′M⊥AF于点M.证明C′N=C′M，推出AC′平分∠BAF，推出点C在射线AC′上运动，当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12，当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′．
本题考查点的运动轨迹，熟练掌握直角三角形、正方形的性质，能够根据点的运动确定D点的运动轨迹是线段是解题的关键．
17.【答案】解：(1)补全图形，如图 ②
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘
由折叠可知，∠DC′C=∠C=60∘，
∴∠DC′C=∠A
∴DC′//AB；
(2)存在最小值，
如图，过点D作DF⊥AB垂足为F，
∵AB=BC=12，CD=4，
∴BD=8
由折叠可知DC′=DC=4，
∴点C′在以D为圆心，4为半径的圆上，
∴当点C′在DF上时，点C′到AB距离最小，S△ABC′最小，
∵Rt△BDF中，DF=DB⋅sin∠ABD=8⋅sin60∘=8×32=43，
∴S最小值=12×12×(43−4)=243−24；
(3)213−2．
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积、平行线的判定等知识．
(1)根据题意可补全图，利用等边三角形的性质和折叠的性质即可求证；
(2)过点D作DF⊥AB垂足为F，通过分析知点C′在以D为圆心，4为半径的圆上，当点C′在DF上时，点C′到AB距离最小，S△ABC′最小，利用相关知识求解即可；
(3)过点D作DG⊥BE于点G，过点E作EH⊥CD于点H，首先求出C′G，DG，从而求出BG=213，将CH、EH用CE表示出来；然后证明△BGD∽△BHE进行求解即可．
【解答】
(1)(2)见答案；
(3)解：如图，过点D作DG⊥BE于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
由折叠性质可知C′D=CD=4，∠EC′D=∠C=60°，
∵DG⊥BE，
∴C′G=C′Dcos60°=2，DG=C′Dsin60°=23，
∴BG=BD2−DG2=82−(23)2=213，
∵EH⊥CD，∠C=60°，
∴CH=CEcos60°=12CE，EH=CEsin60°=32CE，
在RtΔBGD和RtΔBHE中，∠BGD=∠BHE=90°，∠GBD=∠HBE，
∴△BGD∽△BHE，
∴GDHE=BGBH，即2332CE=21312−12CE，解得CE=213−2．
故答案为213−2．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=12DA，BE=12CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．
(2)解法一、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，
∴BE=AB=2，12×EB×AH=3，
∴AH=3，
∴sinB=32，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．
解法二、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，
∴BE=AB=2，12×EB×AH=3，
∴AH=3，
∴由勾股定理得：BH=1，
HE=2−1=1=BH，
∵AH⊥BE，
∴AB=AE=BE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；
(2)过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴△AEF≌△DEB，
∴AF=BD．
∵AD是Rt△ABC边BC上的中线，
∴BD=CD=AD=AF，
∵AF//BC，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵tan∠ABC=ACAB=23，
∴设AC=2x，AB=3x，则BC=13x，
∵BC=2AD=4AE=413，
∴13x=413，
∴x=4，
∴AC=2x=8，AB=3x=12．
连DF，
由(1)可知：AF//BC，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∴S菱形ADCF=12DF⋅AC=12AB⋅AC=12×8×12=48.
【解析】此题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，掌握好相关知识是解题的关键．
(1)先证明△AEF≌△DEB，得出AF=BD，判定四边形ADCF是平行四边形，利用AD=CD，即可得出结果；
(2)设AC=2x，AB=3x，则BC=13x，利用BC=2AD=4AE=413， 求出x，进而求出AC和AB，然后证明出四边形ABDF是平行四边形，可得DF=AB，利用S菱形ADCF=12DF⋅AC=12AB⋅AC，即可得出结果．
20.【答案】1 2
【解析】解：(1)sad60°=1；
(2)sad90°=2；
(3)设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，
在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E，如图所示：
则DE=AD⋅sinA=4a⋅35=125a，AE=AD⋅cosA=4a⋅45=165a，
CE=4a−165a=45a，CD=CE2+DE2=(45a)2+(125a)2=4510，
∴sadA=CDAC=105．
(1)顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，从而可得sad60°；
(2)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形，从而可得sad90°=2；
(3)在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E，分别表示出DE、AE，CE、CD，继而可求出sadA的值．
本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题关键是理解“sad”的定义，难度一般．
21.【答案】解：(1)∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=BEAB，
∴∠E=30°，BE=tan60°⋅6=63，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CDCE，∠E=30°，
∴CE=412=8，
∴BC=BE−CE=63−8；
(2))∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=45=BEAE，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE=ABBE=68=CDDE=4DE，
解得，DE=163，
∴AD=AE−DE=10−163=143，
即AD的长是143．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．
(1)要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；
(2)要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
(2)解：如图2中，作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，设BM=4k，则AM=BM⋅tanB=4k×34=3k，
由勾股定理，得到AB2=AM2+BM2，
∴202=(3k)2+(4k)2，
∴k=4或−4(舍弃)，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BC=2BM=2⋅4k=32，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，
∴∠BAD=∠ACB，
∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABCB=DBAB，
∴DB=AB2CB=20232=252，
∵DE//AB，
∴AEAC=BDBC，
∴AE=AC⋅BDBC=20×25232=12516．
(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．
理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，
∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN=90°，MH=AN，
∵AB=AC=20，AM⊥BC，tanB=34，
∴BM=CM=16，
∴BC=32，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=AB2−BM2=202−162=12，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF=90°=∠AMD，
∵∠DAF=90°=∠MAN，
∴∠NAF=∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴ANAM=AFAD=tan∠ADF=tanB=34，
∴AN=34AM=34×12=9，
∴CH=CM−MH=CM−AN=16−9=7，
当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD=2CH=14，
∴BD=BC−CD=32−14=18，
∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF，此时BD=18．
【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
(2)解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出ABCB=DBAB，可得DB=AB2CB=20232=252，由DE//AB，推出AEAC=BDBC，求出AE即可．
(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF.作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°，由△AFN∽△ADM，可得ANAM=AFAD=tan∠ADF=tanB=34，推出AN=34AM=34×12=9，推出CH=CM−MH=CM−AN=16−9=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．
23.【答案】解：(1)过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH=13=33，
∴∠BAH=30°，
∴BH=12AB=5；
(2)∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由(1)得：BH=5，AH=53，
∴BG=AH+AE=53+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=53+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=3AE=153．
∴CD=CG+GE−DE=53+15+5−153=20−103≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
【解析】(1)过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE−DE即可求出宣传牌的高度．
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°．
∴∠DCF=20°，
∴DF=CD⋅sin20°≈5×0.34≈1.7(cm)，
∴DE=2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
(2)∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE//AB，
∴∠A=∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC=90°，
∵∠DCF+∠FDC=90°，
∴∠GDF=∠DCF=20°，
∴∠A=20°，
∴DG=DFcos20∘≈1.70.94≈1.8(cm)，
∴AG=AD+DG=10+1.8=11.8(cm)，
∴AB=2AG⋅cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2(cm)．
∴点A，B之间的距离22.2cm．
【解析】(1)过点C作CF⊥DE于点F，根据等腰三角形的性质可得∠DCF=20°，利用锐角三角函数即可解决问题；
(2)根据横截面是一个轴对称图形，延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，所以DE//AB，根据直角三角形两个锐角互余可得∠A=∠GDE=20°，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
25.【答案】解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D.设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°−45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°−60°=30°，
∴AD=3PD=3xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+3x=4，
x=23−2，
∴点P到海岸线l的距离为(23−2)km；
(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=12AB=2km．
在△ABC中，∠C=180°−∠BAC−∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=2BF=22km≈2.8km，
∴点C与点B之间的距离大约为2.8km．
【解析】(1)过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=12AB=2km，再解Rt△BCF，得出BC=2BF=22km．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
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